浙教版2025年九年级中考数学第一轮专题复习讲义《第16讲 线段、角、相交线与平行线》

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第四单元　三角形 《第16讲 线段、角、相交线与平行线》 【知识梳理】 1.三种基本图形——直线、射线、线段 (1)有关概念: 线段向一方无限延伸就成为　射线　.线段向两方无限延伸就成为　直线　.　线段　是直线上两点间的部分，　射线　是直线上某一点及一旁的部分.连结两点的　线段的长度　叫做这两点间的距离.  (2)有关基本事实: ①直线有下面的基本事实:经过两点有一条而且只有一条直线.可以简单地说成:　两点　确定一条直线.  ②线段有以下的基本事实:在所有连结两点的线中，线段最短.简单地说，两点之间线段　最短　.  (3)常见几何计数: ①当一条直线上有n个点时，在这条直线上存在 　条以这n个点中的两点为端点的线段.  ②平面内有n个点，过这n个点中的两点可作一条直线，在这个平面内最多可作 　条直线.  ③如果平面内有n条直线，它们最多有 　个交点.  2.角 (1)角的定义: ①由两条有公共端点的　射线　所组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的　顶点　.  ②由一条射线绕着它的　端点　旋转而成的图形叫做角.  (2)角的分类:角按照大小可以分为　锐角　、　直角　、钝角、平角、周角.  (3)角的比较方法:①　叠合　法;②度量法.  (4)角的度量及单位换算:1°＝　60　'，1'＝　60　″.  (5)角平分线:从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个　相等　的角，这条射线叫做这个角的平分线.  3.互为余角、互为补角 (1)互为余角:如果∠1和∠2互为余角，那么∠1＋∠2＝　90　°.  (2)互为补角:如果∠1和∠2互为补角，那么∠1＋∠2＝　180　°.  (3)余角与补角的性质:同角或等角的余角　相等　，同角或等角的补角　相等　.  4.对顶角 (1)定义:一个角的两边分别是另一个角的两边的　反向延长线　，这两个角叫做对顶角.  (2)对顶角的性质:　对顶角相等　.  5.垂直 (1)垂直的性质:在同一平面内，过一点有　一条而且仅有一　条直线垂直于已知直线.  (2)点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的　垂线段的长度　叫做点到直线的距离.  (3)垂线段最短:连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，　垂线段　最短.  6.同位角、内错角、同旁内角 如图，两条直线l1，l2被第三条直线l3所截. (1)同位角:两个角都在第三条直线l3的同旁，并且分别位于直线l1，l2的同一侧，这样的一对角叫做同位角.如∠1和　∠5　，∠7和　∠3　.  (2)内错角:两个角分别位于第三条直线l3的异侧，并且都在直线l1，l2之间，这样的一对角叫做内错角.如∠3和　∠5　，∠6和　∠4　.  (3)同旁内角:两个角都在第三条直线l3的同旁，并且在直线l1，l2之间，这样的一对角叫做同旁内角.如∠3和　∠6　，∠5和　∠4　.  7.平行线 (1)平行线的定义:在同一个平面内，　不相交　的两条直线叫做平行线.  (2)平行公理:经过直线外一点，　有且只有一　条直线与这条直线平行.  (3)平行公理的推论:如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相　平行　.  8.平行线的判定 (1)同位角　相等　，两直线平行.  (2)内错角　相等　，两直线平行.  (3)同旁内角　互补　，两直线平行.  9.平行线的性质 (1)两直线平行，　同位角　相等.  (2)两直线平行，　内错角　相等.  (3)两直线平行，　同旁内角　互补.  10.七巧板 七巧板是中国古老的智力游戏，它由七块板组成，完整图案为一个正方形，由这七块板可以变幻出各种不同的图案.解七巧板问题的技巧之一是活用等腰直角三角形的性质. 【考题探究】 类型一　直线、线段和射线 【例1】[2024·浙江模拟]高速公路是指专供汽车高速行驶的公路.高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程.其中的数学原理是(　A　) A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.平行线之间的距离最短 D.平面内经过一点有无数条直线 变式1 如图，设P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为Q，T是直线l上的一个动点，连结PT，则(　C　) 变式1图 A.PT≥2PQ B.PT≤2PQ C.PT≥PQ D.PT≤PQ 类型二　相交线与垂线 【例2】[2024·北京]如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC.若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为(　B　) 例2图 A.29° B.32° C.45° D.58° 类型三　余角与补角 【例3】[2024·甘肃改编]若∠A＝55°，则∠A的补角为　125　°，余角为　35　°.  变式3 如果一个角的余角是它的补角的，那么这个角的度数为(　B　) A.30° B.45° C.60° D.75° 【解析】 设这个角的度数为α，则它的余角的度数为(90°－α)，补角的度数为(180°－α). 由题意，得90°－α＝(180°－α)， 解得α＝45°，即这个角的度数为45°. 类型四　平行线的性质 【例4】[2024·福建]在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为(　A　) A.30° B.45° C.60° D.75° 例4图 例4答图 【解析】 如答图标注字母. ∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABF＝60°. ∵CD⊥DE，∴∠CDE＝90°，∴∠1＝180°－60°－90°＝30°.故选A. 变式4－1 [2024·南充]如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为(　C　) 变式4－1图 A.80° B.90° C.100° D.120° 变式4－2 [2023·台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为　140　°.  变式4－2图 变式4－2答图 【解析】 如答图标注∠3. ∵图案是由一张等宽的纸条折成的， ∴纸条的长边平行， ∴∠2＝∠3＝180°－2∠1＝140°. 类型五　平行线的判定与性质的综合运用 【例5】[2024·台州模拟]如图，若∠1＝∠2＝75°，∠3＝108°，则∠4的度数是(　D　) 例5图 A.75° B.102° C.105° D.108° 变式5 [2023·金华]如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是(　C　) A.120° B.125° C.130° D.135° 变式5图 变式5答图 【解析】 如答图所示标注∠5. ∵∠1＝∠3＝50°， ∴a∥b，∴∠2＋∠5＝180°. 又∵∠2＝50°， ∴∠4＝∠5＝180°－∠2＝130°. 类型六　七巧板 【例6】[2023·温州]图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域(点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为　5　.若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE＝EF，则题字区域的面积为 　.  图1 图2 例6图 【解析】 如答图所示标注字母，连结OG，观察图形，结合七巧板的性质易得LI＝2，GI＝IJ＝4，点G，I，J在同一条直线上，LK垂直平分GJ，∴LK是☉O的一条直径. 设☉O的半径为r，在Rt△GIO中，GI2＋IO2＝OG2，即42＋(r－2)2＝r2，解得r＝5. 例6答图 如答图，连结AO，AM，则AM过点N. ∵LK∥JP，∴∠ANK＝∠AMP， ∴＝tan∠ANK＝tan∠AMP＝＝2. ∵OI＝OL－LI＝3， ∴ON＝IN－OI＝4－3＝1. 设NQ＝a，则AQ＝2a，OQ＝a＋1. 在Rt△AOQ中，AO2－OQ2＝AQ2，即52－(a＋1)2＝(2a)2， 解得a1＝2，a2＝－(舍去)， ∴OQ＝ON＋NQ＝3. ∵AB∥PN，PN⊥KL，四边形CDEF是矩形， ∴易知ED⊥KL，∴ER＝DR. 由题意，设EF＝b，则QR＝b，ED＝b， ∴ER＝b. 在Rt△ORE中，OR2＋ER2＝OE2， 即(3＋b)2＋＝52， 解得b1＝，b2＝－4(舍去)， 则题字区域的面积为EF·ED＝×. 变式6－1 小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己.已知图1正方形纸片的边长为4，图2中FM＝2EM，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB，CD之间的距离为 　.  变式6－1图 【解析】 如答图，过点E作EI⊥FK于点I，过点M作MJ⊥FK于点J. 变式6－1答图 由题意得，△ABM，△EFK都是等腰直角三角形，AB＝BM＝2，EK＝EF＝2，FK＝4，FK与CD之间的距离为1. ∵EI⊥FK，∴KI＝IF，∴EI＝FK＝2. 易知△MFJ∽△EFI，EF＝EM＋FM＝3EM，∴，∴MJ＝. 又∵AB∥CD， ∴AB与CD之间的距离＝2＋＋1＝. 变式6－2 [2024·江西]将图1所示的七巧板拼成图2所示的四边形ABCD，连结AC，则tan∠CAB＝ 　.  图1　 　图2 变式6－2图 【解析】 设AC与BD相交于点O. ∵∠ABD＝∠CDB＝90°，∴CD∥AB. 又∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC与BD互相平分， ∴OB＝BD. 又∵AB＝BD，∴OB＝AB. 在Rt△AOB中，tan∠CAB＝tan∠OAB＝. 【课后作业】 1.如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上.这样做应用的数学知识是(　B　) 第1题图 A.两点之间，线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.三角形两边之和大于第三边 2.[2024·河南]如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为(　B　) 第2题图 A.60° B.50° C.40° D.30° 3.[2024·雅安]如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠1＝35°，则∠2的度数是(　A　) 第3题图 A.55° B.45° C.35° D.30° 4.[2024·广西]如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为(　C　) 第4题图 A.20° B.40° C.60° D.80° 5.[2024·盐城]如图，小明将一块直角三角尺摆放在直尺上，如图，若∠1＝55°，则∠2的度数为(　B　) 第5题图 A.25° B.35° C.45° D.55° 6.[2024·深圳]如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为(　B　) 第6题图 A.40° B.50° C.60° D.70° 【解析】 ∵入射光线是平行光线，∴∠1＝∠3，由反射定律得∠3＝∠4，∴∠4＝∠1＝50°.故选B. 7.角度互化:(1)57.18°＝　57　°　10　'　48　″.  (2)12'＝　0.2　°或　720　″.  8.[2023·烟台]如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别相交于点A，B，C，D，其中点A，B，C，D所在刻度分别为25°，50°，130°，155°.若连结AB，则∠BAD的度数为　52.5　°.  第8题图 9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°. (1)求∠BAD的度数. (2)若AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°.求证:AE∥DC. 第9题图 解:(1)∵AD∥BC， ∴∠B＋∠BAD＝180°. 又∵∠B＝80°， ∴∠BAD＝100°. (2)∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝50°. ∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°. 又∵∠BCD＝50°，∴∠BCD＝∠AEB， ∴AE∥DC. 10.[2024·达州]当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象.如图，∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为(　B　) 第10题图 A.30° B.40° C.50° D.70° 11.[2024·德阳]如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于(　B　) 第11题图 A.10° B.20° C.30° D.40° 12.[2024·莲都区模拟]课堂上同学们独立完成了这样一道问题:“如图，已知AB∥CD，AD∥BC，求证:∠1＝∠2.” 第12题图 小莲同学解答如下: 证明:∵AB∥CD， ∴∠1＋∠BCD＝180°. ∵AD∥BC， ∴∠2＋∠BCD＝180°， ∴∠1＝∠2. 小莲的证法是否正确?若正确，请在框内打“√”;若错误，请写出你的证明过程. 解:小莲的证法是错误的. 证明:AB∥CD， ∴∠1＋∠BAD＝180°. ∵AD∥BC， ∴∠2＋∠BAD＝180°， ∴∠1＝∠2. 13.如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD相交于点G和点D，AB与DM相交于点N，∠AOE＝∠BNM. (1)求证:OE∥DM. (2)若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数. 　 第13题图 解:(1)∵∠BNM＝∠AND，∠AOE＝∠BNM， ∴∠AOE＝∠AND， ∴OE∥DM. (2)∵AB与底座CD都平行于地面EF， ∴AB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝30°. ∵∠AOF＋∠BOD＝180°， ∴∠AOF＝150°. ∵OE平分∠AOF， ∴∠EOF＝∠AOF＝75°， ∴∠BOE＝∠BOD＋∠EOF＝105°. ∵OE∥DM， ∴∠ANM＝∠BOE＝105°. 14.如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横坐标为1，则“猫”爪尖F的坐标为 　.  第14题图 第14题答图 【解析】 如答图，过点A作AH⊥x轴于点H，过点F作FJ⊥y轴于点J，交PQ于点K，延长PQ交OB于点T. 设大正方形的边长为4a，易知OC＝a，CD＝2a，AD＝a. 在Rt△ADH中，∠ADH＝45°， ∴AH＝DH＝a，∴OH＝4a. ∵点A的横坐标为1，∴4a＝1，∴a＝. 在Rt△FPQ中，易知PF＝FQ＝2a＝，∴PQ＝PF＝. 易知FK⊥PQ，∴PK＝KQ， ∴FK＝PK＝KQ＝. 易知KJ＝，PT＝1＋BT＝1＋(BC－TC)＝1＋， ∴FJ＝， KT＝PT－PK＝， ∴点F. 学科网（北京）股份有限公司 $$