专题01 线段双中点模型讲义-2025年中考数学总复习

线段双中点模型 一、图解模型 【证明1】∵点M、N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC ∴MN = CM+CN = AC+BC = （AC+BC）=AB 【证明2】∵点M、N分别是AC，BC的中点， ∴MC=AC，NC=BC， ∴MN = MC - NC =AC-BC = （AC - BC）=AB 【例1】已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是　　 A． B． C．或 D．或 【例2】如图，已知线段，为延长线上一点，且． （1）求的长； （2）若是的中点，是的中点，求的长． 【变式1】点是线段上任意一点，点、分别是、的中点，下列说法正确的是　　 A． B．当点为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 【变式2】已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作5次，则　　． 【变式3】综合应用 运动的变化是永恒不变的规律，正如生命中的变幻无常中蕴含着永恒的真理一样．在运动的变化中，往往可以发现不变的规律和智慧，从变化中寻找不变的价值和意义，启迪我们用数学的思维思考问题背后的数理逻辑，从而培养自己的数学思维和逻辑推理能力．已知点、、是直线上三个点（点在点左侧），点、分别是、的中点． （1）特例探究：如图，当点在线段上，且时，求的长度． （2）一般猜证：若，求线段的长度． （3）归纳结论：经历了上述探究过程，请你用简短的文字概括上述探究得到的结论． 1．如图，点、分别是线段上两点，用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则　　 A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 2．如图，点为线段的中点，点为的中点，若，，则线段的长是　　 A．7 B． C．9 D．5 3．如图，点，是线段上任意两点，点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则线段的长等于　　 A． B． C． D． 4．如图，点在线段上，且，点、分别是、的中点，若线段，则的长为　　 A． B． C． D． 5．已知线段，延长线段到点；若点是线段的中点，点是线段的中点，且是方程的解，则线段的长为　　 A． B． C． D． 6．如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；依次进行这样的标记，则　　 A．62 B．63 C．64 D．65 7．如图，线段．点在线段上（不与点、点重合），点为的中点，点为的中点，则　　． 8．如图，已知，、分别是和中点，且，则　　． 9．如图，点，在线段上，，分别是，的中点，若，，，则　　． 10．两条线段，一条长、另一条长，将它们一端重合且放在同一条直线上，则两条线段的中点之间的距离是 　 　． 11．如图，已知点为上一点，，，、分别为、的中点；则的长为 　　． 12．如图，点与点在线段上，且，点，点分别是，的中点，若，则　　． 13．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，为原点，，均为该数轴上的点．若为的中点，为的中点，且，，则　　． 14．如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，．连续这样操作2024次，则　　． 15．如图，已知点为上一点，，，若、分别为、的中点，求的长． 16．如图，点、、是线段上的三个点，是线段的中点． （1）若点是的中点，且，求线段的长； （2），，求线段的长． 17．（1）如图，线段，点是线段上一点，点，分别是线段，的中点，求的长； （2）小明在反思过程中突发奇想：若点运动到的延长线上时，（1）中原有的结论是否仍然成立？请帮助小明画出图形并说明理由． 18．如图，，，为线段上一点，为的中点，为的中点，为的中点． （1）若， ①求的长； ②求的长； （2）若，求的值． 19．如图1，已知线段，点在线段上，延长到点，使． （1）若，求线段的长； （2）若线段的长恰好等于线段的一半，求线段的长； （3）如图2，取线段的中点，线段的中点，求线段的长． 20．如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点． （1）若，，求的长； （2）若，求的值． 21．如图，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为的中点．设点的运动时间为秒． （1）若时，求的长； （2）当在线段上运动时，是定值吗？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）当在射线上运动时，为的中点，求的长度． 22．已知点、、在同一条直线上，点、分别是、的中点，且，． （1）如图①，若点在线段上，，，求线段的长； （2）若点为线段上任一点，其它条件不变，请直接写出你的猜想结果，的长度 为 　　（用含有，的代数式表示），不必说明理由； （3）若点在线段的延长线上，其它条件不变，请在图②中画出图形，试猜想的长度为 　　（用含有，的代数式表示，，并说明理由． 23．已知线段，，线段在直线上运动在的左侧，在的左侧）． （1）当点与点重合时，　　； （2）点是线段延长线上任意一点，在（1）的条件下，求的值； （3）、分别是、的中点，当时，求的长． 24．如图1，已知点，在直线上，且线段． （1）如图2所示，当点在线段上，且，点是线段的中点，求线段的长； （2）若点在直线上，且； ①线段　 　； ②若点是线段的中点，则线段　　． （3）若点在直线上，且，点是线段的中点，点是线段的中点，则线段　　． 25．如图，已知线段，延长线段至，使． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出　　 （2）设，点从点出发，点从点出发，分别以，的速度沿直线向左运动． ①当点运动到线段上，求的值； ②在点，沿直线向左运动的过程中，，分别是线段、的中点．当点恰好为线段的三等分点时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 线段双中点模型 一、图解模型 【证明1】∵点M、N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC ∴MN = CM+CN = AC+BC = （AC+BC）=AB 【证明2】∵点M、N分别是AC，BC的中点， ∴MC=AC，NC=BC， ∴MN = MC - NC =AC-BC = （AC - BC）=AB 【例1】已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是　　 A． B． C．或 D．或 【答案】 【解析】①当点在线段上时，如图， ，， ， 是的中点，是的中点， ，， ； ②当点在线段的延长线时，如图， ，， ， 是的中点，是的中点， ，， ； 综上，线段的长度时． 故选：． 【例2】如图，已知线段，为延长线上一点，且． （1）求的长； （2）若是的中点，是的中点，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为是的中点，是的中点， 所以， 所以． 【变式1】点是线段上任意一点，点、分别是、的中点，下列说法正确的是　　 A． B．当点为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】 【解析】、分别是、的中点， ，， 为上任意一点， 不一定等于， 不一定等于， 错误， ：当为中点时，， ， ， 错误， ， ， ， 正确， ， ， ， 错误， 故选：． 【变式2】已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作5次，则　4　． 【答案】4． 【解析】的中点是和的中点是， ，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ． 故答案为：4． 【变式3】综合应用 运动的变化是永恒不变的规律，正如生命中的变幻无常中蕴含着永恒的真理一样．在运动的变化中，往往可以发现不变的规律和智慧，从变化中寻找不变的价值和意义，启迪我们用数学的思维思考问题背后的数理逻辑，从而培养自己的数学思维和逻辑推理能力．已知点、、是直线上三个点（点在点左侧），点、分别是、的中点． （1）特例探究：如图，当点在线段上，且时，求的长度． （2）一般猜证：若，求线段的长度． （3）归纳结论：经历了上述探究过程，请你用简短的文字概括上述探究得到的结论． 【答案】（1）的长度为5； （2）线段的长度为； （3）归纳结论：无论点在什么位置，的长度始终都等于． 【解析】（1）如图： 点、分别是、的中点， ，， ， ， 的长度为5； （2）分三种情况： 当点在之间时，如图： 点、分别是、的中点， ，， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图： 点、分别是、的中点， ，， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图： 点、分别是、的中点， ，， ， ； 综上所述：线段的长度为； （3）归纳结论：无论点在什么位置，的长度始终都等于． 1．如图，点、分别是线段上两点，用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则　　 A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】 【解析】，，若点与点恰好重合， 点和点分别是、的中点， ，， ． 故选：． 2．如图，点为线段的中点，点为的中点，若，，则线段的长是　　 A．7 B． C．9 D．5 【答案】 【解析】点为线段的中点，， ， 点为的中点， ， ， ， ， 故选：． 3．如图，点，是线段上任意两点，点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则线段的长等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】，， ， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ． ． 故选：． 4．如图，点在线段上，且，点、分别是、的中点，若线段，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】由， 得，， ． 由、两点分别为、的中点， 得，， 由线段的和差， 得， ， ，， 故选：． 5．已知线段，延长线段到点；若点是线段的中点，点是线段的中点，且是方程的解，则线段的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】 ， ， ， 分两种情况： 当点在点的左侧，如图： 点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ， 当点在点的右侧，如图： 点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ， 线段的长为， 故选：． 6．如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；依次进行这样的标记，则　　 A．62 B．63 C．64 D．65 【答案】 【解析】线段和的中点分别为，， ，， ， 又， ； 同理：， ， ， ， ． ． 故选：． 7．如图，线段．点在线段上（不与点、点重合），点为的中点，点为的中点，则　　． 【答案】5． 【解析】点为的中点，点为的中点， ，， ， ， 故答案为：5． 8．如图，已知，、分别是和中点，且，则　　． 【答案】 【解析】设． ， ， ； ，； 又，， ， 解得，． 故答案为：． 9．如图，点，在线段上，，分别是，的中点，若，，，则　　． 【答案】2． 【解析】点是的中点，， ， ， ， ， ， 点是中点， ， ， 故答案为：2． 10．两条线段，一条长、另一条长，将它们一端重合且放在同一条直线上，则两条线段的中点之间的距离是 　 　． 【答案】11或1． 【解析】设较长的线段为，较短的线段为， 分两种情况： 当两条线段在重合一端的同侧，如图： 点是的中点，点是的中点， ，， ， 当两条线段在重合一端的异侧，如图： 点是的中点，点是的中点， ，， ， 所以，两条线段的中点之间的距离是或， 故答案为：11或1． 11．如图，已知点为上一点，，，、分别为、的中点；则的长为 　　． 【答案】4． 【解析】，， ， ， 、分别为、的中点， ，， ， 故答案为：4． 12．如图，点与点在线段上，且，点，点分别是，的中点，若，则　　． 【答案】15． 【解析】，， ， ， ， 点，点分别是，的中点， ，， ． 故答案为：15． 13．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，为原点，，均为该数轴上的点．若为的中点，为的中点，且，，则　　． 【答案】10或． 【解析】，两点在数轴上所表示的数分别为，，， ， 为的中点， 点表示的数为：， 为的中点， 点表示的数为， 在的左侧， ①当在的左侧， 解得：； ②当在的右侧， ， 解得：； 在的右侧， ③当在的右侧， 解得：， ， 不成立． 故答案为：10或． 14．如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，．连续这样操作2024次，则　　． 【答案】． 【解析】，、分别为、的中点， ， 、分别为、的中点， ， 、分别为、的中点， ， ， 由此可得：， . 15．如图，已知点为上一点，，，若、分别为、的中点，求的长． 【解析】 ，． ， ． 又是的中点，是的中点． ． 16．如图，点、、是线段上的三个点，是线段的中点． （1）若点是的中点，且，求线段的长； （2），，求线段的长． 【解析】（1）， ， 点是的中点， ， ， 是线段的中点， ， ， 线段的长为4； （2）， ， ， ， ， 线段的长为4． 17．（1）如图，线段，点是线段上一点，点，分别是线段，的中点，求的长； （2）小明在反思过程中突发奇想：若点运动到的延长线上时，（1）中原有的结论是否仍然成立？请帮助小明画出图形并说明理由． 【解析】（1）点，分别是线段，的中点， ，， ， ， 的长为2； （2）若点运动到的延长线上时，（1）中原有的结论仍然成立， 如图： 点，分别是线段，的中点， ，， ， ． 18．如图，，，为线段上一点，为的中点，为的中点，为的中点． （1）若， ①求的长； ②求的长； （2）若，求的值． 【解析】（1）由题意可得：，， ，， ，， ①为的中点，为的中点， ，， ， ②为的中点， ， ； （2）分两种情况： 当时，如图： 设，， ，， ， ， ， ， ， ， 当时，如图所示： 设，， ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或2． 19．如图1，已知线段，点在线段上，延长到点，使． （1）若，求线段的长； （2）若线段的长恰好等于线段的一半，求线段的长； （3）如图2，取线段的中点，线段的中点，求线段的长． 【解析】（1），，， ， 线段的长为18； （2）设， ，， ， 线段的长恰好等于线段的一半， ， 解得：， 线段的长为7； （3）设， ，， ，，， 点是的中点，点是的中点， ，， ， 线段的长为10.5． 20．如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点． （1）若，，求的长； （2）若，求的值． 【解析】（1），为的中点， ， ，为的中点， ， ； （2），为的中点， ， ，为的中点， ， ， ， ， ． 21．如图，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为的中点．设点的运动时间为秒． （1）若时，求的长； （2）当在线段上运动时，是定值吗？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）当在射线上运动时，为的中点，求的长度． 【解析】（1）当时，， 为的中点， ， ， ， 的长为19； （2）当在线段上运动时，是定值， 理由：为的中点， ， ， 当在线段上运动时，； （3）分两种情况： 当在线段上运动时，如图： 为的中点，为的中点 ，， ， ； 当在线段的延长线上运动时，如图： 为的中点，为的中点 ，， ， ； 综上所述：的长度为12． 22．已知点、、在同一条直线上，点、分别是、的中点，且，． （1）如图①，若点在线段上，，，求线段的长； （2）若点为线段上任一点，其它条件不变，请直接写出你的猜想结果，的长度 为 　　（用含有，的代数式表示），不必说明理由； （3）若点在线段的延长线上，其它条件不变，请在图②中画出图形，试猜想的长度为 　　（用含有，的代数式表示，，并说明理由． 【解析】（1）点、分别是、的中点， ，， ； （2）猜想：， 理由如下：点、分别是、的中点， ，， ． 故答案为：； （3）猜想：，理由如下： 如图， 点、分别是、的中点， ，， ． 故答案为：． 23．已知线段，，线段在直线上运动在的左侧，在的左侧）． （1）当点与点重合时，　　； （2）点是线段延长线上任意一点，在（1）的条件下，求的值； （3）、分别是、的中点，当时，求的长． 【解析】（1）当点与点重合时，； 故答案为：6； （2）由（1）得， ， 点是线段延长线上任意一点， ，， ； （3）如图1，、分别为线段、的中点， ， ， ； 如图2，、分别为线段、的中点， ， ， ． 24．如图1，已知点，在直线上，且线段． （1）如图2所示，当点在线段上，且，点是线段的中点，求线段的长； （2）若点在直线上，且； ①线段　 　； ②若点是线段的中点，则线段　　． （3）若点在直线上，且，点是线段的中点，点是线段的中点，则线段　　． 【解析】（1），， ， 点为线段的中点， ； （2）①当点在点的左边时， ，， ， 当点在点的右边时， ，， ． 故答案为：12或20； ②当点在点的左边时， 点为线段的中点， ； 当点在点的右边时， 点为线段的中点， ． 故答案为：6或10； （3）由（2）得， 当点在点的左边时， ，， ， 点是线段的中点，点是线段的中点， ， 当点在点的右边时， ，， ， 点是线段的中点，点是线段的中点， ， 故答案为：8． 25．如图，已知线段，延长线段至，使． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出　　 （2）设，点从点出发，点从点出发，分别以，的速度沿直线向左运动． ①当点运动到线段上，求的值； ②在点，沿直线向左运动的过程中，，分别是线段、的中点．当点恰好为线段的三等分点时，求的长． 【解析】（1）， ， ， 故答案为：； （2）①，， ，， 设运动时间为秒， 当点运动到线段上时， ，， ，， ， 的值为3； ②由点恰好为线段的三等分点， 当时， ， ，， ， ， ，， ， ，分别是线段、的中点， ，， ； 当时， ， ，， ， ， ，， ， ，分别是线段、的中点， ，， ； 综上所述：的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$