精品解析：甘肃省天水市麦积区城区学校联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024－2025学年度上学期第二次月考试题九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 3. 若关于的方程无实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 4. 如图，已知直线，已知，，，则的值是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 5. 褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的5倍，则的正切值（ ） A. 扩大为原来的5倍 B. 缩小为原来的5倍 C. 不变 D. 不能确定 7. 已知，，若的面积为，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 8. 在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，则此时雷达测得点R到发射点L的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 10. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 若，是方程的两个实数根，则_______． 13. 如图，已知，若添加一个条件使得与相似，则可添加一个条件：____．（只填写一个） 14. 在中，，如果，，那么______． 15. 如图，，，于点，则的长为______． 16. 如图，点G为的重心，，若，则______． 三、解答题（本大题46分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点的对应点依次为，且都在格点上． （1）请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； （2）请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 21. 如图，D，E分别是的边上的点，．求证：． 22. 阅读下列解题过程： ； 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出______； （2）利用上面的解法，化简 ． 四、解答题（50分） 23. 在中，满足，试判断的形状，并说明理由． 24. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点，再在河的这一边选定点和点，使得，然后选定点，使，确定与的交点，若测得米，米，米，请你求出小河的宽度是多少米？ 25. 如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点运动的速度为，点运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是多少秒？ 26. 如图，在中，D是的中点，，且，求的值． 27. 【问题引入】如图1，等边，D为BC边上一点，E为AC边上一个点；且，求证：． 【模型运用】如图2，在中，，D为AC边上一点，连接BD且，已知，求CD的值． 【能力提升】如图3，在中，D为AC边上一点，连接BD且，，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度上学期第二次月考试题九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最短的线段和最长的线段相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解∶A．， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、， ， 四条线段成比例，故本选项符合题意； C、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选∶B． 2. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法、二次根式的乘法法则逐项进行计算即可得. 【详解】A. 与不是同类二次根式，不能合并，故错误； B. 与不能合并，故错误； C. ，正确； D. 2，故错误， 故选C. 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算、乘法运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 3. 若关于的方程无实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的情况之间的关系是解题的关键． 根据关于的方程无实数根可得，解该一元一次不等式即可得出答案． 【详解】解：关于的方程无实数根， ， 解得：， 故选：． 4. 如图，已知直线，已知，，，则的值是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ，，， ， ∴， 故选：B． 5. 褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键． 根据点的坐标，点的坐标确定出坐标轴的位置，即可求得点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，表示尾部点的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图， ∴点的坐标为， 故选：． 6. 在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的5倍，则的正切值（ ） A. 扩大为原来的5倍 B. 缩小为原来的5倍 C. 不变 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键，由于把直角三角形的三边都扩大为原来的5倍，那么的对边和邻边的比值是不变的，则的正切值也是不变的，从而得到答案． 【详解】解：在中，各边的长度都扩大为原来的5倍， ∴扩大后的三角形与原三角形相似，的度数不变， ∴的正切值不变， 故选：C． 7. 已知，，若的面积为，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 故选：C ． 8. 在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：． 9. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，则此时雷达测得点R到发射点L的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了余弦的定义， 根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴千米， 故选：C 10. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理，利用网格构造直角三角形是解题的关键．利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案． 【详解】解：如图，设小正方形边长为1，， 则， ∵， ∴ 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 若，是方程的两个实数根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式求值即可得． 【详解】根据韦达定理可得：，， 则； 故答案为： 13. 如图，已知，若添加一个条件使得与相似，则可添加一个条件：____．（只填写一个） 【答案】（或或） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：（或或）（答案不唯一）． 14. 在中，，如果，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 15. 如图，，，于点，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的外角性质，角的直角三角形的性质．根据等角对等边的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：， ， ， 又， ． 故答案为：5． 16. 如图，点G为的重心，，若，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键． 根据重心的性质可得，然后根据平行线分线段成比例定理可得，从而求出，即可求出结论． 【详解】解：∵点G为的重心， ∴，点D为中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 三、解答题（本大题46分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先根据二次根式性质化简，然后合并同类二次根式即可； （）将特殊角的三角函数值代入求解即可； 本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则和几个特殊角的三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，灵活选用一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程移项后运用直接开平方法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点的对应点依次为，且都在格点上． （1）请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； （2）请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 【答案】（1） 解：连接、、相交于点，作图如下 （2） 解：取、、的中点、、，顺次连接各点，作图如下 【解析】 【分析】（1）连接、、相交于点即可； （2）取、、的中点、、，顺次连接各点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，D，E分别是的边上的点，．求证：． 【答案】 证明：， 又 ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，邻补角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过，证明，结合，证明，再根据三角形相似，对应边成比例，得证． 【详解】略 22. 阅读下列解题过程： ； 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出______； （2）利用上面的解法，化简 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要查了二次根式的混合运算： （1）通过观察题目中的解题过程可以看出：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的差，即可； （2）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算即可． 【小问1详解】 解： 故答案为：； 【小问2详解】 解： ． 四、解答题（50分） 23. 在中，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 为直角三角形，理由如下： 由题意，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质求出的值，再根据均为锐角及特殊角的三 角函数值、三角形内角和定理即可求出三角形各角的度数，进而判断出其形状，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 24. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点，再在河的这一边选定点和点，使得，然后选定点，使，确定与的交点，若测得米，米，米，请你求出小河的宽度是多少米？ 【答案】小河的宽度是210米. 【解析】 【分析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算出AB即可得到小河的宽度． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴. 答：小河的宽度是210米. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 25. 如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点运动的速度为，点运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是多少秒？ 【答案】为秒或秒 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：当运动的时间是秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， ①当时，，∴； ②当时，，∴； 综上所述，当为秒或秒时， 以点、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 26. 如图，在中，D是的中点，，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的定义．过点作，交于E，得到，设，则，再根据已知条件与平行线的性质得到，即，进而求得，，进而求出角的函数值． 【详解】解：过点D作，交于E，如图， ∴， 在中， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴； 在中，，， ∴， ∴． 27. 【问题引入】如图1，等边，D为BC边上一点，E为AC边上一个点；且，求证：． 【模型运用】如图2，在中，，D为AC边上一点，连接BD且，已知，求CD的值． 【能力提升】如图3，在中，D为AC边上一点，连接BD且，，且，直接写出的值． 【答案】 【问题引入】：证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【模型运用】：2； 【能力提升】 【解析】 【分析】由，可证得； 过点D作于E，设，则，进而表示出，，，根据勾股定理得，，再判断出，先得出AB，进而建立关于x的方程，即可得出答案； 过点A作于M，延长MB至G，使，判断出，得出，根据，设，则，进而表示层，进而表示出（舍去负值），即可得出答案． 【详解】略 【模型运用】解：如图2，过点D作于E， ∴， 设，则， 在中， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去）或（舍去）或， ∴； 【能力提升】解：如图3． 过点A作于M，延长MB至G，使， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴． 【点睛】此题事相似三角形综合题，主要考查了等边三角形性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $