精品解析：江西省多校联考2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断. 【详解】因为“”的否定是“”. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，根据集合交集的运算可得结果. 【详解】由题意得，，，∴. 故选：A. 3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】待定系数法求出幂函数解析式，代入求值即可. 【详解】设，则，解得，则，. 故选：D 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数与幂函数的单调性比较大小可得结果. 【详解】∵幂函数在上单调递增，∴. ∵对数函数在上单调递增，∴， ∴. 故选：B. 5. 若样本，，…，的平均数和方差分别为3和5，则样本，，…，的平均数和方差分别为（ ） A. 5和20 B. 5和19 C. 6和20 D. 6和19 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差的性质进行计算，得到答案. 【详解】因为样本，，…，的平均数和方差分别为3和5， 所以样本，，…，的平均数和方差分别为和. 故选：A 6. 在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（ ） A. 3个小球中至多有1个白球 B. 3个小球中至多有1个红球 C. 3个小球都是红球 D. 3个小球都是白球 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概念直接得出结果. 【详解】由题意知，3个小球中至少有2个白球包含的情况为：2白1红、3白， 所以其对立事件包含的情况为：3红、2红1白， 即至多有1个白球. 故选：A 7. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将的零点转化为和的图象的交点，结合图象确定正确选项. 【详解】由，得， 在同一坐标系中，作出和的图象， 观察图象知，两个函数图象有两个交点，所以零点个数为. 故选：C 8. 大部分大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，若鲑鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 9倍 【答案】D 【解析】 【分析】利用速度差为结合对数的运算性质可得结果. 【详解】设鲑鱼的游速为时的耗氧量的单位数为，游速为时的耗氧量的单位数为. 由，得，整理得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列函数是偶函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据偶函数的定义逐项判断可得结果. 【详解】∵函数定义域为，，∴是偶函数. A.函数定义域为，，是偶函数，A正确. B.函数定义域为，，是奇函数，B错误. C.函数定义域为，，是偶函数，C正确. D.函数定义域为，，不是偶函数，D错误. 故选：AC. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例检验选项A；结合对数函数单调性检验选项B；结合函数单调性检验选项C；结合基本不等式检验选项D. 【详解】当，时，，A显然错误； 因为，所以，B正确； 因为函数在单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，，即，C错误； 若，则， 当且仅当时取等号，显然等号无法取得，D正确． 故选：BD . 11. 在气象学上，进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于.某人记录了甲，乙，丙，丁四地连续5天的日平均气温（日平均气温都是整数），根据以下数字特征，一定符合进入冬季标准的是（ ） A. 甲：中位数为7，众数为8 B. 乙：平均数为6，极差为4 C. 丙：中位数为7，极差为3 D. 丁：平均数为7，方差为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合题目所给符合进入冬季标准，结合每个选项分析判断即可. 【详解】对于A，甲：中位数为7，众数为8，则8出现次数最多，又只有5个数据，7为中位数， 所以8出现次数为2次，另外两个数据只能是小于7的两个不同的数， 故甲地符合进入冬季标准，故A正确； 对于B，乙：平均数为6，极差为4，因为极差是最大值与最小值的差， 假设存在某日的气温大于等于，又平均数为6，故定存在某日的气温低于，此时极差不 为4，故假设不成立，即每日气温都低于，所以乙一定符合进入冬季标准，故B正确； 对于C，丙：中位数为7，极差为3，气温为7，7，7，8，10符合题意，故丙不符合进入冬季标准，故C错误； 对于D，丁：平均数为7，方差为2，故不可能每天都为，日平均气温都是整数， 所以最多三天，若存在某日的气温高于，方差大于不符合题意， 若存在某日的气温等于，若三天，则五天的气温，计算方差，可知不符合方差为2的条件， 若二天，则五天的气温的方差一定大于2， 若一天，则五天的气温的方差一定大于2， 综上可知，所以丁一定符合进入冬季标准，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两个零件正常工作的概率分别为0.4，0.6，且它们是否正常工作相互独立，则这两个零件至少有一个正常工作的概率为______. 【答案】0.76## 【解析】 【分析】设出事件，利用独立事件和对立事件概率求解公式进行计算 【详解】记事件A为“甲零件正常工作”，事件B为“乙零件正常工作”， 事件C为“这两个零件至少有一个正常工作”， 则. 故答案为：0.76 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合对数函数的定义及性质列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数的定义域为，得，则， 在中，，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 14. 已知是定义在上的偶函数，对任意的当时，都有且，则不等式的解集为______. 【答案】或 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【详解】因为对任意的当时，都有， 所以在上单调递增， 因为是定义在R上的偶函数， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 因为，所以， 由可得或， 即或， 解得或 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若，求的值； （2）计算：. 【答案】（1）（2）0 【解析】 【分析】（1）对数式化为指数式，得到，故； （2）利用对数运算和对数运算法则化简，求出答案. 【详解】（1）因为，所以，则， 从而. （2）原式. 16. 已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组. （1）求救援小组中医生和护士的人数； （2）若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率. 【答案】（1）医生人数为2，护士人数为3； （2） 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的特征进行求解，得到答案； （2）2名医生，记为A，B；3名护士，记为a，b，c，利用列举法进行求解 【小问1详解】 由题可知救援小组中医生的人数为，护士的人数为. 【小问2详解】 由（1）可知救援小组中有2名医生，记为A，B；有3名护士，记为a，b，c. 从中随机选取2人担任组长，所有的结果为，，，，， ，，，，，共有10种可能的结果. 记事件M为“医生和护士各有1人被选中担任组长”，依题意可知事件M包含的样本点 有，，，，，，共有6种可能的结果. 故. 17. 已知是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求的解析式； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出，结合奇函数的定义可求函数解析式. （2）分类讨论解不等式可得结果，也可根据奇函数的单调性解不等式. 【小问1详解】 ∵是定义在上的奇函数，∴，解得， ∵当时，，∴当时，，， ∵是奇函数，∴， ∴. 【小问2详解】 （方法一）当时，由得，，即，解得. 当时，由，得，即，解得. 综上所述，原不等式的解集为. （方法二）由，得，即. ∵当时，在上单调递增，是奇函数， ∴在上单调递增. ∵，，∴原不等式的解集为. 18. 为了解市民对某档节目的认可度，工作人员随机对60位市民进行调查，将他们的评分（满分100分）数据进行整理并得到下表. 评分分组 人数 6 12 18 21 3 （1）根据表中数据画出频率分布直方图； （2）估计这60位市民评分的70%分位数（保留两位小数）； （3）若让评分在内的三人重新评分，已知每人评100分的概率均为p，若至少有一人评100分的概率不高于0.1，求p的最大值，（参考数据：取） 【答案】（1）作图见解析 （2）65.71 （3）0.035 【解析】 【分析】（1）根据表中数据计算频率，即可作出图， （2）根据频率分布直方图中百分位数的计算公式即可求解， （3）根据对立事件概率公式以及对立事件的概率性质即可求解. 【小问1详解】 评分在内的， 评分在内的， 评分在内的， 评分在内的， 评分在内的. 其频率分布直方图如图所示. 【小问2详解】 因为评分低于60分的频率为，评分低于80分的频率为，所以评分的70%分位数在内. 设70%分位数为x，则，解得， 即估计这60位市民评分的70%分位数为65.71. 【小问3详解】 设事件A为“第一人评100分”，事件B为“第二人评100分”，事件C为“第三人评100分”，则A，B，C之间相互独立，且. 设事件D为“至少有一人评100分”，则， 则， 整理得. 故p的最大值为0.035. 19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． （1）已知函数． ①求的解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． （2）讨论函数在定义域上的凹凸性. 【答案】（1）①； ②是凹函数，证明： ，且， 则 因为，所以， 所以，即， 故是凹函数. （2）时，函数在定义域上为凸函数；时，函数在定义域上为凹函数 【解析】 【分析】（1）①利用配凑法，求函数解析式； ②采用作差法，比较与的大小，证明其为凹函数； （2）利用作差法，分和得其凸凹性. 【小问1详解】 ①根据题意，， 所以； ②略 【小问2详解】 ， 则 ， 因为， 所以， 所以当时，， 即，函数在定义域上为凸函数， 当时，， 即，函数在定义域上为凹函数. 【点睛】关键点点睛：利用作差法比较与的大小，从而得其凸凹性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若样本，，…，的平均数和方差分别为3和5，则样本，，…，的平均数和方差分别为（ ） A. 5和20 B. 5和19 C. 6和20 D. 6和19 6. 在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（ ） A. 3个小球中至多有1个白球 B. 3个小球中至多有1个红球 C. 3个小球都是红球 D. 3个小球都是白球 7. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 大部分大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，若鲑鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 9倍 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列函数是偶函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 在气象学上，进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于.某人记录了甲，乙，丙，丁四地连续5天的日平均气温（日平均气温都是整数），根据以下数字特征，一定符合进入冬季标准的是（ ） A. 甲：中位数为7，众数为8 B. 乙：平均数为6，极差为4 C. 丙：中位数为7，极差为3 D. 丁：平均数为7，方差为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两个零件正常工作的概率分别为0.4，0.6，且它们是否正常工作相互独立，则这两个零件至少有一个正常工作的概率为______. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 14. 已知是定义在上的偶函数，对任意的当时，都有且，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若，求的值； （2）计算：. 16. 已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组. （1）求救援小组中医生和护士的人数； （2）若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率. 17. 已知是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求的解析式； （2）求不等式的解集. 18. 为了解市民对某档节目的认可度，工作人员随机对60位市民进行调查，将他们的评分（满分100分）数据进行整理并得到下表. 评分分组 人数 6 12 18 21 3 （1）根据表中数据画出频率分布直方图； （2）估计这60位市民评分的70%分位数（保留两位小数）； （3）若让评分在内的三人重新评分，已知每人评100分的概率均为p，若至少有一人评100分的概率不高于0.1，求p的最大值，（参考数据：取） 19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． （1）已知函数． ①求的解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． （2）讨论函数在定义域上的凹凸性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $