精品解析：辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

丹东市2024~2025学年度（上）期末教学质量监测 高一数学 总分150分 时间120分钟 命题：杨晓东 孙晓欣 王洪东 姜磊 高志华 审核：杨晓东 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量平行的结论求参数. 【详解】因为，所以. 故选：A 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解集合中的一元二次不等式，写出集合，再利用集合的交集运算即可求解. 【详解】不等式可变形为，解得， 因为，所以， 因为，所以. 故选：D. 3. 样本数据13，11，14，14，16，20，22，24的分位数为（ ） A. 16 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数定义计算即可得. 【详解】数据按从小到大排序：11，13，14，14，16，20，22，24. 因为， 所以数据的分位数为：. 故选：C 4. 已知命题，，命题，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例，得到假命题，举出实例，得到为真命题. 【详解】命题，当得，，故为假命题，为真命题， 命题，时，，故满足，为真命题. 故选：B 5. 已知函数对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的对称性即函数图象的变换可确定函数的对称中心. 【详解】因为：. 由的图象关于原点对称，将向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得的图象. 所以的对称中心为：. 故选：C 6. 若函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，可求出的值，令可求出的值，令可求出的值. 【详解】令，可得，故， 令可得，即，解得， 令可得，即，解得. 故选：D. 7. 我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，，分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为（ ） A. 2.45 B. 2.46 C. 2.47 D. 2.48 【答案】B 【解析】 【分析】先利用频率之和为1得到方程，求出，再利用中点值作代表，计算出平均数，得到答案. 【详解】，解得， . 估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46 故选：B 8. 已知幂函数与指数函数的图象都过点，则（ ） A. B. C. D. 方程有两个解 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数、的解析式，代值计算可判断A选项，数形结合可判断BCD选项. 【详解】设，且， 则，可得，则， ，因为且，解得，所以，， 对于A选项，，，所以，，A错； 对于BCD选项，在同一直角坐标系中作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，当时，；当时，. 所以，，B错； ，C对； 函数、的图象有三个公共点，即方程有三个解，D错. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的平均数为10，方差为9，且，记的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，利用平均数、方差的计算公式即可求解. 【详解】因为，所以， 故A错误，B正确； 因为，所以，即， 故C正确，D错误； 故选：BC. 10. 若正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式可判断ABC的真假，利用二次函数的性质可判断D的真假． 【详解】对A：因为，所以，当且仅当，即时取“”，故A错误； 对B：因为， 当且仅当，即时取“”，故B正确； 对C：因为， 又，所以. 所以，当且仅当时取“”，故C正确； 对D：由且，得，. 所以，. 所以当时，取得最小值，此时，，，故D正确. 故选：BCD 11. 已知向量、、都是单位向量，，则（ ） A. B. C. D. 与共线 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知可得出，可判断A选项；在等式两边平方可得出，利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；由已知可得出，结合平面向量数量积的运算性质可判断C选项；利用平面向量共线的基本定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，向量、、都是单位向量，，则， 所以，A对； 对于B选项，在等式两边平方可得， 即，则，则， 所以，故，B错； 对于C选项，因为，则， 所以，， 所以 ，故，C对； 对于D选项，， 若与共线，则存在，使得， 即，可得，即， 这与矛盾，假设不成立，D错. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数求值即可得解. 【详解】由题意得： 则有， 故答案为：. 13. 在中，是上一点，且，用基底表示向量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得出，利用平面向量的减法可得出关于、的表达式. 【详解】如下图所示： 在中，是上一点，且，则， 所以，，故. 故答案为：. 14. 函数是的反函数，记函数，则使成立的x的取值范围为__________. 【答案】，其中 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数，再分段并借助函数图象求解不等式. 【详解】依题意，，， 不等式，而， 当，即，不等式为，则， 解得或，因此或； 当，即时，不等式为，即， 则，在同一坐标系内作出函数， 函数图象在上有唯一交点， 即方程在上有唯一解，不等式在上的解为， 因此不等式在上解集为， 所以x的取值范围为，. 故答案为：， 【点睛】思路点睛：求出不等式在上的解集，作出函数图象，利用图象法求解不等式. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）设，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）由，得，. 所以，， 则，故. 16. 已知函数. （1）若为偶函数，求实数m的值； （2）若对，，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）变形得到，令，，故在上恒成立，从而得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 因为为偶函数，所以， 所以 整理得， 因为，所以，即. 【小问2详解】 若对，，则有， 令，，所以函数在上恒成立， 只需，即， 解得，所以m的取值范围为. 17. 甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且各次投篮互不影响. （1）求第一轮比赛未分出胜负概率； （2）求甲在第3轮比赛时获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析第一轮比赛未分出胜负的两种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式，可求解. （2）明确甲在第3轮比赛时获胜的情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式，可求解. 【小问1详解】 记事件“甲第i轮投中”，“乙第i轮投中”， 第一轮比赛未分出胜负是甲乙同时命中或都未命中，且与相互独立， 则第一轮比赛未分出胜负的概率. 【小问2详解】 甲在第3轮比赛时获胜，则前两轮都是平局，第3轮投球甲命中， 表示为， 则甲在第3轮比赛时获胜的概率为 . 18. 已知函数（且），，. （1）求a，b的值； （2）若函数，求的值. 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）由对数的运算即可求解； （2）由（1）得到，进而得到，累加求和即可； 【小问1详解】 由题意得，，，所以， 【小问2详解】 由（1）知，， 则 所以，则 所以， 故. 19. 在信号处理技术中，函数的调和零点至关重要，它用于检测系统的稳定性与性能.定义：若集合，称为函数的一个调和零点，的所有调和零点之和记为，表示集合中的所有元素的个数. 已知. （1）当，时，求的值； （2）若，，求、的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）当，时，解方程，可得出集合，即可求得的值； （2）分两种情况讨论，（i）有个零点，且其中一个零点为，再由函数的三个调和零点之和为零，结合韦达定理可求出的值，进而可求出的值；（ii）有4个零点，且有一个为时，可得出，可求出函数的一个零点为，再由函数的三个调和零点之和为零，结合韦达定理可求出的值，进而可求出的值.即可得解. 小问1详解】 当，时，，令，解得或， 所以，则. 【小问2详解】 根据可知， （ⅰ）有个零点， 令，可知，即， 显然的个零点中必有，另外两个零点分别为、， 当时，， 因为，所以，即 将代入中得 由韦达定理可得，，，整理可得， 解得，，所以，； （ⅱ）有4个零点，且有一个为时，则， 方程， 当时，解得或， 当时，得， ，则， 由韦达定理可得，， 因为，所以，整理可得， 解得，. 综上所述，或. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对函数的零点个数进行分类讨论，并通过已知条件结合解方程或韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丹东市2024~2025学年度（上）期末教学质量监测 高一数学 总分150分 时间120分钟 命题：杨晓东 孙晓欣 王洪东 姜磊 高志华 审核：杨晓东 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据13，11，14，14，16，20，22，24的分位数为（ ） A. 16 B. 20 C. 21 D. 22 4. 已知命题，，命题，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 5. 已知函数的对称中心为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，，分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为（ ） A. 2.45 B. 2.46 C. 2.47 D. 2.48 8. 已知幂函数与指数函数的图象都过点，则（ ） A. B. C. D. 方程有两个解 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的平均数为10，方差为9，且，记的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 10 若正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量、、都单位向量，，则（ ） A. B. C. D. 与共线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，则__________. 13. 在中，是上一点，且，用基底表示向量，则__________. 14. 函数是的反函数，记函数，则使成立的x的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求值； （2）设，求证：. 16. 已知函数. （1）若为偶函数，求实数m的值； （2）若对，，求实数m取值范围. 17. 甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且各次投篮互不影响. （1）求第一轮比赛未分出胜负的概率； （2）求甲在第3轮比赛时获胜的概率. 18 已知函数（且），，. （1）求a，b的值； （2）若函数，求的值. 19. 在信号处理技术中，函数的调和零点至关重要，它用于检测系统的稳定性与性能.定义：若集合，称为函数的一个调和零点，的所有调和零点之和记为，表示集合中的所有元素的个数. 已知. （1）当，时，求的值； （2）若，，求、的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$