浙江省强基联盟2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题

书 数学　第１　页（共４页） 浙江强基联盟２０２５年２月高三联考 数学　试题 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： １．本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟。 ２．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径０．５毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效 獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉 ，在试题卷 獉獉獉獉 、草稿纸上作答无效 獉獉獉獉獉獉獉獉 。 一、选择题：本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 　　１．已知集合犃＝ 狓｜狓－１｜＜｛ ｝２ ，犅＝ －１，０，１，２，｛ ｝３ ，则犃∩犅＝ Ａ．－１，｛ ｝０ Ｂ．－１，｛ ｝３ Ｃ．０，１，｛ ｝２ Ｄ．１，２，｛ ｝３ ２．若 狕－２ 狕 ＝ｉ，则狕＝ Ａ．－１＋ｉ Ｂ．－１－ｉ Ｃ．１－ｉ Ｄ．１＋ｉ ３．已知向量犪＝（４，０），犫＝（狓，３），若（犪＋２犫）⊥（犪－犫），则狓＝ Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２ ４．将半径为４的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 Ａ．槡８３π Ｂ． 槡８３ ３ π Ｃ． 槡１６３π Ｄ． 槡１６３ ３ π ５．已知ｓｉｎα＋（ ）β ＝ １７ ２５ ，ｓｉｎαｃｏｓβ＝ １ ５ ，则ｓｉｎα－（ ）β ＝ Ａ． ２４ ２５ Ｂ．－ ２４ ２５ Ｃ． ７ ２５ Ｄ．－ ７ ２５ ６．已知圆犗：狓２＋狔 ２＝２上一点犘（１，１）关于狓轴的对称点为犙，犕 是圆犗 上异于犘，犙的任意 一点，若犕犘，犕犙分别交狓轴于点犚，犛，则｜犗犚｜獉｜犗犛｜＝ Ａ．槡２ Ｂ．２ Ｃ． 槡２２ Ｄ．４ ７．已知函数犳（）狓 ＝ ２犪狓－ｌｎ狓，狓＞０， ２狓２＋ ２犪（ ）＋３狓＋２，狓≤０ 烅 烄 烆 ， 狓∈ １ ２ ，＋∞（ ），有犳（）狓 ·犳 －（ ）狓 ≥０恒成 立，则犪的取值范围是 Ａ． １ ２ｅ ，［ ］１２ Ｂ． １ ２ｅ ，［ ］２３ Ｃ． １ ２ ，［ ］２３ Ｄ． ２ ３ ，［ ］１ 数学　第２　页（共４页） ８．现有一排方块，其中某些方块间有间隔．从中拿出一个方块或紧贴的两个方块，而不改变其余 方块的位置，称为一次操作．如图所示，状态为（３，２）的方块：可以通过一次操作变成以下状态 中的任何一种：（３，１），（３），（２，２），（１，２）或（１，１，２）．游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进 行操作，拿出最后方块的人获胜．对于以下开局状态，乙有策略可以保证自己获得游戏胜利 的是 Ａ．（３，２，１） Ｂ．（４，２） Ｃ．（２，１，１） Ｄ．（５，３） 二、多项选择题：本大题共３小题，每小题６分，共１８分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．下列说法正确的是 Ａ．数据８，６，４，１１，３，７，９，１０的上四分位数为９ Ｂ．若０＜ （ ）犘 犆 ＜１，０＜ （ ）犘 犇 ＜１，且 （ ）犘 犇 ＝１－ （ ）犘 犇 犆 ，则犆，犇相互独立 Ｃ．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线 方程 为狔^＝０．４狓＋犪，若其中一个散点坐标为 －犪，５．（ ）４ ，则犪＝９ Ｄ．将两个具有相关关系的变量狓，狔的一组数据 狓１，狔（ ）１ ，狓２，狔（ ）２ ，…，狓狀，狔（ ）狀 调整为 狓１，狔１（ ）＋３ ，狓２，狔２（ ）＋３ ，…，狓狀，狔狀（ ）＋３ ，决定系数犚 ２ 不变 （附：^犫＝ ∑ 狀 犻＝１ 狓犻－（ ）狓 狔犻－（ ）狔 ∑ 狀 犻＝１ 狓犻－（ ）狓 ２ ，^犪＝狔－^犫狓，犚 ２ ＝１－ ∑ 狀 犻＝１ 狔犻－狔^（ ）犻 ２ ∑ 狀 犻＝１ 狔犻－（ ）狔 ２ ） １０．设函数犳（）狓 ＝ １－ｃｏｓ（π狓槡 ） 狓２－２狓＋３ ，则 Ａ．曲线狔＝犳（狓）存在对称轴 Ｂ．曲线狔＝犳（狓）存在对称中心 Ｃ．犳（）狓 ≤ 槡２ ２ Ｄ．２犳（）狓 ≤３狓 １１．已知椭圆Γ： 狓２ ９ ＋ 狔 ２ ４ ＝１，直线犾：２狓＋３狔＋１２＝０．犃１，犃２ 是椭圆的左、右顶点，犉１，犉２ 是椭圆 的左、右焦点，过直线犾上任意一点犘 作椭圆Γ的切线犘犕，犘犖，切点分别为犕，犖，椭圆上 任意一点犙（异于犃１，犃２）处的切线分别交犃１，犃２ 处的切线于点犅１，犅２，则 Ａ．直线犕犖 过定点 Ｂ．犉１，犉２，犅１，犅２ 四点共圆 Ｃ．当犕犖∥犾时，－ ３ ２ ，（ ）－１ 是线段犕犖 的三等分点 Ｄ．犙犅１ · 犙犅２ 的最大值为９ 数学　第３　页（共４页） 三、填空题：本大题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．双曲线 狓２ 犪２ － 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞０，犫＞０）的左、右焦点为 犉１，犉２，犘 为双曲线上一点，且满足 犘犉１⊥狓轴，∠犘犉２犉１＝ π ６ ，则双曲线的离心率为　　▲　　． １３．在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面．若两条曲线在公共点 处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切．设两抛物线狔＝狓 ２＋犪与狔 ２＝ 槡２ ２ 狓相 切，则犪＝　　▲　　． １４．对７个相邻的格进行染色，每个格均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概 率为　　▲　　． 四、解答题：本大题共５小题，共７７分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． １５．（１３分） 在△犃犅犆中，角犃，犅，犆的对边分别为犪，犫，犮，若犪（ｃｏｓ犆 槡＋ ３ｓｉｎ犆）＝犫＋犮， （１）求犃． （２）若犫＝５，犮＝２，犅犆，犃犆边上的两条中线犃犕，犅犖 相交于点犘， （Ⅰ）求犃犕； （Ⅱ）求ｃｏｓ∠犕犘犖． １６．（１５分） 已知抛物线犆：狔 ２＝２狆狓的焦点为犉，抛物线犆上点犕（２，狔０）满足｜犕犉｜＝３． （１）求抛物线犆的方程； （２）设点犇（－１，０），过犇 作直线犾交抛物线犆 于犃，犅两点，证明：狓＝１是∠犃犉犅的角平 分线． 数学　第４　页（共４页） １７．（１５分） 如图，在四棱锥犘 犃犅犆犇 中，底面犃犅犆犇 是梯形，犃犅∥犆犇，犃犅＝２犆犇＝２，犃犇＝４， ∠犅犃犇＝６０°，犘犇⊥犆犇，犈为犃犅 的中点，犕 为犆犈 的中点． （１）证明：犘犕⊥犃犅； （２）若犘犃 槡＝ １５，犖 为犘犆中点，且犃犖 与平面犘犇犕 所成角的正弦值为 槡１５ ６ ，求四棱锥 犘 犃犅犆犇的体积． １８．（１７分） 已知函数犳（狓）＝３狓 ２－８ｓｉｎ（狓＋φ），其中｜φ｜≤!． （１）若函数犳（狓）是偶函数，求φ； （２）当φ＝０时，讨论函数犳（狓）在［０，＋∞）上的零点个数； （３）若狓≥０，犳（狓）≥０，求φ的取值范围． １９．（１７分） 设狀≥３，对于数列犪１，犪２，…，犪狀，若对任意犽∈｛１，２，…，狀－１｝，犪１＋犪２＋…＋犪犽与犪犽＋１＋犪犽＋２＋…＋ 犪狀均为非负数或者均为负数，则称数列犪１，犪２，…，犪狀为强数列． （１）判断数列ｓｉｎ０，ｓｉｎ π ２ ，ｓｉｎπ，ｓｉｎ ３π ２ ，ｓｉｎ２π与数列ｃｏｓ０，ｃｏｓ π ２ ，ｃｏｓπ，ｃｏｓ ３π ２ ，ｃｏｓ２π分 别是否为强数列； （２）若存在公比为负数的等比数列犪１，犪２，…，犪２０２５，使得它为强数列，求公比狇的取值范围； （３）设犪１，犪２，…，犪狀为强数列，且数列中正数与负数交替出现（不出现０），证明：一定可以从 数列犪１，犪２，…，犪狀中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强 数列． 浙江强基联盟2025年2月高三联考 数学卷参考答案与评分标准 1.CA={x-1<r<3}∴.A∩B=(0,1,2.故选C 2.D 2-i,(1-i0=2=名1+i故选D, 2 3.C由a=(4.0),b=(r,3),a十2b=(4+2.r,6),a-b=(4-x,-3),由条件得(a十2b) (a-b)=0,解得x=1. 故选C. 4.B由条件得.國维底面半径=2,母线长4,所以=2厅,体积V-子动=8元放选以 5.D由sin(a十十sin(a一)=2 n.解得sin(a一)=一云故选D 6.B设M则R二子0).S(70.放10R 05-兰-2放选 y-1 7Af) f(-)≥0等价于(2arh) [2r-(2+3)+2]≥0.即(2a) [r+-(a+)]>≥0,放 2a-hx≥0. 2a-h≤0. 有 或 +-(u+)≥0 x+-(a+2)s0 在x∈(,十∞)上恒成立,故a的取值范围为 [品,],故选A 8.A对于A,(3,2.1)经过甲操作可以变为(3,2).(3.1),(3,1.1).(2,2,1),(1,2,1)或(1,1,2.1),对于(3,2), 乙操作成(2,2):对于(3,1),乙操作成(1,1):对于(3,1,1),乙操作成(1,1,1,1):对于(2,2,1),乙操作成 (2,2):对于(1,2,1),乙操作成(1,1):对于(1,1,2,1),乙操作成(1,1,1,1).无论如何乙都能赢:对于B,甲将 (4,2)操作为(2,2),此时乙可以操作为(2),(2,1),(1,2),甲必胜:对于C,甲将(2,1,1)操作为(1,1),甲必胜: 对于D,甲将(5,3)操作为(1,2,3),由A知甲必胜.故选A. 9.BD数据8,6,4,11,3,7,9,10的上四分位数为9.5,故A错误:由P(D)=1-P(DC)可知P(DC)= P(D).故P(CD)=P(C) P(D),即C,D相互独立,B正确:散点不一定在回归直线上,故C错误:由于 (y-y) R=1- y,变成了y,+3,y=y+3,y’=x,+=,+a+3=+3,从而y-y, (y-y) y一y都不变,所以R=R,D正确.故选BD. 10.ACD由于f(x)= (一)+2,曲线y一f(x)存在对称轴x=1,故A正确:若曲线y=f(r)存在对称中心 则结合选项A可知,()为周期函数,不可能,放B错误:由于f(x)=严 x-2x+3 (-1)+2号,故选 sin 项C正确:当r=0时等号成立,当x≠0有 f(x) 2 x[(x-1)+2] -1)2+2<4 号,放D正确故选ACD 1.ABD设P(),则直线MN的方程为号+学=1,又由于2十3十12=0,放有6(2-3y)- 18(y叶1)=0,故直线MN过定点R(-三,-1),故A正确:设Q(m),则Q处的切线为号+学=1,令 4 数学卷参考答案第1页(共4页) 一 得B( 3,》)(6,)商R(一50.故孩 F成=0.同理武 F成-0所 3y 以F,R,B,B四点共圆,所以B正确:当MN/∥1时,直线MV的方程为y=一号-2,可以验证此时有 RM=RV,故C不正确:由圆的相交弦定理和椭圆的光学性质可知QB,| |QB,|=|QF,| QF≤ Q5十QE)=9,等号在Q为短轴端点时取到,故D正确,故选ABD, 2 12.√5 在 PF,R中,PF-PF,=PE,即经=2a,可得=E 13. 设两个抛物线相切于()gy=十a在该点处的切线为y=2r一后+a,y= 之x在该点处的切 线为y-号6十,所以2-很可得-专=号,从面。- 4。 81 140 法一:0个红格,共2种:1个红格,共C2种:2个红格,共C保2种:3个红格,共C2种:4个红格, 共C2种,所以P=2”+C2+C2+C2+C2=136, 39 243 法二:设n个格,相邻的格不染红色染法数为am,则a。=2a.-1十2a。-,由a1=3,a2=8,可知a,=1224,故相 邻的格不染红色的概率为P=1224=136 37 2431 15.解:(1)由正弦定理得sin Acos C+3 sin Asin C-sinB-sinC=0. 因为sinB=sin( -A-C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以W3 sin Asin C.-cos Asin C-sinC=0.……2分 由于sinC≠0,∴W3sinA-cosA-1=0. 所以m(A-若)= 又0<A<,放A=系 …4分 (2)(I):M是BC的中点,AM-号(迹+C. ………5分 =√+a0=√任迹+2迹.花+a衣)= 2 …8分 ( ):M,N分别是BC,AC的中点, AM=号(B+AC.B时=A-A亦=号AC-A花. 所以AM与BN的夹角等于∠MPN,∴,cOs∠MPN= AM.BN AMITBN :m.成=号B+C) (号沁-花)=迹.花-号a+A衣-号B.心-3, ………10分 成=√(号花-迹)-√花-恋 成+迹= 2 ∴.cos∠MPN= 3 4√9I 13分 91 2 16,解:1)由MF=w+号=3,可得p=2, 所以抛物线C的方程为y”=4江,…… ……6分 (2)设AB:x=my-1,A(),B(r). x=my-1 得y-4ny十4=0, 由 y=4.x, 数学卷参考答案第2页(共4页) 所以少十次=41…当y=4.” 8分 期a+n为十产2“》 =0, 13分 所以x=1是∠AFB的角平分线。… 15分 17.解:(1)证明:在梯形ABCD中,连接BD交CE于一点, 因为BE=CD且BE∥CD,所以四边形CDBE为平行四边形, 所以BD与CE的交点即为CE中点M. 由已知可得,AB=2,AD=4,∠BAD=60 ,所以AB⊥BD,… 2分 又AB∥CD,PD⊥CD,所以AB⊥平面PBD, 又PMC平面PBD,所以AB⊥PM.… 5分 (2)由(1)知.CD⊥平面PDM,如图,以D为坐标原点,分别 以DB,DC为x,y轴,垂直于底面ABCD的直线为x轴,建立 空间直角坐标系.则A(2√3,一2,0),C(0.1,0),…7分 设Px0e.则N(受,受)a=(受-25,号受), 平面PDM的一个法向量为n=(0,1,0),…9分 设直线AN与平面PDM所成角为0, 5 则sin0=cos(n,A)1=nA立 A衣‖ √(号-2)++() 15 6 化简得(x-4V5)十=35.… 11分 由PA|=√15,可得(.x-23)+2=11,求得x=3,x=2√2. 13分 放V=号5mmh=号X35 2E=26.… 15分 18.解:(1)因为函数f(r)是偶函数,所以f(一x)=f(x). 即3.x2-8sin(-x+9)=3.x2-8sin(x十g), 解得9=土受 4分 (2)当p=0时,f(x)=3.x2-8sin.… 5分 f(0)=0,f(x)=6.x-8cosx,f(.x)=6+8sinx. 当x≥ 时,f(x)>3 2-8>0. 当0<x<x时,f”(x)=6+8sinx>0,f(x)单调递增, 又f(0)=-8<0,f( )=6 +8>0, 所以存在1∈(0, ),使得f(x1)=0. ……7分 x∈(0,x1),f(x)<0,f(x)单调递减,r∈(x1,十o∞),(x)>0,f(r)单调递增, 而f(0)=0,f(1)<0,f(x)=3 >0,所以在(.1,r)上存在一个零点, 综上,函数f(x)在[0,十∞)有两个零点。…… 10分 (3)当≥号x时r)>誓-8>0:当0≤<号x时0)=-8sin≥0. 则9[-,0]. 11分 (1)当g∈[-号]时r+ge[-,0,sin十g<0.f>0成立… 12分 ()当g(-经-吾]时。 若xe[受,号]则了)=6r-8cosc+g)>3m-8>0,)单调递增, 所以x>(受)= -8cos0; 数学卷参考答案第3页(共4页) 若r∈[0,受),则x+g∈(-经,0),sin(r+p)<0jx)>0成立: ()当ge(-受,0]时,若sim(x+p)<0,则fx)≥0成立: 只要考虑sin(x十g)>0,此时f"(x)=6十8sin(x十)>0,f(x)递增,f(0)=-8cosp<0, /(5)=3m+8simp>0, 所以存在∈(0,乏),使得了(a)=6.-8cos(十p)=0, 若x∈(0,x),则f(r)<0,f(x)递诚:若x∈(,交),则f(r)>0,f(x)递增. 所以≥)=86-8in(x十g)=36-8V-后≥0,解得≥2 3 此时o(十g=子≥号所以6十g晋,从面<吾-<音-2 31 元,元_231 综上9∈一,6-3 …17分 19.解:(1)数列0,1,0,一1,0,前两项和为1,后三项和为一1,不是强数列;…1分 数列1,0,一1,0,1,满足第一项、前两项、前三项、前四项、后一项、后两项、后三项、后四项的和均非负,是强 数列。………………………………3分 (2)(方法一:等比数列求和)设首项a1=a≠0,公比q<0, 依题意,a1 (a2十…十agos)≥0,即a2(g十g+…十go)≥0, 放g叶g十…十g4≥0,即91二)之≥0,放g>≥1.…5分 1-9 另一方面,(a1+…十a224) ags≥0,即a(1十q十…十g2)qo以≥0, 故1十9十…+广≥0,即气,之0,放矿.…分 于是g21=1,9=一1,又1,一1,1,…,1,一1,1满足条件,综上,q=一1.…9分 (方法二:局部分析)设首项a1=a≠0,公比g<0, 依题意,a1 (a2十…十aos)≥0,…a1 (a+…十ags)≥0, 又,(a1十a2) (a十…十aens)≥0,∴.(a1十d2)(a1十…十aa2s)≥0, 故a1(a1+ar)≥0,即a2(1十q)≥0, 故1十90,9一1.…5分 同理4g(4红ts十ag21)≥0,a'g4(q2十g3)≥0, 故吧4十g≥0,g≤-1,……7分 于是g=一1,又1,一1,1,…,1,一1,1满足条件,综上,9=一L………9分 (3)注意到若连续三项构成强数列,则中间项的绝对值最小,取数列中绝对值最小的一项;, (若最小的同时存在正项和负项,取负项)。………………11分 如果i=1,①若a1>0,则a:<0,a:|>|a,|,故a1十a2<0,与(2)中a1(a1十a)≥0矛盾; ②若a1<0,则a2>0,|ag|≥|a1,故a1+a:≥0,由(2)知矛盾, 于是a不为首项,同理a不为末项,我们取a-1a,a+1三项.……13分 (i)若a:>0,则a4-1a+1<0,且a-,a+1>a,故a-1十a,<0,a十a+1<0, 以-1;以1构成强数列:……………15分 (i)若a<0,则a-1,a+>0,且|a-1|,|a+1|≥|a,故a-1十a≥0,a,十a+1≥0, a-1,与,以+构戒强数列。……17分 数学卷参考答案第4页(共4页)