精品解析：山东省青岛市青岛第十九中学2024-2025学年高三上学期期末数学试题

青岛十九中2024-2025学年度第一学期期末模块检测 高三数学试题 2025.01 说明：1．一本试卷分第I卷和第II卷.满分150分.答题时间120分钟. 2．请将第I卷题目的答案选出后用2B铅笔涂在答题纸对应题目的代号上；第II卷用黑色签字笔将正确答案写在答题纸对应的位置上，答在试卷上作废. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为的子集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集，补集的运算判断即可． 【详解】解：集合M，N均为R的子集，且， 则， 则， 故选：C 2. 若复数满足：，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的乘方即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 3. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义计算得解. 【详解】点到原点的距离， 所以. 故选：D 4. 已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用“数形结合”的思想结合“一元二次方程根有一解求解的判别式等于零”求解即可. 【详解】当时，直线：，直线与椭圆相切，当“与相切”时， 联立有，令有， 所以是直线与椭圆相切的充要条件. 故选:C. 5. 已知圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为（ ） A. 15° B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相应长度，根据圆锥的侧面积和轴截面面积列式可得，再结合线面夹角运算求解. 【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为， 由题意可得：，解得， 设该圆锥的母线与底面所成的角为，则， 可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为. 故选：C. 6. 已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点，求出点和的坐标，利用中点坐标公式列式计算得关系，进而可得渐近线方程. 【详解】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为， 直线与直线交于点，交双曲线于点， 由M是线段的中点，得，则，， 所以C的渐近线方程为. 故选：C 7. 已知函数，若为偶函数；且在区间内仅有两个零点，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，以及根据余弦函数的零点，列式求的值. 【详解】，为偶函数， 所以，，，， 当，，因为在区间内仅有两个零点， 所以，得，则. 故选：A 8. 设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2024项之和为（ ） A. 4050 B. 4049 C. 4048 D. 4047 【答案】B 【解析】 【分析】变形得到，从而为等差数列，得到，累加法得到，从而，得到，当时，，故，从而求出答案. 【详解】， 故为公差为2的等差数列，首项为， 所以， 则 ， 故， 故，当时，，故， 所以数列的前2024项之和为. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错得0分） 9. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 若，则n的最小值为11 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据等差数列基本量的运算求解即可；对B，求出通项公式判断即可；对C，求解判断即可；对D，令求解即可. 【详解】对于A，由题意可得，解得，故A错误； 对于B，，故是递增数列，故B正确； 对于C，， 所以当时，取到最小值，故C错误； 对于D，令，即，解得或， 因为，所以使的n的最小值为11，故D正确. 故选：BD. 10. 已知圆，则下列结论正确的有（ ） A. 若圆和圆外离，则 B. 若圆和圆外切，则 C. 当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D. 当时，圆和圆相交 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】. 若和外离，则，解得或，故A错误； 若和外切，，解得，故B正确； 当时，和内切，故C正确； 当时，和相交，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则（ ） A. B. 在单调递增 C. 有最小值 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数，函数的变化趋势等方法对选项逐一判断即可． 【详解】已知函数， 对于A选项：，正确； 对于B选项： 当时，， 所以，所以在单调递增，正确； 对于C选项： 当时，，故 没有最小值，不正确； 对于D选项： 的最小正周期为，是偶函数， 定义域为．故只需研究即可． 由B选项知：在单调递增，在上单调递减， 的最大值为，正确． 故选：ABD． 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知非零向量满足：，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，再利用夹角公式求解即可. 【详解】. ， ，解得， 故． 故答案为：. 13. 若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出直线过定点，判断点在圆内，当直线时直线与圆相交的弦长最短，再由弦长公式计算可得. 【详解】直线，则， 令，解得，所以动直线恒过点， 又圆的圆心为，半径， 所以， 所以点在圆内， 所以当直线时直线与圆相交的弦长最短， 最短弦长为. 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且.又以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义及余弦定理、圆的定义求出即可. 【详解】令，依题意，，解得， 显然，，， 而，于是， 在中，由余弦定理， 得，解得，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在处取得极值-14. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为-14，最大值18 【解析】 【分析】（1）由极值和极值点，利用导数求出未知系数，再利用导数的几何意义求切点处切线的方程. （2）利用导数求函数单调区间，根据单调性求函数在区间上的最值. 【小问1详解】 因，故 由于在处取得极值-14，故有， 化简得，解得， 经检验，时，符合题意，所以. 则，，故. 所以曲线在点处的切线方程为：，即 【小问2详解】 ，， 解得或；解得， 即函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， ， 因此在的最小值为.最大值为 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若． （1）求； （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理化简得到求解； （2）根据D为的中点，得到，然后平方结合基本不等式求解. 小问1详解】 解：由， 利用正弦定理可得：， ， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 由D为的中点， ∴， ∴， ， 又∵，∴ ， ∴， ∴， 当且仅当时，取最小值． 17. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角． （1）求证：； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）当四棱锥体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明平面，证明，证明平面，证明； （2）过点作于点，证明当取最大时最大，证明，，三点共圆，且是以为直径的圆，求出四棱锥体积的最大值； （3）取中点为，连结，取中点为，连结，证明平面，以点为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 由题意知平面平面， 又平面平面平面， 所以平面,因为平面， 所以,又因为，，平面平面， 所以平面,因为平面， 所以; 【小问2详解】 由题可知二面角为直二面角， 过点作于点， 则 ， 所以当取最大时最大， 由于，所以，，三点共圆，且是以为直径的圆， 故（当落在圆心时，为直径时最大）， 即， 故四棱锥体积的最大值为； 【小问3详解】 取中点为，连结，取中点为，连结， 四棱锥体积最大时，， 点是中点，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为点、分别是、的中点， 所以，则， 则，． 以点为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，, ，，，． 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 18. 如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有、两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为． （1）求出部分椭圆方程和部分双曲线方程； （2）设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程； （3）过的直线与相交于点、、三点，求证：． 【答案】（1）椭圆方程为：，双曲线方程为． （2），直线的方程为：． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆与双曲线的基本量关系求解即可； （2）设，根据椭圆的切线方程求解即可； （3）设方程为：，分别联立椭圆与双曲线，进而可得，，再证明即可. 【小问1详解】 由题设可得，，，故椭圆方程为：，双曲线方程为． 小问2详解】 由图可知，切点在双曲线上． 设，则，则切线的方程为：，因为直线过点，所以，，代入，得， 所以，，直线的方程为：． 【小问3详解】 由题意可得斜率存在且不为零，故设方程为：， 联立整理得：，，即且，解得：或，即． 联立整理得：， 解得：或，即． 所以， 所以，所以． 【点睛】方法点睛： （1）双曲线在点处的切线方程为； （2）证明两角度相等时，可考虑斜率关系，联立方程得出韦达定理化简求解即可. 19. 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于4，则称这个数列为“数列”. （1）已知等差数列的首项为1，其前项和满足对任意的都有，若数列为“数列”，求数列的通项公式； （2）已知等比数列的首项和公比均为正整数，若数列为“数列”，且，，设，若数列也为“数列”，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过题干所给不等式可求出的范围，在根据，得出，进而求出 （2）通过判断数列的单调性可得：要对恒成立，只需，从而求出， 同理判断数列的单调性可得：要对恒成立，只需，从而求出的范围. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，由，得. 由题意得，对均成立， 当时，上式成立.当时，，又， 等差数列的通项公式为. 【小问2详解】 等比数列得，由于数列为“数列”，且为正整数，， . 在数列中，为最小项，由数列为“数列”可知， 要对恒成立，只需又，即. ，，，，，. 当，时，，则. 令. 数列为递增数列，即. 若数列是“数列”，则对任意的都有， 即对任意的恒成立 ，即，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 青岛十九中2024-2025学年度第一学期期末模块检测 高三数学试题 2025.01 说明：1．一本试卷分第I卷和第II卷.满分150分.答题时间120分钟. 2．请将第I卷题目的答案选出后用2B铅笔涂在答题纸对应题目的代号上；第II卷用黑色签字笔将正确答案写在答题纸对应的位置上，答在试卷上作废. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为的子集，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足：，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为（ ） A. 15° B. C. D. 6. 已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 7. 已知函数，若为偶函数；且在区间内仅有两个零点，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 8. 设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2024项之和为（ ） A. 4050 B. 4049 C. 4048 D. 4047 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错得0分） 9. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 若，则n的最小值为11 10. 已知圆，则下列结论正确的有（ ） A. 若圆和圆外离，则 B. 若圆和圆外切，则 C. 当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D. 当时，圆和圆相交 11. 已知函数，则（ ） A. B. 在单调递增 C. 有最小值 D. 最大值为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知非零向量满足：，且，则_____. 13. 若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且.又以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在处取得极值-14. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若． （1）求； （2）若，求最小值． 17. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角． （1）求证：； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）当四棱锥体积最大时，求直线与平面所成角正弦值． 18. 如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有、两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为． （1）求出部分椭圆方程和部分双曲线方程； （2）设过点直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程； （3）过的直线与相交于点、、三点，求证：． 19. 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于4，则称这个数列为“数列”. （1）已知等差数列的首项为1，其前项和满足对任意的都有，若数列为“数列”，求数列的通项公式； （2）已知等比数列的首项和公比均为正整数，若数列为“数列”，且，，设，若数列也为“数列”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$