精品解析：河北省衡水市阜城县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024－2025学年河北省衡水市阜城县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 当时，下列分式没有意义的是（ ） A. B. C. D. 3. 一种花瓣的花粉颗粒直径用科学记数法表示为，这个数用小数表示为（    ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是一个完全平方式，则a的值为（ ） A. 20 B. －20 C. ±20 D. ±10 6. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 9. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 宜昌游 C. 爱我宜昌 D. 美我宜昌 10. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 11. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ） A. “20”左边的数是16 B. “20”右边的“□”表示5 C. 运算结果小于6000 D. 运算结果可以表示为 12. 如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，⋯均为等边三角形，若，则的周长为（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 三角形的三边长分别为5，x，8，则x的取值范围是_____． 14. 如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_____． 15. 阅读题：分解因式： 解：原式， ， ， ， 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法．此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：______． 16. 如图，ABC中，AD垂直BC于点D，且AD = BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 按要求解答下列各题： （1）运用乘法公式计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）解分式方程： 18. 求证：当n为整数时，是8的倍数． 19. 如图，，点在上． （1）求证：平分；（2）求证：． 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C=36°，求∠BAD的度数． （2）求证：FB=FE． 21. 如图，已知∠ABC=90°, D是直线AB上的点，AD=BC ，过点A作AF⊥AB,并截取AF=DB ,连接DC、DF、CF ，判断△CDF的形状并证明. 22. 某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件． （1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产? （2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案： 方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变． 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变． 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同． ①求乙车间需临时招聘的工人数； ②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣3|+＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒． (1)求OA、OB的长； (2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S； (3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 24. 【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为 ∵ ∴ 【新知应用】已知：在中，，若，则______；若，则______． 【尝试探究】如图2，四边形中，，，若连接，则平分． 某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程． 【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形中，，，，连接，平分吗?请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年河北省衡水市阜城县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】分析：直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案． 详解：如图所示：直线l即为各图形的对称轴． ， 故选D． 点睛：此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键． 2. 当时，下列分式没有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可. 【详解】,当x=1时,分母为零,分式无意义. 故选B. 【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件. 3. 一种花瓣的花粉颗粒直径用科学记数法表示为，这个数用小数表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法－原数，科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．把的小数点向左移动6位即可求解． 【详解】解：，这个数用小数表示为． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 5. 若是一个完全平方式，则a的值为（ ） A. 20 B. －20 C. ±20 D. ±10 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方式的特点可得解. 【详解】∵是一个完全平方式， ∴， ∴a=±20， 故选：C． 6. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 7. 如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本作图得出是角平分线的作图，进而解答即可． 【详解】由作图步骤可得：是的角平分线， ∴∠COE=∠DOE， ∵OC=OD，OE=OE，OM=OM， ∴△COE≌△DOE， ∴∠CEO=∠DEO， ∵∠COE=∠DOE，OC=OD， ∴CM=DM，OM⊥CD， ∴S四边形OCED=S△COE+S△DOE=， 但不能得出， ∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解题的关键. 8. 如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD， ∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°， ∴∠BAF=∠BEF， ∴AB=BE，AE⊥BD， ∴BD是AE的垂直平分线， ∴AD=ED， ∴∠DAF=∠DEF， ∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°， ∴∠BED=∠BAD=95°， ∴∠CDE=95°-50°=45°， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 9. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 宜昌游 C. 爱我宜昌 D. 美我宜昌 【答案】C 【解析】 【详解】解：（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 =（x2﹣y2）（a2﹣b2） =（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b） 因为x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱，我，宜，昌， 所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”， 故选C． 10. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【详解】解：正六边形每个内角为：， 而六边形的内角和也为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 11. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ） A. “20”左边的数是16 B. “20”右边的“□”表示5 C. 运算结果小于6000 D. 运算结果可以表示为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 12. 如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，⋯均为等边三角形，若，则的周长为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键，根据等边三角形和三角形外角性质，含角的直角三角形的性质推出，即可求出的周长． 【详解】解：为等边三角形， ，， ，， ， 同理， ， ， ， ， ， ， ， 同理：， 以此类推得到：， 的周长为 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 三角形的三边长分别为5，x，8，则x的取值范围是_____． 【答案】3＜x＜13 【解析】 【分析】由三角形的两边的长分别为8和5，根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求得答案． 【详解】根据三角形的三边关系，得：8﹣5＜x＜8+5， 即：3＜x＜13． 故答案为3＜x＜13 【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形． 14. 如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_____． 【答案】AC=BC 【解析】 【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC． 【详解】解：添加AC=BC， ∵△ABC的两条高AD，BE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°， ∴∠EBC=∠DAC， 在△ADC和△BEC中 ， ∴△ADC≌△BEC（AAS）， 故答案为：AC=BC． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，解题的关键是注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 15. 阅读题：分解因式： 解：原式， ， ， ， 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法．此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了配方法的应用以及实属范围内分解因式，首先将原式配方，进而利用平方差公式分解因式即可，正确配方是解题关键． 【详解】解： 故答案为： 16. 如图，ABC中，AD垂直BC于点D，且AD = BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为_______． 【答案】45° 【解析】 【分析】由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，证明△BB'C是等腰直角三角形，得出∠B'＝45°，求出∠PBB'＝∠B'＝45°，即可得出答案． 【详解】∵S△PBC＝S△ABC， ∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上， ∴l∥BC， 作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示： 则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小， 作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD， ∵AD⊥BC，AD＝BC， ∴BB'＝BC，BB'⊥BC， ∴△BB'C是等腰直角三角形， ∴∠B'＝45°， ∵PB＝PB'， ∴∠PBB'＝∠B'＝45°， ∴∠PBC＝90°−45°＝45°； 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 按要求解答下列各题： （1）运用乘法公式计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）解分式方程： 【答案】（1）2499 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，整式的混合运算，分式的混合运算，平方差，熟练掌握解分式方程的方法，整式混合运算法则，分式混合运算法则，平方差公式是解题的关键． （1）把原式变形为：，然后再根据平方差公式进行计算即可； （2）根据整式混合运算法则，先计算单项式乘多项式，然后再计算整式乘除法即可； （3）根据分式的混合运算法则，先计算小括号的分式加减，然后再计算分式的除法即可； （4）根据解分式方程的方法，先把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：， 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：当时，， 是分式方程的解． 18. 求证：当n为整数时，是8的倍数． 【答案】 证明： ， ∴当n为整数时，是8的倍数． 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由平方差公式可分解因式为，然后问题可求解 【详解】略 19. 如图，，点在上． （1）求证：平分；（2）求证：． 【答案】 （1）证明：在与中， ∴ ∴ 即平分； （2）证明：由（1） 在与中，得 ∴ ∴ 【解析】 【分析】（1）由题中条件易知：△ABC≌△ADC，可得AC平分∠BAD； （2）利用（1）的结论，可得△BAE≌△DAE，得出BE=DE． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键． 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C=36°，求∠BAD的度数． （2）求证：FB=FE． 【答案】（1）； （2）证明：BE平分 又 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB=90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题； （2）只要证明∠FBE=∠FEB即可解决问题． 【详解】解：（1） D为BC的中点， （2）略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21. 如图，已知∠ABC=90°, D是直线AB上的点，AD=BC ，过点A作AF⊥AB,并截取AF=DB ,连接DC、DF、CF ，判断△CDF的形状并证明. 【答案】△是等腰直角三角形， 证明如下： ∵AF⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD与△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）； ∴FD=DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF是等腰直角三角形. 【解析】 【详解】试题分析：由“ASA”证明△ADF≌△BCD得到DF=CD，∠ADF=∠BCD，再利用∠BCD+∠CDB=90°得到∠CDF=90°，则可判断△CDF为等腰直角三角形. 略 试题解析 22. 某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件． （1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产? （2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案： 方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变． 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变． 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同． ①求乙车间需临时招聘的工人数； ②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由． 【答案】（1）甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；（2）①乙车间需临时招聘5名工人；②选择方案一能更节省开支． 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两车间各有x、y人，根据甲、乙两车间共有50人和甲、乙两车间20天共生产零件总数之和为2700个列方程组，解方程组即可解决问题； （2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，根据“完成生产任务的时间相同”列分式方程求解即可； ②先求得企业完成生产任务所需的时间，分别求得需增加的费用，再比较即可解答． 【详解】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得： ， 解得． ∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产； （2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得： =， 解得m=5． 经检验，m=5是原方程的解，且符合题意， ∴乙车间需临时招聘5名工人； ②企业完成生产任务所需的时间为： =18（天）． ∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500=17700（元）． 选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）． ∵17700＜18000， ∴选择方案一能更节省开支． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣3|+＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒． (1)求OA、OB的长； (2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S； (3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)OA=6，OB=3；(2)S＝|6﹣t|(t≥0)；(3)t＝3或9． 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性质即可求得m、n的值，即可解题； （2）连接PB，t秒后，可求得OP＝6﹣t，即可求得S的值； （3）作出图形，易证∠OBA＝∠OPE，只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB，分两种情形求得t的值，即可解题． 【详解】(1)∵|m﹣n﹣3|+＝0， 且|m﹣n﹣3|≥0，≥0 ∴|m﹣n﹣3|＝＝0， ∴n＝3，m＝6， ∴点A(0，6)，点B(3，0)； (2)连接PB， t秒后，AP＝t，OP＝|6﹣t|， ∴S＝OP•OB＝|6﹣t|；(t≥0) (3)作出图形， ∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠APD＝90°，∠OPE＝∠APD， ∴∠OBA＝∠OPE， ∴只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB， ∴AP＝AO﹣OP＝3，或AP′＝OA+OP′＝9 ∴t＝3或9． 【点睛】本题考查了算术平方根及绝对值非负性的性质，全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△EOP≌△AOB是解题的关键． 24. 【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为 ∵ ∴ 【新知应用】已知：在中，，若，则______；若，则______． 【尝试探究】如图2，四边形中，，，若连接，则平分． 某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程． 【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形中，，，，连接，平分吗?请说明理由． 【答案】新知应用：； 尝试探究：证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵， 又∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 即平分； 拓展应用：平分； 证明：连接，延长到，使，连接， ∵，， ∴ ∵在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即平分； 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）延长到点，使得，连接，证明得到，，从而得出平分； （3）连接，延长到，使，连接，由，得到，，，再证明得到，从而得出平分． 【详解】新知应用： ∵， ∴， 若，则； 若，则， ∴； 故答案是； 尝试探究：略 拓展应用： 略 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $