专题5 【新教材·新考向】实数中的学科融合及An纸的长与宽的估算（解析版+原卷版）-2024-2025学年七年级数学下章节单元小结及期中期末复习讲义与提优测试卷（新人教版）

专题5 【新教材·新考向】实数中的学科融合及An纸的长与宽的估算 模块一 实数中的学科融合 类型一 在物理学科方面的应用 1．（2022秋•上虞区期末）一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估计．如图，上海金茂大厦观光厅离地面高度340米，若一物体从观光厅自由下落到地面上，则该物体所经过的时间秒数与下列哪个数最接近．你的选项是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据题意列式计算后进行无理数的估算即可． 【解答】解：由题意可得t， ∵82＝64，8.52＝72.25， ∴88.5， 即该物体所经过的时间秒数与8接近， 故选：C． 【点评】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 2．（2023春•郸城县校级期中）交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是，其中v表示车速（单位：km/h），d表示车轮划过的距离（单位：m），f表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得d＝10m，f＝1.2．（参考数据：） （1）求肇事汽车的速度； （2）若此路段限速60km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速？ 【分析】（1）将d＝10m，f＝1.2代入公式进行计算即可求解； （2）根据（1）的结论，根据题意，比较大小，即可求解． 【解答】解：（1）依题意，km/h； （2）∵肇事汽车的速度为55.36km/h＜60km/h， ∴肇事汽车没有超速． 【点评】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 3．（2024秋•太原期中）当运动中的汽车撞击到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响I”来衡量，某类型汽车的撞击影响I可以用公式I＝2v2来表示，其中v（单位：千米/分）表示汽车的速度，在一次撞车试验中测得撞击影响I＝72（千米/分）2，求此次撞击时的车速． 【分析】由I＝2ν2，这种型号的汽车在一次撞车实验中测得撞击影响为17，即可得ν2，继而求得答案． 【解答】解：∵I＝2ν2， ∴当I＝72时，72＝2ν2， ∴ν236（千米/分）2， ∴v6千米/分． 答：撞击时的车速是6千米/分． 【点评】此题考查了算术平方根的应用．注意理解题意是解此题的关键． 4．（2024秋•安宁区校级期中）根据如表回答下列问题： x 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 x2 16 16.81 17.64 18.49 19.36 20.25 21.16 22.09 23.04 24.01 25 （1）17.64的平方根是 　±4.2　， 　4.3　； （2）物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是h＝4.9t2.有一个物体从99m高的建筑物上自由落下，物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到0.1s） 【分析】（1）根据表格数据填空即可； （2）将h＝99代入公式h＝4.9t2计算即可． 【解答】解：（1）根据表格数据可知：17.64的平方根是±4.2，4.3； 故答案为：±4.2；4.3． （2）由h＝4.9t2得，当h＝99时，t220.204， ∴t4.5． 答：物体到达地面需要时间约4.5s． 【点评】本题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握算术平方根和平方根性质的关键． 5．（2024春•尚志市期中）物体自由下落时，下落距离h（单位：米）可用公式h＝5t2来估计，其中t（t＞0单位：秒）表示物体下落的时间． （1）把公式变形成用h表示t的形式； （2）若一只篮球掉入125米深的山谷中（篮球竖直下落，落入谷底前不与其他物体接触），则篮球经过几秒掉落到谷底？（篮球的下落过程看作物体自由下落） 【分析】（1）根据：h＝5t2，把公式变形成用h表示t的形式即可． （2）把h＝125代入（1）求出的t的表达式，求出篮球经过几秒掉落到谷底即可． 【解答】解：（1）∵h＝5t2， ∴， ∴， ∵t＞0， ∴． （2）由题意得：（秒） 答：篮球经过5秒掉落到谷底． 【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 类型二 在自然学科方面的应用 6．俗话说，登高望远．从理论上说，当人站在距地面h千米的高处时，能看到的最远距离约为d＝112千米． （1）金茂大厦观光厅距离地面340米，人在观光厅里最多能看多远？（精确到0.1千米） （2）某人在距地面h千米高处可看到的最远距离为33.6千米，求h的值． 【分析】（1）根据能看到的最远距离约为d＝112千米，可得答案； （2）根据能看到的最远距离约为d＝112千米，可得答案． 【解答】解：（1）当h＝340m＝0.34km时，d＝11265.3（km）， 答：人在观光厅里最多能看65.3km； （2）当d＝33.6km时，h＝（）2＝0.09（km）， 答：h是0.09km． 【点评】本题考查了算术平方根，利用了开方运算． 类型三 在计算机程序图方面的应用 7．（2024秋•东阳市期中）如图，这是一个数值转换器． （1）当输入x的值为25时，输出y＝　　． （2）是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在，请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由． （3）小明输入了下面的几个备选数据中的某一个，结果转换器运行过程中显示“该操作无法运行”，请你判断输入x的值可能是哪一个数据？请说明理由． 备选数据：π，4，，． （4）若小明输入了某个x的值后得到了，请你判断一下他输入x的值是否是唯一的？若不唯一，请你写出3个不同的数值． 【分析】（1）根据运算规则计算即可得解，无理数才是y，取算术平方根后是有理数再循环计算； （2）根据0和1的算术平方根分别是0和1，一定是有理数，即可得解； （3）根据负数没有算术平方根即可得解； （4）根据运算法则，进行逆运算即可得解． 【解答】解：（1）当输入x的值为25时，，则； 故答案为：； （2）存在， ∵0和1的算术平方根分别是0和1，一定是有理数， 故永远不能输出无理数， 故满足要求的x的值是0或1； （3）∵负数没有算术平方根， 故输入x的值为； （4）他输入x的值不唯一， 第一次输入2时，可得到，故x可为2； 第二次输入2时，x可为4； 第三次输入2时，x可为16； 故x可为2或4或16（答案不唯一）． 【点评】本题考查了求算术平方根，算术平方根有意义的条件，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 模块二 估算An纸的长与宽【教材新增】 8．（2023春•凯里市校级期中）如图①，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图②中A、B两点表示的数分别为 　　，　　； （2）请你参照上面的方法：把图③中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a＝　　．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） 【分析】（1）根据图①得出小正方形对角线长即可； （2）根据长方形面积即可得出正方形面积，从而求出正方形边长． 【解答】解：（1）由勾股定理得：对角线为， ∴图②中A、B两点表示的数分别， 故答案为：， （2）∵长方形面积为5， ∴正方形边长为，如图所示： 故答案为：． 【点评】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． 9．（2023•福田区模拟）生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸，基于满足影印（放大或缩小后，需保持形状不变）及制作各型号纸张时，既方便又省料等方面的需要，对于纸张规格，存有一些通用的国际标准，其中，把A0纸定义为面积为1平方米，长与宽的比为：1的纸张；沿A0纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张A1纸；再沿A1纸两条长边中点的连线裁切得A2纸…以此类推，得A3，A4，A5等等的纸张（如图所示），若设A4纸张的宽为x米，则x应为（　　） A． B．的算术平方根 C． D．的算术平方根 【分析】由A4纸张的宽为x米，表示出A0纸的宽和长，根据A0纸面积为1平方米求出x的值即可． 【解答】解：由图得，当A4纸张的宽为x米时，A0纸的宽为4x米， ∵纸张长与宽的比为：1， ∴A0纸的长为4x米， ∵A0纸面积为1平方米， ∴4x•4x＝1， ∴x2， ∴x的值为的算术平方根． 故选：D． 【点评】本题考查了平方根的计算，根据图形表示出A0的长宽是解题关键． 10．（2024春•西城区校级期中）按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，…来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；②将Ai（i＝0，1，…，9）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为Ai+1规格纸张（如图）． （1）裁剪1张A0规格纸张最多可得到A4规格纸 　16　张． （2）某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张．共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张，为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为 　8　． 【分析】（1）直接根据题意，即可求解； （2）根据题意可知：1张A0规格纸张可以裁剪出2张A1，或4张42，或16张A4，设一张A0规格纸张的面积为x，可得到一张A1，A2，A4的面积，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得：裁剪1张A0规格纸张最多可得到A4规格纸4×4＝16张； 故答案为：16； （2）根据题意可知：1张A0规格纸张可以裁剪出2张A1，或4张A2，或16张A4， 设一张A0规格纸张的面积为x，则 一张A1规格纸张的面积为， 一张A2规格纸张的面积为， 一张A4规格纸张的面积为， 根据题意可得总共需要的纸张的面积为， 故至少需要提供A0规格纸张的张数为8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了规律型﹣数字的变化类和整式加减的应用，理清规律即可求解． 11．课题学习“An系列纸”的研究： 纸张尺寸是将纸张的长宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是ISO所制定的标准，并将尺寸冠以编号例如A4，B5等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活便利性． 如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张A（n+1）纸． （1）填空：A1纸面积是A2纸面积的 　2　倍，A2纸周长是A4纸周长的 　2　倍； （2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比． 【分析】（1）根据已知条件可得A1纸面积是A2纸面积的2倍，设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸的周长＝2（a+b），根据矩形纸张之间的规格特征，不难求出A4纸的周长，然后将其相比即可； （2）设A1纸的长和宽分别为m，n，则A2纸的长和宽分别为n，m，进而根据规格特征可得；根据上述分析，进行解答即可求出m：n的值，即为该系列纸张的长与宽之比． 【解答】解：（1）∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸， ∴A1纸面积是A2纸面积的2倍． 设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸的周长＝2（a+b）， 则A3纸的长是b，宽为，A4纸的长是，宽为， ∴A4纸的周长＝2（）＝a+b． 故答案为：2，2． （2）设A1纸的长和宽分别为m，n， 则A2纸的长和宽分别为n，m， ∴， ∴m：n：1． 故该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1． 【点评】本题考查相似多边形，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 12．（2022•龙岗区校级模拟）按照国际标准，A系列纸为矩形纸，其中A0纸的面积为1m2．将A0纸沿长边对开便成了两张A1纸，将A1纸沿长边对开便成了两张A2纸；……，将A4纸沿长边对开便成了两张A5纸． 【操作与观察】 将一张A4纸按如图所示的方式进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好与点C重合，求A4纸的长宽之比． 【猜想与验证】 利用图，求证：△CDE是等腰直角三角形． 【类比与归纳】 ①按照国际标准，类比上述研究可以得到A5纸的长宽之比是 　：1　． ②用A0纸可以裁剪出的最大正方形的面积为 　m2　． 【分析】操作与观察：设A4纸的长为m，宽为n，根据折叠的性质得到ABn．AB＝AC＝m，进而得到n＝m，即可求解； 猜想与验证：由折叠得到CD＝BD'＝（1）n，D'E＝DE，∠D＝90°，设DE＝x，则CE＝n﹣x，由勾股定理求出DE，即可得出结论； 类比与归纳：①根据题意，可知A5纸的长为A4纸的宽，A5纸的宽为A4纸的长度的一半，结合A4纸的长和宽的比，即可得到A5纸的长和宽的比； ②根据长和宽的比，以及A0纸的面积，求出A0纸长和宽，推出当裁剪出的正方形的边长等于A0纸的宽时，面积最大，求解即可． 【解答】解：操作与观察：设A4纸的长为m，宽为n． 第一次折叠，形成一个正方形， ∴ABn． 第二次折叠得到：AB＝AC＝m， ∴n＝m， ∴2， ∴A4纸的长宽之比2：1； 猜想与验证：由（1）得ACn．CD'＝n． 由折叠的性质可得CD＝BD′＝（1）n．D′E＝DE，∠D＝90°． 设DE＝x，则CE＝n﹣x， 由勾股定理可得，（1）2n2+x2＝（n﹣x）2， 解得x＝（1）n． ∵DE＝（1）n＝CD，∠D＝90°， ∴△CDE是等腰直角三角形； 类比与归纳：①将A4纸沿长边对开便成了两张A5纸， ∴A5纸的长为A4纸的宽，A5纸的宽为A4纸的长度的一半， ∵A4纸的长宽之比为：1， ∴A5纸的长宽之比是1：：1， 故答案为：：1； ②同理可知：A0纸的长宽之比是：1， 设A0纸的宽为x m，则长为x m， ∵A0纸的面积为1m2， ∴x•x＝1， ∴x2， ∴当用A0纸可以裁剪出正方形的边长等于A0纸的宽时，面积最大，为m2， 故答案为：m2． 【点评】本题考查矩形与折叠，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 【新教材·新考向】实数中的学科融合及An纸的长与宽的估算 模块一 实数中的学科融合 类型一 在物理学科方面的应用 1．（2022秋•上虞区期末）一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估计．如图，上海金茂大厦观光厅离地面高度340米，若一物体从观光厅自由下落到地面上，则该物体所经过的时间秒数与下列哪个数最接近．你的选项是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2023春•郸城县校级期中）交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是，其中v表示车速（单位：km/h），d表示车轮划过的距离（单位：m），f表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得d＝10m，f＝1.2．（参考数据：） （1）求肇事汽车的速度； （2）若此路段限速60km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速？ 3．（2024秋•太原期中）当运动中的汽车撞击到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响I”来衡量，某类型汽车的撞击影响I可以用公式I＝2v2来表示，其中v（单位：千米/分）表示汽车的速度，在一次撞车试验中测得撞击影响I＝72（千米/分）2，求此次撞击时的车速． 4．（2024秋•安宁区校级期中）根据如表回答下列问题： x 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 x2 16 16.81 17.64 18.49 19.36 20.25 21.16 22.09 23.04 24.01 25 （1）17.64的平方根是 　 　， 　 　； （2）物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是h＝4.9t2.有一个物体从99m高的建筑物上自由落下，物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到0.1s） 5．（2024春•尚志市期中）物体自由下落时，下落距离h（单位：米）可用公式h＝5t2来估计，其中t（t＞0单位：秒）表示物体下落的时间． （1）把公式变形成用h表示t的形式； （2）若一只篮球掉入125米深的山谷中（篮球竖直下落，落入谷底前不与其他物体接触），则篮球经过几秒掉落到谷底？（篮球的下落过程看作物体自由下落） 类型二 在自然学科方面的应用 6．俗话说，登高望远．从理论上说，当人站在距地面h千米的高处时，能看到的最远距离约为d＝112千米． （1）金茂大厦观光厅距离地面340米，人在观光厅里最多能看多远？（精确到0.1千米） （2）某人在距地面h千米高处可看到的最远距离为33.6千米，求h的值． 类型三 在计算机程序图方面的应用 7．（2024秋•东阳市期中）如图，这是一个数值转换器． （1）当输入x的值为25时，输出y＝　　． （2）是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在，请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由． （3）小明输入了下面的几个备选数据中的某一个，结果转换器运行过程中显示“该操作无法运行”，请你判断输入x的值可能是哪一个数据？请说明理由． 备选数据：π，4，，． （4）若小明输入了某个x的值后得到了，请你判断一下他输入x的值是否是唯一的？若不唯一，请你写出3个不同的数值． 模块二 估算An纸的长与宽【教材新增】 8．（2023春•凯里市校级期中）如图①，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图②中A、B两点表示的数分别为 　 ，　 ； （2）请你参照上面的方法：把图③中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a＝　 ．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） 9．（2023•福田区模拟）生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸，基于满足影印（放大或缩小后，需保持形状不变）及制作各型号纸张时，既方便又省料等方面的需要，对于纸张规格，存有一些通用的国际标准，其中，把A0纸定义为面积为1平方米，长与宽的比为：1的纸张；沿A0纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张A1纸；再沿A1纸两条长边中点的连线裁切得A2纸…以此类推，得A3，A4，A5等等的纸张（如图所示），若设A4纸张的宽为x米，则x应为（　　） A． B．的算术平方根 C． D．的算术平方根 10．（2024春•西城区校级期中）按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，…来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；②将Ai（i＝0，1，…，9）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为Ai+1规格纸张（如图）． （1）裁剪1张A0规格纸张最多可得到A4规格纸 　 　张． （2）某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张．共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张，为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为 　 　． 11．课题学习“An系列纸”的研究： 纸张尺寸是将纸张的长宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是ISO所制定的标准，并将尺寸冠以编号例如A4，B5等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活便利性． 如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张A（n+1）纸． （1）填空：A1纸面积是A2纸面积的 　 　倍，A2纸周长是A4纸周长的 　倍； （2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比． 12．（2022•龙岗区校级模拟）按照国际标准，A系列纸为矩形纸，其中A0纸的面积为1m2．将A0纸沿长边对开便成了两张A1纸，将A1纸沿长边对开便成了两张A2纸；……，将A4纸沿长边对开便成了两张A5纸． 【操作与观察】 将一张A4纸按如图所示的方式进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好与点C重合，求A4纸的长宽之比． 【猜想与验证】 利用图，求证：△CDE是等腰直角三角形． 【类比与归纳】 ①按照国际标准，类比上述研究可以得到A5纸的长宽之比是 　 　． ②用A0纸可以裁剪出的最大正方形的面积为 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$