江苏省苏州中学、海门中学、姜堰中学、淮阴中学等四校2024-2025学年高三下学期2月联考数学试卷

2025届高三年级阶段调研 数学学科参考答策 2025.2 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分 思号1■2T34567■8 答案CCDCBDAB 二、多选选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分 题号91011 答案ACD AC ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.0.1 13.14580 14.5 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) (0)解：在△ABC中，由正弦定理及2 asin B-V5 ccos B=√30cosC, 得2 sin Asin B-√5 sinCcosB=√5 sin BeosC, …2分 2sin Asin B=3sin Ccos B+3sin BcosC=3sin(B+C)=3sin A, 又因为咖4>0，所以如B= …4分 2 又因为B后(0，)，所以B=二或2红 3 ②懈：由6=2a及正弦定理，得s如B=2si如4，则s如A=血B- 2 ,…8分 4 由于6>a,则B>A,则A为悦角，所以cos4=-i如A- 4…10分 4 于是如24=2h4cos4=厘cos2M=2o时A-1:月 4…12分 8 所以sn(2A-5= (sin24-cos2A)= 78-55 …13分 16 16.(15分) (I)证明：在△ABC中，取点P并作PG⊥AB,PH⊥AC,G,H为垂足， 因为PG⊥AB,平面ABBA⊥平面ABC,PGC平面ABC, 平面ABB,A∩平面ABC=AB, 所以PG⊥平面ABBA… …2分 又因为AAC平面ABBA.所以PG⊥AA.…3分 因为PH⊥AC,平面AACC⊥平面ABC,PHC平面ABC, 平面AACC∩平面ABC=AC, 所以PH⊥平面AACC 又因为AAC平面AACC.所以PH⊥AA… 44…6 第1页共6页 又因为PG∩PH=P,PGC平面ABC,PHc平面ABC, 所以A⊥平而ABC,444444…7分 (2)解：因为AB2+AC2=BC2,所以AB⊥AC,…8分 由(I)知AA⊥平面ABC.又因为ABC平面ABC,ACC平面ABC, 所以AB⊥AA且AC⊥AA, …9分 以ABAC,A4为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系。 各点和向盘坐标分别为A(0,0,0),A(0,0,3),B2,0,0),C(0,1,3), BA=(-2,0,3),AC=(0,13),… |BA·ACI 9 设直线BA与AC所成角为日，则cos9= …13分 1BA4B4C1V30V130 所以si血9=V-cos2-7130 130, 0…14分 7W130 所以直线BA与AC所成角的正弦值为 130 …15分 17.(15分) (1)①解：设按照A、B、C的顺序先后进入任务被完成为事件E,则 P(E)=乃+0-A)P2+0-A)门-P2)乃3=0.496…3分 ②解：X可取1,2,3， PX=1)=乃=0.1P(X=2)=1-p)p2=0.18,P(X=3)=1-p)0-p2)=0.72, 所以其分布列为 3 0.1 0.18 0.72 …7分 所以E(X)=1×0.1+2×0.18+3×0.72=2.62.…8分 (2)解：若按照某一指定顺序派人，A、B、C三人各自能完成任务的概率依次为91,92,9， 其中91,92,9是A,P2,P3的一个排列，结合(I)②知 第2页共6页 E(X)=1×g+2×0-)9+30-9)0-9)=(2-g21-g1）+1,…10分 因为1>乃>乃>乃，所以要使最小，输两人应从A和B中选，C最后派出，…12分 若先派再派B,最后深C,则EX)=乃乃-2n一B+3: 若先派B,再派不最后深C,则X)=A乃-2马-A+3, 所以K)-EX)=-A<0, 所以先派小再派B,最后深C时，派出人员数目X的数学糊望达到最小。…5分 18.(17分)】 (0)解：设双曲线的焦半距为C,则c2=a2+1,…1分 又因为高心率为2 ,所以9.25 a 3 代入 =a2+1,解得a=√5 …2分 3 所以双曲线C的方程为 3y2=1 44…3分 ②证明：设P,%》,不纺设04为满近线y= *,08为近线y= x,…4分 方法一：直线AP的方程为y一为=- -(x-) 3 5 y= 联立方程 y-%=- 3 所以0A=出+5l …6分 5 同理可得5、 5.1 2%, 6名+乞x所似08=-5 …7分 由于直线O4的斜率k= 因此∠A0x=30°，所以∠A0B=2∠AOx=60°， 所以平行四边形A0B的面积为S=04:0B,s血∠AOB=号-3 …8分 6 因为点P在双曲线C上，所以兰-片=1，即-3X=3, 所以平行因边形PAOB的面积为 …9分 2 3 方法二：设点P到渐近线y=· x的距离为d,点P到渐近线y=- x的距离为d 3 3 4=x-y,4=+到 2 由于直线0A的制率k=5因此乙40x=30,所以乙A0B-2∠40x=60, 所似平行四边形PAOB的面积为S=4.2 好-3场 60“44 4…8分 因为点P在双曲线C上，所似号-乃=1，即-3列好=3， 所以平行四边形PAO8的面积为 9分 2 G)解：设P(x0,),C(x,片)，D,2): 因为盛数y-宁的导数为广=，所以直线PC的方程为y一头=任-》， 由于P(%)在直线PC上，则为%-片=x(%-)=xo-2y,%+4=% 同理%+为2=为2： 所以C(,),D(,2)均满足方程%+y=×x, 所以直线CD的方程为Xx=y十%，…1I分 联立方程 =y+为，得2-2xw+2y%=0, x2=2y 所以为+x3=2x0:为3=2%： …12分 则CD=V1+好引-上V1+号V4-8%， …13分 又因为P到直线cD的距离d=-2丛 …14分 1+好 所△PcD面积7-20D-d克6-2%候-8%-6-2…15分 强为后-2%-3听-2+8=30+号号 所7≥.65，当P为与时7聚是小值5 所以△PCD面积最小值为166 …17分 19.(17分) (I)解：a=l时f(x)=e-nx, g(x)=e*-x-1,g'(x)=e*-1, 当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减：当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以(x)≥g(0)=0,所以e'-x≥1恒成立（当且仅当x=0时等号成立）…2分 令x=n1,得1-lnf≥1，即x-lnx≥1恒成立（当且仅当x=1时等号成立）3分 所以(e-x)+(x-lnx)≥2，由于等号不能同时取到， 所以e-lnx>2,即f(x)>2.… 444分 (2)方法一：解：f(x)=0每价于e2=anax,即xe'=Inax.e@ 因为e>0,a>0,所以lnax>0,由f(x)定义域知x>0, 又因为y=xe在(0，+o)上单谓递增，所以x=nax,e=ax, 令h(x)=e5一ax,f(x)的零点即为h(x)的零点.……6分 因为(x)=e-a, 当x<lna时，h'(x)<0,h(x)单调递减：当x>lna时，(x)>0,h(x)单调递增. 所以hx)n=h(na)=al-lnad, 当0<a<e时，因为h(x)≥h(na)>0,所以h(x)无零点，即f(x)无琴点：…7分 当a=e时，因为h(x)≥hna=0,(当且仅当x=lna时等号成立)， 所以h(x)恰有一个零点，即f(x)恰有一个零点：…8分 当a>e时，h(0)=l>0,hna)<0,h(a=e°-a2>0,且0<lna<a, 由于函数图像连续不间断，函数号点存在性定理，存在x∈(0，na),x2e(山a,a),使得 h(x)=h(x)=0,结合单调性，h)恰有两个零点，即f(x)恰有两个零点. 综上所述，当0<a<e时，f(x)无零点：当a=e时，f(x)恰有一个零点：当a>e时， f(x)恰有两个零点.… …10分 方法二：解：闲=e'-(x>0), 令p(x)=xe-a(x>-1)p'(x)=(x+1)e>0,p(x)在(-l,+o)上单调递增， 因为p(0)=-a<0,p(a)=a(e°-l)>0,由于函数图像连续不间断，函数零点存在性定 理，存在0<<a,使得p(x)=0, 当0<x<时，p(x)<0,(x)<0,f(x)单调递减， 当x>时，p(x)>0,(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(x)m=f(x)=e-aina,又因为xe=a, 所以fd)=e-xen(e)=e*(-2n-),…6分 第5页共6页 ◆1n上-2nx-,r0-区=少<0，所以闲在0，+o)上调通晚 又闲为0)=0，所以当0<x<1时，(x)>01当x>1时，(x)<0. 当0<。<1，即0<a<e时，f(x)≥f(x)=0)>0,f(x)无零点，…7分 当。■1，即a=0时，(x)≥)▣0，（当且仅当x=1时取到等号） f(伏恰有一个零点……8分 当飞>1、即a>时，)=心e6)<0,又因为白=>0， ja)=e-2alna>e-a2>0,2<1<6<a, 由于函数图像连峻不间断，函数零点存在性定理，存在名，)，名（么，），使得 (x)=f(x)=0,结合单调性，函数f(x)恰有两个零点. 馀上所述，当0<a<e时，f(x)无零点：当a=e时，f(x)恰有一个零点：当a>e时， f()恰有两个零点小…10分 (3)解：由(2)知，fx)的零点即为h(x)的号点.=b2=0,n=1,2时命题成立： 当a>e时，h(x)恰有两个零点，设为，，为，不妨设0<为<l山a<为2· 令H(x)=hx)-h2na-x),则H(na)=0, 因为P)=+号-2a≥0，所以H闭在R上单调递增， 因为，<na,所以H()<Hna)=0,则hx)=h)<h(2lna-x), 又因为为3>ha,2lna-,>ha,h(x)在(na,+oo)上单调递增， 所以x3<2na-x,x+为<2lha, 所以b<2nk(k≥3，keN), …13分 所以4+场+8<2n3<4<号A+6+8+8<2h3+2h48< 3 4+a+6+b+a<2n3+2h4+2h5<12-9 n=3,4,5时命题成立：…14分 令o-nx-北>小.p()-子<0，p阅在网)上单满遇减。 3x 又因为p(6)=lh6-2<0,所以当k≥6时，p(k)<0, 所以nk<6<2hk<2k,… …15分 当n≥6时，么+h,+…+6,<12+径(6+7+8+…m=?+n+6<a+ 3 综上所述，6+么+…+6<m+ 44…17分 3 第6页共6页2025届高三年级阶段调研 数学学科试题 20252 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.设集合M=y川y=2x,x∈[-l1,]},N={xy=log21-x},则M∩N= A.1,2) B.1,2] c.【-2,10 D.[-2,1] 2.已知复数z=3-4 的共轭复数为z,则zz= 2+i A.3 B.4 C.5 D.6 3.若命题“VeR,x2-2r+6a>0”是假命恶，则a的取值范围是 A.(0, B.(-0,0)U(6,+o)C.[0,6] D.(-o,0]U[6,+oo) 4.高三某研究学习小组共10人，他们各自统计了自己一周每天的数学回家作业所花费的平 均时间（单位：mi血）分别为38,41,48,48,58,63,68,68,70,82，则这组数据的 A,众数是48· B.极差是38 C.中位数是60.5 D.下四分位数是68 5.过点4-5,0)作曲线y=血严的切线，则切线条数最多为 A.0 B.1 C.2 D.3 6。在△ABC中，A=元，BC=2,若满足上述条件的△ABC恰有一解，则边长AC的 6 取值范围是 A.(0,2) B.(0,21 c.(0,2)U{4 D.(0,2]U{4 7.已知点P(-m,0),2(m,0),若圆(x-5)2+y-12)2=4上存在点R,使得∠PRQ=90°， 则正数m的取值范围是 A.1115] B.[1117] c.[9,15] D.[9,17刀 8.如图，将边长为1的正五边形ABCDE的各边延长，得到一个正五角星若点P、2在正 ·五角星的内部（含边界），则P.A⊙的最小值为 A.-3-√5 B.-2-V5 c.-1-5 D.-5 (第8题图) 第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知a>0,b>0,满足a+2b=4,则下列说法正确的是 A.ab≤2 1+2≤1 ab c.a2+b> D.3°+918 5 10.已知函数f)=sin(ax+p(@>0,lpk的周期为买，且向右平移：个单位后所 12 得到的函数为奇函数，则下列说法正确的是 人函数了儿在受存上单调递减 品。函数了代)的图象关于点(80中心对称 C.函数f()的图象关于直线x=-红对称 24 D.函数()在x=征处取极值 12 11.如图所示，已知正三棱锥A-BCD底面边长为m,侧棱长为n,E,F,G,H分别为 AB,AD,CD,BC的中点，连接EF,FG,GH,HE,CE,CF,则下列说法正确的是 A.四边形EFGH为矩形 B.向量C,BD,H派不共面 C.点P在△ABC内，点P到点A距离与到底面BCD 距离相等，则点P的轨迹是椭圆的一部分 D.若侧棱长n=m,则直线AC与平面CEF所成角的 (第11题图) 正弦值为 √22 11 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量5服从正态分布N(12,σ2)，且P00<5<12)=0.4，则 P(5>14)=一 13.已知数列{a,}满足a=3,a1= 2a,a,S7 数列(a.}的前2025项的和为 an-7,a.>7 14.已知直线！的倾斜角为锐角，且过抛物线y=x的焦点，与抛物线交于A、B两点.若 在该抛物线的准线上存在一点C,使得△ABC为正三角形，则直线I的斜率为 篮)而址4而 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 asin B-√3 ccos B=√3 bcosC. (1)求角B: 回若b=2a,求n(24-孕. 16.(15分) 如图，在三棱柱ABC-ABC中，平面ABB,A⊥平面ABC,平面A4CC⊥平面ABC. (I)证明：A4⊥平面ABC: (②)已知A4=3,AB=2,AC=L,BC=5,求直线AB与AC所 成角的正弦值。 (第16题图) 17.(15分) 有一项高辐射的危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在 规定安全时间内未完成任务则撒出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务，现在一共有 A、B、C三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为P1,P2,P,且乃1，P2,P 互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立. ()P1=0.1P2=0.2,乃3=0.3，如果按照A、B、C的顺序先后进入： ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出人员数目X的分布列和数学期望： (2)假定1>乃>P2>乃，试分析以怎样的先后顺序派出A、B、C三个人，可使所需派 出的人员数目X的数学期望达到最小， 第3页共4页 18.(17分) 在平面直角坐标系z0中，双鱼线C:苔-少=10>0，离心率为2，点P是G上 3 任意一点.抛物线C2:x2=2y, (1)求C的方程： (2)过点P作C的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A,B两点，求证：平行 四边形PAOB的面积为定值： (3)PC,PD是C,的两条切线，C,D是切点，求△PCD面积的最小值. (第18题图) 19.(17分) 函数f(x)=e-aIn ax(a>0) ()a=1时，证明：f()>2: (2)讨论函数f(x)的零点个数： (3)当a=k(k∈N”)时，记f(x)所有零点之和为b(若f(x)无零点则b=0), 证明：么+h,++6,<a+(aeN.惨考数据：8=2718) 3