精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三上学期期末数学试题

哈三中2024—2025学年上学期高三学年期末考试 数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟． 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助函数定义域与值域定义可计算出集合、，再利用交集定义即可得. 【详解】，解得，即， ，故，故. 故选：B. 2. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ） A. B. 10 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的计算公式求得复数，然后求得 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：A. 3. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式以及两角差的正切公式即可得答案. 【详解】 . 故选：A. 4. 已知的展开式中，各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（ ） A. 24 B. 80 C. 160 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式的展开式，令求得各项系数的和，解得的值，代入的值，写出二项式的展开式通项，令求出即可得到结果. 【详解】设 令，则，∴， 所以的展开式通项为， 令，则， 故选：B. 5. 在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到点的距离之和最小，则该点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：，当三点共线时距离之和最小，进而先求出点纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值，从而得到答案. 【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为. 过点作于点，由定义可得， 所以， 由图可得，当三点共线时，最小，此时. 故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点的坐标为． 故选：C. 6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出数列的递推公式，利用累加法计算数列的通项公式，通过裂项相消法可得数列的前项和. 【详解】由题意得，， 当时，， ∴， 经检验符合上式，∴， ∴， ∴数列的前项和为. 故选：A. 7. 在三棱锥中，，是正三角形，，分别是AD与CD的中点，且．若，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得三棱锥为正三棱锥，再借助线面垂直的性质定理可得平面，则可得，即可得证平面，从而得到、、两两垂直，则三棱锥外接球的表面积与以为棱的正方体的外接球的表面积相同，从而得解. 【详解】由、是正三角形，则三棱锥为正三棱锥， 取中点，连接、，则、， 又、、平面，故平面， 又平面，故， 由，分别是与的中点，故， 又，则， 又、、平面，故平面， 由三棱锥为正三棱锥，则、、两两垂直， 则三棱锥外接球表面积与以为棱的正方体的外接球的表面积相同， 以为棱的正方体的外接球的半径为， 故三棱锥外接球的表面积为. 故选：D. 8. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】整理函数解析式，然后代入不等式，整理化简得到，由指数函数的单调性得到，令函数，由基本不等式求出函数的最小值，即可得到不等式，求出实数m的取值范围. 【详解】, , , . , ∵在上单调递增， 即 令函数， ∵，∴， ∴，当且仅当，即时取等号. ∴，∴. 故选：B. 【点睛】思路点睛，本题是不等式恒成立问题，将函数解析式代入不等式化简得到新的不等式，然后利用函数的最小值建立与参数有关的不等式. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列四个选项中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是增函数 C. 直线是函数图像的一个对称轴 D. 函数的图像可由函数的图像向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 【答案】AD 【解析】 【分析】由的值求得函数的周期，令解得函数的递增区间；令求得函数的对称轴；由函数图像的平移得到平移后的函数解析式. 【详解】，，A选项正确； 令，解得， 所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，B选项错误； 令，解得，故直线不函数图像的一个对称轴，C选项错误； 函数的图像向左平移个单位得，向下平移1个单位得到，D选项正确. 故选：AD. 10. 已知双曲线C：，左右焦点分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C与 有相同的渐近线 B. 若双曲线C上一点P满足，则的周长为 C. 过双曲线C的焦点且与x轴垂直的弦长为4 D. 若直线与双曲线C的两支各有一个交点，则直线的斜率 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出两双曲线的渐近线方程可得选项A正确；根据题目条件结合双曲线的定义可得选项B正确；通过赋值求弦长可得选项C错误；根据直线斜率与渐近线斜率的关系可得选项D正确. 【详解】A.双曲线中，，故渐近线方程为，即， 双曲线中，，故渐近线方程为，即，A正确. B.由题意得，，， 由双曲线定义得，， ∵，∴，故的周长为，B正确. C.由双曲线的对称性，不妨设弦过双曲线C的右焦点且与x轴垂直， 令，得，解得，故弦长为，C错误. D. 若直线与双曲线C的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间，即，D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足（，），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则三棱锥的体积为定值 B. 若，则有且仅有一个点P，使得 C. 若，则的最小值为6 D. 若，，则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据每个选项确定点的位置，并通过数形结合进行求解. 【详解】对于选项：当时，，故点在上运动， 而平面， 所以三棱锥的体积为定值. 故正确； 对于选项：当时，取中点记为，连接，易得点在上运动， 当点与点重合时，因为底面为菱形，且， 所以，又因为为中点，所以， 又，所以，又由已知此棱柱为直棱柱，所以面. 则，所以， 又，所以，即 所以，即. 当点与点重合时，因为， 又，所以，则，即， 所以，即. 故错误； 对于选项：当时，取中点记为，取中点记为， 连接， 则点在线段上运动，易得点关于直线的对称点为， 连接，此时点、、三点共线， 故点与点重合时，取得最小值为， 故正确； 对于选项：当，时，为的中点， 因为由直棱柱性质可知，面面，面面， 则平面截该直棱柱交于，交于. 且由定理可得 ，所以易得与相似，与相似， 易知，， 所以，， ， ， 易得平面截该直棱柱所得截面周长为， 故正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 已知向量的夹角为，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】借助向量模长与数量积的关系以及向量的数量积公式计算即可得. 【详解】 . 故答案为：. 13. 某企业近几年加大了对科技研发资金的投入，其科技投入x（百万元）与收益y（百万元）的数据统计如下表所示，由下表中的数据求得经验回归方程为，其中m为下表中科技投入x的4个数据的方差的8倍，据此经验回归方程预测，当时，的值为______（百万元）． 科技投入x（百万元） 1 2 3 4 收益y（百万元） m m+3 15 18 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再结合方差公式可得，即可得，再借助经验回归方程过点即可得，再将代入经验回归方程即可得解. 【详解】，则， 则， 则有，即，即， 故当时，. 故答案为：. 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______，的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由正弦定理得到，由三角恒等变换得到，结合角的范围，得到，并利用三角恒等变换化简得到，根据为锐角三角形，求出，从而得到的取值范围. 【详解】， 由正弦定理得， 又， 故， 即， 为锐角三角形，，故，所以， 故，， 又，故，故， 解得， ， 因为为锐角三角形，且， 解得，故， ，， 故. 故答案为：， 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，． （1）证明：数列为等差数列，并求通项； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）将，变形为，再利用等差数列的定义求解； （2）求出，再利用错位相减法求解. 【小问1详解】 因为，所以，又，所以， 所以数列是以为1首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 则， 两式相减得， ， 所以. 16. 已知函数，()． （1）若函数的图象在处的切线平行于x轴，求a的值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得解； （2）求导后因式分解，再结合的取值讨论导数的正负即可得函数的单调性. 【小问1详解】 ， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 ，， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递增，上单调递减； 当时，若，则， 若，则， 故在、上单调递增，上单调递减； 当时，则， 故在上单调递增； 当时，若，则， 若，则， 故在和上单调递增，上单调递减； 综上所述：若，则在上单调递增，上单调递减； 若，则在、上单调递增，上单调递减； 若，则在上单调递增； 若，则在、上单调递增，上单调递减. 17. 如图1，在平行四边形中，,,,将沿折起到位置，使得平面平面，如图2． 图1 图2 （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在点M，使得二面角的大小为45°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证明线线垂直，再利用面面垂直的性质定理证明线面垂直即可得； （2）建立适当空间直角坐标系，结合空间向量的运算，即可求面面角的余弦值. 小问1详解】 在中，因为，，， 由余弦定理，得， 所以，所以， 所以，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 即，，两两垂直， 以原点，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图， 则， 假设点存在，设， 则， ，, 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得， 又平面的一个法向量为， 假设在线段上存在点，使得二面角的大小为， 则，解得， 所以点存在，且点是线段的中点，即. 18. 第九届亚洲冬季运动会，将于2025年2月7日至2月14日在黑龙江省哈尔滨市举办，这是继2022年北京冬奥会之后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，为加强学生对冰雪项目的了解，某省重点高中拟组织一次冰雪知识测试，该校从全校学生中随机抽取30人进行模拟测试，其中高一学年组12人，高二学年组10人，高三学年组8人，测试共分为两轮． （1）第一轮测试按高一、高二、高三3个小组顺次进行，若一切正常，则该小组完成测试的时间为20分钟；若出现异常情况，则该小组需要延长5分钟才能完成测试．已知每一小组正常完成测试的概率均为，且各小组是否正常完成测试互不影响．记3个小组全部完成测试所需总时间为X，求X的分布列； （2）第二轮测试为面试，将3组同学一起进行排序，每位同学按排序顺次进行面试，且每人面试时间相等． ①求最后一名同学来自高一学年组的条件下，高二学年组同学比高三学年组同学提前完成面试的概率； ②若所有参加面试的同学都可以得到一枚“雪花摩天轮”冰箱贴，成绩优秀的同学还可以多得一枚“雪花摩天轮”冰箱贴，已知每一名同学面试成绩优秀的概率均为，设这30名同学所得冰箱贴总数恰好为n个的概率为，当取最大值时，求n的值． 【答案】（1）分布列见解析 （2）①；②37 【解析】 【分析】（1）写出随机变量的可能取值，根据对应情况求出概率，从而得到分布列； （2）①设事件：最后一名同学来自高一学年组；事件：高二学年组同学比高三学年组同学提前完成面试，根据条件概率公式计算结果. ②根据题意表示，通过分析与的大小关系可得结果. 【小问1详解】 由题意得，X的取值可以为， ，， ，. X的分布列： X 60 65 70 75 P 【小问2详解】 ①设事件：最后一名同学来自高一学年组；事件：高二学年组同学比高三学年组同学提前完成面试， 则，， ∴， ∴最后一名同学来自高一学年组的条件下，高二学年组同学比高三学年组同学提前完成面试的概率为. ②由题意得，，,， ∴， 由得，，由得，， ∴当，时，，当，时，, ∴当取最大值时，. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问②的关键是利用与的大小关系确定时，时，由此可得取最大值时n的值． 19. 已知椭圆C：的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，点D在椭圆上，且，． （1）求C的标准方程； （2）若过点且斜率不为0直线l与C交于P，Q两点． ①设直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，求证：为定值； ②当的外接圆面积最小时，求直线PQ的方程． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由已知求得，可求椭圆方程； （2）设设，，联立直线与椭圆方程，利用设而不求法求，由此证明结论. （3）利用三角形面积关系可得，利用换元法求得最小值即可. 【小问1详解】 因为，，所以，又， 解得，所以求C的标准方程为； 【小问2详解】 ①由于直线斜率不为0，设，， 联立，消去得， 根据韦达定理可知，所以， 又因为， ， 所以， 所以； ②， ，， 点到直线的距离为， 所以的面积为， 设的外接圆半径为，由正弦定理可得 ， 令，则，令，求导可得， 因为，所以， 所以在上单调递增， 故当时，即时，的外接圆面积最小，此时直线PQ的方程为． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2024—2025学年上学期高三学年期末考试 数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟． 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ） A. B. 10 C. D. 5 3. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 4. 已知的展开式中，各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（ ） A. 24 B. 80 C. 160 D. 240 5. 在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到点的距离之和最小，则该点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前项和为（ ） A B. C. D. 7. 在三棱锥中，，是正三角形，，分别是AD与CD的中点，且．若，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列四个选项中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是增函数 C. 直线是函数图像的一个对称轴 D. 函数的图像可由函数的图像向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 10. 已知双曲线C：，左右焦点分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C与 有相同的渐近线 B. 若双曲线C上一点P满足，则的周长为 C. 过双曲线C的焦点且与x轴垂直的弦长为4 D. 若直线与双曲线C的两支各有一个交点，则直线的斜率 11. 如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足（，），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则三棱锥的体积为定值 B. 若，则有且仅有一个点P，使得 C. 若，则的最小值为6 D. 若，，则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 已知向量的夹角为，且，，则______． 13. 某企业近几年加大了对科技研发资金的投入，其科技投入x（百万元）与收益y（百万元）的数据统计如下表所示，由下表中的数据求得经验回归方程为，其中m为下表中科技投入x的4个数据的方差的8倍，据此经验回归方程预测，当时，的值为______（百万元）． 科技投入x（百万元） 1 2 3 4 收益y（百万元） m m+3 15 18 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______，的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知数列满足，． （1）证明：数列为等差数列，并求通项； （2）求数列的前n项和． 16. 已知函数，()． （1）若函数的图象在处的切线平行于x轴，求a的值； （2）讨论单调性． 17. 如图1，在平行四边形中，,,,将沿折起到位置，使得平面平面，如图2． 图1 图2 （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在点M，使得二面角的大小为45°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 第九届亚洲冬季运动会，将于2025年2月7日至2月14日在黑龙江省哈尔滨市举办，这是继2022年北京冬奥会之后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，为加强学生对冰雪项目的了解，某省重点高中拟组织一次冰雪知识测试，该校从全校学生中随机抽取30人进行模拟测试，其中高一学年组12人，高二学年组10人，高三学年组8人，测试共分为两轮． （1）第一轮测试按高一、高二、高三3个小组顺次进行，若一切正常，则该小组完成测试的时间为20分钟；若出现异常情况，则该小组需要延长5分钟才能完成测试．已知每一小组正常完成测试的概率均为，且各小组是否正常完成测试互不影响．记3个小组全部完成测试所需总时间为X，求X的分布列； （2）第二轮测试为面试，将3组同学一起进行排序，每位同学按排序顺次进行面试，且每人面试时间相等． ①求最后一名同学来自高一学年组条件下，高二学年组同学比高三学年组同学提前完成面试的概率； ②若所有参加面试的同学都可以得到一枚“雪花摩天轮”冰箱贴，成绩优秀的同学还可以多得一枚“雪花摩天轮”冰箱贴，已知每一名同学面试成绩优秀的概率均为，设这30名同学所得冰箱贴总数恰好为n个的概率为，当取最大值时，求n的值． 19. 已知椭圆C：的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，点D在椭圆上，且，． （1）求C的标准方程； （2）若过点且斜率不为0直线l与C交于P，Q两点． ①设直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，求证：为定值； ②当的外接圆面积最小时，求直线PQ的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $