精品解析： 湖北省随州市曾都区八角楼教联体多校2024-2025学年九年级上学期12月联考二模数学试题

曾都区八角楼初级中学教联体2024-2025学年度上学期九年级第二阶段学业质量监测数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题以考查轴对称图形和中心对称图形的知识点，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对各选项逐一进行判断． 【详解】轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． B 、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． C 、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 日出东方 B. 守株待兔 C. 拔苗助长 D. 水中捞月 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、日出东方，是必然事件，故本选项符合题意； B、守株待兔，是随机事件，故本选项不符合题意； C、拔苗助长，是不可能事件，故本选项不符合题意； D、水中捞月，是不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ） A. 1，5 B. 1，－5 C. －4，5 D. －4，－5 【答案】B 【解析】 【分析】将一元二次方程转化为一般形式，然后求解． 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式为 则二次项系数为，一次项系数为 故选B 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程的一般形式，解题关键是熟记其一般形式为． 4. 抛物线的顶点坐标是（　 ） A. （2，1） B. （-2，1） C. （2，-1） D. （-2，-1） 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标． 【详解】∵， ∴抛物线的顶点坐标为（-2，1）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为（，）是解题的关键． 5. 将抛物线经过怎样平移变换得到（ ） A. 向右平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 向右平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D. 向左平移2个单位，再向下平移3个单位 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：． 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移3个单位所得抛物线的解析式为：； 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 7. 如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；解题的关键是熟练掌握等边对等角． 先根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 8. 如图，，是上的两点，是弧的中点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，根据是弧的中点求出，再根据圆周角定理得到，最后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：是弧的中点， ， ， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，如图，设的半径为r，利用勾股定理计算出，再证明四边形为正方形，则，所以，，进而可证，，因此，由此可解． 【详解】解：连接，，，如图， 设的半径为r， ∵，，， ∴， ∵F点、D点为切点， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为2． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明四边形为正方形． 10. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，以下结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，，且，则，．其中正确结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质．将代入得，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④．解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想． 【详解】解：将代入，可得， 故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：4，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ，故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则，故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则，， 故④正确； 综上可知，正确的有①③④，共3个 故选：B． 二、填空题（每小3题，共15分） 11. 若点和关于原点对称，则__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进而可得a+b的值． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴a=2，b=-3， ∴a+b=-1． 故答案为：-1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12. 一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的底面半径是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图的形状是解题关键．根据“圆锥的底面圆的周长等于其展开图的扇形的弧长”即可得答案． 【详解】解：设该圆锥的底面半径是， 由题意得：， 解得， 故答案为：1． 13. 若函数经过点，则代数式的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象的性质．把代入得到，求出，代入求值即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是__m 【答案】3 【解析】 【分析】设抛物线的解析式为：y=ax2+b，由图得知点（0，2.4），（3，0）在抛物线上，列方程组得到抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，根据题意求出y=1.8时x的值，进而求出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为：y=ax2+b， 由图得知：点（0，2.4），（3，0）在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4， ∵菜农的身高为1.8m，即y=1.8， 则1.8=﹣x2+2.4， 解得：（负值已舍去） 故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：m， 故答案为：3． 15. 如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为___________；的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解； （2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值． 【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半， ∴的面积为， 在中，， ∴当最大时，即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图： 由题意可得：，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查的是利用配方法和因式分解的方法解一元二次方程． （1）利用配方法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【小问1详解】 解：， 整理得， 配方得，即， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 整理得， ∴， ∴， 解得：，． 17. 如图：、都是等边三角形，且在同一直线上． （1）求证：； （2）可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到，请说明得到的过程． 【答案】（1） 证明：和都是等边三角形， ， 即， 在和中， ， ∴， ； （2）以点为旋转中心将逆时针旋转就得到 【解析】 【分析】（1）由“”证明； （2）观察图形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是等边三角形， ， 同理， 以点为旋转中心将逆时针旋转就得到． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握手拉手模型证明全等是解本题的关键． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握它们的性质是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，，代入得，计算即可求出的值． 【小问1详解】 解：根据题意得，． 解得，． 【小问2详解】 由题意可知，，． 所以． 解得，． ∵， ∴． 19. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）方程的解为__________； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）若方程有实数根，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，充分利用函数图象，数形结合是解题的关键． （1）根据函数与方程的关系，当时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根； （2）根据函数图象，顶点坐标为，开口向下，据此即可得到的取值范围； （3）方程有实数根，即函数与有交点，据此即可直接求出m的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根，由图可知， 方程的两个根为，． 【小问2详解】 解：根据函数图象，顶点坐标为，开口向下， ∴当时，y有最小值为， 当时，， ∴当时，； 【小问3详解】 解：由图：方程有实数根 即函数与有交点， 此时，． 20. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）18，6， （2）480人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【小问1详解】 解：参与调查的总人数为：（人）， ， ， 文学类书籍对应扇形圆心角， 故答案为：18，6，； 【小问2详解】 解：（人）， 因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种， 因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． 21. 如图，中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是的中位线． ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，结合等腰三角形的性质和三角形中位线可证得，即可证得结论； （2）如图，作于点F，得到矩形，再通过勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，作于点F， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 中，， ∴， 中，． 22. 综合与实践． 活动名称：聪明果销售方案设计 材料一：学校附近超市以每袋30元的价格购进了若干袋真空包装的聪明果进行销售，售价定为60元/袋，一周可以销售100袋． 材料二：超市老板发现，聪明果销售单价每降低1元，每周销量增加10袋，决定降价销售，但售价高于进价． 任务一：建立函数模型 （1）设聪明果的销售单价为x（元/袋），每周的销售量为y（袋），每周的销售利润为W（元），分别写出y与x，W与x的函数解析式； 任务二：设计销售方案 （2）若每周的销售利润为3750元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1），；（2）销售单价应定为45元或55元；（3）销售单价定为50元时，每周的销售利润最大，最大利润是4000元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用， 二次函数的应用，解题的关键是找到等量关系列出函数的关系式及方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用． （1）依据题意，由每袋聪明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，又设聪明果的销售单价为x（元/袋），进而可得y与x，W与x的函数解析式； （2）依据题意，令，得一元二次方程产，求解进而得解； （3）根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解∶（1）聪明果的销售单价为x（元/袋），每周的销售量为y（袋），聪明果销售单价每降低1元，每周销量增加10袋， ， ， （2）由题意得，； 整理得，， 解得，， 答∶ 销售单价应定为45元或55元时，每周的利润是3750元； （3）， 时，，即销售单价定为50元时，每周的销售利润最大，最大利润是4000元． 23. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中， ，，．将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 数学思考： （1）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： （2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，当 时，求线段的长． ②“善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段的长． 【答案】 （1）解：， 理由：如图1，连接，由旋转的性质知，， ， ， ， ． （2）①，② 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可． （2）①延长，交 于点，设，则，解答即可． ②根据旋转的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2） ① 解：如图2，延长，交于点， ， ， ， ，． 由（1）知，， 设，则， ， ， ， 故答案为； ② 解：如图3， ，，， ． 由旋转的性质知，，，， ，当 时， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，它的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点P在第一象限时，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，若四边形是平行四边形，求m的值； （3）过点P作轴于点 M，当点P与点M都不与点C重合时，以为边作矩形，设矩形的周长为l． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应，写出l的取值范围． 【答案】（1） （2）m的值为 （3）；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线对称轴为，由，则，根据四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可； （3）先求出，，分点P在y轴左侧，时，当点P在直线上方，时，当点P在y轴右侧下方，时，三种情况求出，利用矩形的性质得到，求和即可得到关系式；②由画出函数图象，利用图像法结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：将代入抛物线，则， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为：，且点P是抛物线上一动点，横坐标为m，则， 点Q与点P关于抛物线的对称轴对称， ， 四边形是平行四边形，， ， 解得：； 【小问3详解】 解：当点P在y轴左侧 ，轴， ， 令抛物线中，则， ， 如图，当点P在y轴左侧，时， 四边形是矩形， ，， ； 如图，当点P在直线上方，时， 同理得：，， ； 如图，当点P在y轴右侧下方，时， 同理得：，， ； 综上，， ②由知， 如图， 当的取值在函数的最大值与函数的最小值之间时，对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应， ，且， 当时，有最大值， 在时，随的增大而增大， 当时，有最小值， 时，对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质，矩形的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曾都区八角楼初级中学教联体2024-2025学年度上学期九年级第二阶段学业质量监测数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 日出东方 B. 守株待兔 C. 拔苗助长 D. 水中捞月 3. 将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ） A. 1，5 B. 1，－5 C. －4，5 D. －4，－5 4. 抛物线的顶点坐标是（　 ） A. （2，1） B. （-2，1） C. （2，-1） D. （-2，-1） 5. 将抛物线经过怎样平移变换得到（ ） A. 向右平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 向右平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D. 向左平移2个单位，再向下平移3个单位 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（　　） A. B. C. D. 8. 如图，，是上的两点，是弧的中点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，以下结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，，且，则，．其中正确结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小3题，共15分） 11. 若点和关于原点对称，则__________． 12. 一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的底面半径是________． 13. 若函数经过点，则代数式的值等于______． 14. 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是__m 15. 如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为___________；的最大值为___________． 三、解答题（本题共9小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图：、都是等边三角形，且在同一直线上． （1）求证：； （2）可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到，请说明得到的过程． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 19. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）方程的解为__________； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）若方程有实数根，直接写出的取值范围． 20. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 21. 如图，中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 22. 综合与实践． 活动名称：聪明果销售方案设计 材料一：学校附近超市以每袋30元的价格购进了若干袋真空包装的聪明果进行销售，售价定为60元/袋，一周可以销售100袋． 材料二：超市老板发现，聪明果销售单价每降低1元，每周销量增加10袋，决定降价销售，但售价高于进价． 任务一：建立函数模型 （1）设聪明果的销售单价为x（元/袋），每周的销售量为y（袋），每周的销售利润为W（元），分别写出y与x，W与x的函数解析式； 任务二：设计销售方案 （2）若每周的销售利润为3750元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中， ，，．将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 数学思考： （1）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： （2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，当 时，求线段的长． ②“善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，它的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点P在第一象限时，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，若四边形是平行四边形，求m的值； （3）过点P作轴于点 M，当点P与点M都不与点C重合时，以为边作矩形，设矩形的周长为l． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应，写出l的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $