精品解析：山西省运城市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

运城市2024-2025学年第一学期期末调研测试 高一数学试题 2025.1 本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上． 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 函数零点所在的区间是（  ） A B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 若函数在区间上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B C. 的一个对称中心为 D. 要得到函数的图象，可以将的图象先向左平移个单位长度，再将各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数为实数，若，则的最小值为3 D. 设为实数，若，则的最大值为 11. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的最大值是 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象与直线有三个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的面积是，半径是，则扇形圆心角的弧度数是______． 13. 函数的单调递减区间是______． 14. 已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是______． 四，解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）当时，求，； （2）当时，求实数的取值范围． 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，，求． 17. 为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． （1）根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； （2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值． 参考数据：，，． 18. 已知函数的最小值为1． （1）求的值和的最小正周期； （2）求在上的单调递增区间； （3）若成立，求取值范围． 19. 现定义了一种新运算“”：对于任意实数、，都有且． （1）当时，计算； （2）证明：，都有； （3）设，若在区间上的值域为，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 运城市2024-2025学年第一学期期末调研测试 高一数学试题 2025.1 本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上． 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题. 【详解】命题“，”的否定是 “，”. 故选：B. 2. 函数的零点所在的区间是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数单调性，求，，，，结合零点存在性定理确定零点所在的区间. 【详解】因为函数和函数在上都单调递增， 所以函数为增函数， 又，，，， 由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是. 故选：C. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则，即充分性成立； 若，例如，可得，满足题意， 但，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系求齐次式的值. 【详解】因为. 故选：B 5. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及性质计算即可. 【详解】由题意知：. 所以，所以. 故选：A 6. 若函数在区间上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可求出的取值范围，根据正切型函数的单调性可得出集合的包含关系，可得出关于的不等式组，即可求正实数的取值范围. 【详解】因为，则函数在区间上只能单调递增， 当时，， 所以，，其中， 所以，，解得， 由解得，且， 当时，； 当时，则，可得. 综上所述，正实数的取值范围是. 故选：D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得，即可判断大小. 【详解】由， ， ， ∴， ∴，， ∴. 故选：B. 8. 已知函数，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由得，进而由二次函数的性质可得其最大值. 【详解】由得，得，故， 由得， 因单调递增，故，即， 故， 由二次函数的性质可知，当时，得的值最大为， 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的一个对称中心为 D. 要得到函数的图象，可以将的图象先向左平移个单位长度，再将各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的图象，结合“五点法”作图求出判断ABC；利用函数图象的变换判断D. 【详解】观察函数的图象，得，最小正周期，则， 由，得，而，则，， 对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，的一个对称中心为，C正确； 对于D，以将的图象向左平移个单位长度，得的图象， 再将所得图象上各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得函数的图象，D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数为实数，若，则的最小值为3 D. 设为实数，若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别通过拆分、配凑、“1”代换、配方等方法，利用基本（重要常用）不等式求解判断各选项. 【详解】A选项：， 当时，，当且仅当，即时取等号； 当时，，即， 当且仅当，即时取等号； 综上所述，即无最小值，A选项错误； B选项：时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，B选项正确； C选项：由，，，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，C选项正确； D选项：由，则， 又，即， 当且仅当时等号成立， 所以，故， 则有，当且仅当时等号成立， 即的最大值为，D选项正确； 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的最大值是 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象与直线有三个交点 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，根据奇函数的定义可判断；选项B，根据由函数是奇函数，考虑时，由的正负分为和分别求函数的值域即可；选项C由函数的定义域可判断；选项D结合函数的奇偶性和单调性画出图象即可判断. 【详解】选项A：由，得函数的定义域为， ，故函数是奇函数，A正确； 选项B：由于函数是奇函数，先考虑， 当时，， 此时函数在区间上单调递增， 因，故，， 当时，， 此时函数在区间上单调递减， 因时，，， 故时，， 由奇函数的性质，当时，，故B错误； 选项C：由函数的定义域为，可知函数的图象不关于直线对称，故C错误； 选项D： 如图所示，结合选项B可知， 当时，，当时，， 所以函数的图象与直线有三个交点，故D正确， 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的面积是，半径是，则扇形圆心角的弧度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】设扇形圆心角的弧度数为，利用扇形的面积公式可求得的值. 【详解】设扇形圆心角的弧度数为，由于该扇形的面积是，半径是， 则，解得. 故答案为：. 13. 函数的单调递减区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，令，则，再根据复合函数的单调性，求出单调区间，即得结果. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 令，，则， 函数的对称轴为， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为为增函数，根据复合函数同增异减， 要使函数单调递减，则需函数单调递减， 所以原函数的单调递减区间为. 故答案为：. 14. 已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象可得：，，进而得到，求出的取值范围，利用函数的单调性进而求解. 【详解】如下图所示： 方程有四个不同的解、、、且，且， 由图可知，点、关于直线对称，则， 由图可得，由可得，可得， 由可得， 所以，， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 因为，则， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于根据函数的对称性、对数的运算性质将所求代数式化简，转化为只含一个变量的函数，结合函数基本性质求解. 四，解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）当时，求，； （2）当时，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先确定集合，再进行集合的运算. （2）先明确集合的包含关系，结合集合的包含关系求参数的取值范围. 【小问1详解】 由，， 所以或， 则，． 【小问2详解】 由， 若，则，可得，此时； 若，则且可得， 综上，实数的取值范围是． 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，，求． 【答案】（1）6；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）将根式转化为分数指数幂，利用指数运算化简可得； （2）由对数恒等式与对数性质化简求值即可； （3）结合角范围，利用同角三角函数关系与两角差的正弦公式求解可得. 【详解】（1） ； （2） ； （3），又因为， 则，所以， ， . 17. 为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． （1）根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； （2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值． 参考数据：，，． 【答案】（1）选择模型③，理由见解析，， （2）14 【解析】 【分析】（1）根据表中数据，函数为增函数，增长速度越来越快，故选择模型③，代入数据列方程组可得； （2）由得，利用对数的运算可得，进而可得. 【小问1详解】 从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快． 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③． 将数据代入可得，解得 所以，函数为，． 【小问2详解】 由（1）知， 则．得， 故t最小值为14． 18. 已知函数的最小值为1． （1）求的值和的最小正周期； （2）求在上的单调递增区间； （3）若成立，求的取值范围． 【答案】（1），最小正周期 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式化简函数解析式，再根据最值待定的值与最小正周期； （2）利用整体角代换求解函数单调区间即可； （3）将有解问题转化为函数最值问题求解参数范围. 【小问1详解】 ， 由题意，解得，的最小正周期． 【小问2详解】 令，则． 因为的单调递增区间是， 由，得； ，得； 所以，在的单调递增区间是． 【小问3详解】 由题意知，，即， 当时，， 所以当，即． 所以，即． 所以的取值范围是． 19. 现定义了一种新运算“”：对于任意实数、，都有且． （1）当时，计算； （2）证明：，都有； （3）设，若在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，利用题中新运算“”的定义可计算出的值； （2）利用题中新运算“”的定义验证等式两边等于同一个代数式即可； （3）推导出，分析函数在上单调性，结合题意可得出，即，两式作差可得出，进而可知、是函数在上的两个不同的零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，． 【小问2详解】 因为， 所以． 【小问3详解】 由新运算可知， 令，则在上单调递减， 由于在上的值域为，所以，则， 又因为在上单调递减，函数为减函数，则在上为增函数， 则，即，即， 整理得，所以， 将代入，得，， 同理得，． 所以、是函数在上的两个不同的零点， 则解得， 所以，故实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$