精品解析：广东省清远市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

清远市2024～2025学年第一学期高中期末教学质量检测高一数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合交、补运算求解即可； 【详解】全集，而，则，又，所以． 故选：A． 2. 已知角，则角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角的性质即可求. 【详解】，故与的角终边相同，其中在第三象限，故角的终边在第三象限． 故选:C． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数的运算性质判断A、B；根据对数的运算性质判断C，D， 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，若且，则，C错误； 对于D，若，则，D正确． 故选：D． 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次根式的被开方数非负进行求解即可. 【详解】由题意得，解得或． 故选：B． 5. 已知，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用单调性得到，，结合的单调性比较出大小. 【详解】因为，当时，单调递增， 所以，， 又，所以， 即． 故选：D． 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式，弦切互化和同角三角函数基本关系式即可求解； 【详解】因为，所以， 即，得． 所以． 故选：B． 7. 已知实数，且，则的最小值为（ ） A. 16 B. 18 C. 22 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】变形得到，，由基本不等式求出最小值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为22． 故选：C 8. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，所以或只需的图象与直线有3个交点，利用数形结合即可得 【详解】因为，所以或 因为关于的方程共有5个不同的实数根． 所以的图象与直线和直线共有5个不同的交点． 如图，的图象与直线有2个交点， 所以只需的图象与直线有3个交点，所以． 故选：D． 【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，举出反例；BC选项，由不等式性质得到BC正确；D选项，判断出，D正确. 【详解】对于A，若，取，，则，A错误； 对于B，若，则，B正确； 对于C，，两边同乘以得，，C正确； 对于D，由知，则，故，D正确． 故选：BCD． 10. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. B. 直线是图象的对称轴 C. 在区间上只有2个零点 D. 在区间上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】由对称中心代入即可判断A，由的函数值可判断B，通过计算的范围，结合余弦函数的图像、单调性可判断CD. 【详解】将代入，得， ，即．又，故A正确； 由上知，则，则直线是图象的对称轴，故B正确； 由，得，又在上有3个零点，所以函数在区间上有且仅有3个零点，C错误； 处于余弦函数的递增区间内，D正确． 故选:ABD． 11. 已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】由，确定函数图像关于对称，再结合奇偶性、单调性逐个判断即可； 【详解】对于A，由，得的图象关于对称，又因为定义域为，所以，故A不正确； 对于B，因为是偶函数，，，所以的一个周期为8，故B正确； 对于C，由于周期性和奇偶性，，故C正确； 对于D，因为是偶函数且在上单调递增，所以在上单调递减， 又的图象关于对称，所以在上单调递减， 由于周期为8，在上的单调性与上的单调性相同，所以在上单调递减，故D不正确． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】由弧长公式，即可求解； 【详解】设扇形的圆心角为，由扇形的弧长公式，可得． 故答案为： 13. 已知，且为第三象限角，则______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系求出正弦，再求正切即可. 【详解】解：因为，且为第三象限角， 所以,所以. 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，，则满足的的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，构造函数，通过单调性、奇偶性即可求解； 【详解】因为， 所以，所以， 令，则，所以函数在上单调递增，因为是定义在上的奇函数， 所以，所以对， 所以函数为上的奇函数，且． 由，可得，即，所以或，解得． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由，得到，构造函数. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数的最小正周期． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据三角函数周期公式代入计算可得结果； （2）利用整体代换法以及正弦函数单调性即可求得最值. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为，所以． 【小问2详解】 当时，， 所以当，即时，； 当，即时，． 所以在区间上的最大值为，最小值为． 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义运算求解； （2）根据（1）中解析式，分和两种情况，结合二次不等式运算求解. 【小问1详解】 若，则， 由题意可得， 所以． 【小问2详解】 当时，令，即，解得，则； 当时，令，即，解得，则． 综上所述，不等式的解集为． 17. 根据市场调查，某供应商某产品的售价定为元时，销售量可达到万件．已知该产品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分．其中固定价格为40元/件，浮动价格（单位：元/件）与销售量（单位：万件）成反比，比例系数为20．假设不计其他成本，即销售每件产品的利润=售价供货价格． （1）当每件产品的售价定为80元时，求该供应商销售该产品可获得的总利润； （2）该产品的售价定为多少元时，单件产品的利润最大？并求出该最大值． 【答案】（1）620（万元）． （2）该产品的售价定为150元时，单件产品的利润最大为100元． 【解析】 【分析】（1）由题意先求得销售量，再结合每件产品的利润即可求解； （2）设该商品的售价为元，由题意得到，再结合基本等式求解即可； 小问1详解】 当每件产品的售价定为80元时，销售量为万件， 该供应商可获得的总利润为（万元）． 【小问2详解】 设该商品的售价为元，由得． 设单件商品的利润为元，则 ， 当且仅当，即时，等号成立． 所以该产品的售价定为150元时，单件产品的利润最大为100元． 18. 已知函数的图象经过两点． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）已知函数，函数且．若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】(1)将两点的坐标代入解析式，可得关于的方程组，解出的值，即可求出的解析式； (2)利用函数的单调性定义进行证明即可； (3)先求出的值域，将对任意，总存在，使得成立转化为任意，在上的恒成立问题即可求解. 【小问1详解】 函数的图象经过两点， ， ，解得，； 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ，即， 所以函数在上单调递增． 【小问3详解】 ， 由（2）可得在上单调递增， 所以的值域为． 因对使得成立， 所以只需在上恒成立． 当时，， 设，则在上是减函数， 所以，所以． 当时，， 设，则在上为减函数， 所以， 所以，此不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 19. 若对定义域内任意，都有，则称函数“步长”增函数． （1）已知函数，判断是否为“2步长”增函数，并说明理由； （2）若函数是“步长”增函数，求的最小值； （3）若函数为上的“2024步长”增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）“2步长”增函数，理由见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由单调性及新定义即可判断； （2）由恒成立，得到恒成立，进而可求解； （3）结合新定义，由和两类情况讨论求解； 【小问1详解】 函数是“2步长”增函数．理由如下： 因为的定义域为在上都是单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以是“2步长”增函数． 【小问2详解】 因为是“步长”增函数， 所以恒成立， 所以 恒成立， 即恒成立， 由，解得或， 因为，所以． 【小问3详解】 若，在上单调递增，则恒成立，符合题意； 若，分以下情况： ①当时，单调递增，则恒成立； ②当时，，单调递增，则恒成立； ③当时，若，则，解得； ④当或时，若，则． 综上，的取值范围是． 【点睛】难点点睛：时，分，，，或求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清远市2024～2025学年第一学期高中期末教学质量检测高一数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角，则角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 4. 函数的定义域是（ ） A B. C. D. 5 已知，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，且，则的最小值为（ ） A. 16 B. 18 C. 22 D. 26 8. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，，则 D. 若，且，则 10. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. B. 直线是图象的对称轴 C. 在区间上只有2个零点 D. 在区间上单调递增 11. 已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是______． 13. 已知，且为第三象限角，则______． 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，，则满足的的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数的最小正周期． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值与最小值． 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集． 17. 根据市场调查，某供应商某产品的售价定为元时，销售量可达到万件．已知该产品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分．其中固定价格为40元/件，浮动价格（单位：元/件）与销售量（单位：万件）成反比，比例系数为20．假设不计其他成本，即销售每件产品的利润=售价供货价格． （1）当每件产品的售价定为80元时，求该供应商销售该产品可获得的总利润； （2）该产品的售价定为多少元时，单件产品的利润最大？并求出该最大值． 18. 已知函数图象经过两点． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）已知函数，函数且．若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 若对定义域内任意，都有，则称函数为“步长”增函数． （1）已知函数，判断是否为“2步长”增函数，并说明理由； （2）若函数是“步长”增函数，求的最小值； （3）若函数为上“2024步长”增函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$