13.3三角形的内角与外角10题型4重难（培优讲义）新八年级数学新教材人教版

13.3 三角形的内角与外角（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 5 题型1直接运用三角形内角和定理求角的度数 5 题型2三角形内角和的证明 6 题型3 三角形内角和定理与平行线 11 题型4 三角形内角和定理与三角板问题 14 题型5 三角形内角和定理与折叠问题 16 题型6 直角三角形的性质 19 题型7直角三角形的判定 21 题型8 三角形外角的定义 24 题型9 利用三角形外角的性质计算 26 题型10用三角形外角的性质证明 28 释疑惑·重难拓展 32 题型1 三角形内角和与外角探究角之间的数量关系 33 题型2三角形内角和定理与角平分线、高线综合 37 题型3 三角形内角和定理与新定义问题综合 41 题型4 三角形内角和定理与外角的综合应用 45 知中考·真题探源 53 练好题·提分培优 59 课标要点 1.理解三角形内角、外角的定义，能准确区分三角形的内角与外角，识别三角形外角的构成形式（三角形一边与另一边延长线组成的角）。 2.内角和定理 探索并证明三角形内角和定理（三角形三个内角的和等于 180°）；能借助平行线、辅助线完成定理证明，掌握多种证明思路。 3.直角三角形的性质与判定 探索并掌握直角三角形的两个锐角互余；反之，有两个角互余的三角形是直角三角形，会利用这两组结论进行判定与计算。 4.外角性质（内角和定理推论） 掌握三角形外角两大核心性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角；了解三角形外角和为 360°。 5.综合应用 能运用三角形内角和、内外角性质进行角度计算、角度关系推理、几何证明；能结合图形特点，将多个角转化到同一个三角形中分析关系。 析知识·讲要点 知识点01 三角形的内角 ◆1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° . ◆2、三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． ◆3、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 练习 如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：在中，，， , 是的平分线， ， 在中，． 知识点02 直角三角形的性质与判定 ◆1、直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可 以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC可以记作 Rt△ABC ． ◆2、直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. ◆3、直角三角形的判定： 方法一：有一个角为90°的三角形是直角三角形. 方法二：两个角互余的三角形是直角三角形. 方法三：两边互相垂直. 练习 在下列条件中①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝2∠B＝3∠C，中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠B＝∠C180°＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x， ∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°， ∴2x＝72°，故本小题不符合题意； ④设∠A＝6x，∠B＝3x，∠C＝2x，则6x+2x+3x＝180°， 解得x＝（）°，故6x≠90°， ∴△ABC是不直角三角形，故本小题符合题意； 综上所述，是直角三角形的是①②共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 知识点03 三角形的外角 ◆1、三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． ◆2、三角形外角的性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． ◆3、若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． ◆4、探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 练习 一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，其中一个三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角性质．先根据平行线的性质得出，进而利用三角形的外角性质可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 剖题型·讲技巧 题型1直接运用三角形内角和定理求角的度数 方法技巧 根据“三角形三个内角的和等于180° ”来求三角形中求角的问题，有时要用到方程的思想来解决. 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）已知，在中，，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和恒为是解题的关键． 直接利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，且， ∴． 故选C． 2．如图，一轮船在海上向正东方向行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余角性质，三角形内角和计算即可． 本题考查了方向角的计算，熟练掌握方向角的意义，三角形内角和是解题的关键． 【详解】解：根据题意，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，得，， 故， 故选：A． 3．（25-26七年级下·全国·期末）一个三角形三个内角的比是，这个三角形是________，最大内角是________． 【答案】 直角三角形 【分析】先计算三个内角的总份数，再根据三角形内角和为，按比例分配求出各内角的度数，根据最大内角的度数判断三角形类型． 【详解】解：计算总份数： ∵三角形内角和为， ∴计算每份对应角度： 分别计算三个内角度数： ∵最大内角为， ∴该三角形为直角三角形． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）在中，，，求的度数． 【答案】 【分析】在中，由各角度数间的关系，结合三角形内角和是，可列出求出的度数． 本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键 【详解】解：在中，，， ， ． 题型2三角形内角和的证明 方法技巧 转化思想，把三角形三个分散的内角，通过作平行线平移、拼接成平角（180°），这是所有证法的根本。 1．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段检测）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意， ②∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②符合题意， ③∵， ∴， ∵， ∴，故③符合题意， ④ ， ， 不能证明“三角形的内角和等于”故④不符合题意， 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 4．（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作 交于点D，作 交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程进行证明即可． 【详解】解； ， ，． ， ． ， ， ． ， ． 题型3 三角形内角和定理与平行线 方法技巧 主要是利用平行线的性质得出角之间的数量关系，再利用三角形的内角和定理来解决问题. 1．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，已知，当于点，时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合垂线的定义得，再运用三角形内角和性质得，又因为，得出两直线平行，内错角相等，即． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，记与的交点为，证明，，进一步利用三角形的外角的性质求解即可. 【详解】解：如图，记与的交点为， ∵，，， ∴，， ∴. 3．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，，，垂足为，，则______ 【答案】 【分析】根据垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴ ∵， ∴． 4．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，已知，，，则_____度． 【答案】 【分析】设与交于点，根据平行线的性质得，再根据外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵， ． ， ． 题型4 三角形内角和定理与三角板问题 方法技巧 利用三角板中的特殊角的度数和三角形内角和定理解决求角度的问题. 1．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】根据直角三角尺的性质得出，利用平角定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出的度数． 【详解】解：直角三角尺中，，， ， ，点、、在同一直线上， ， ， ， ． 2．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，三角尺的顶点，分别在直线，上，若，且平分，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再根据平行线的性质可得的度数，最后利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】解：平分，， ， 如图，， ， ， ． 3．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）将直尺和三角板如图放置，，求________． 【答案】 【分析】，． 【详解】解：如图，由直尺得，， ， 由三角板得，， ． 4．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）将一副三角板如图放置，点在上，，如果，那么的度数是___________． 【答案】15 【分析】本题考查了平行线性质，三角形内角和定理，三角板中的角度计算，根据平行线性质推出，结合三角形内角和定理推出，再利用三角板中各角特点，即可求出． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ； 故答案为：． 题型5 三角形内角和定理与折叠问题 方法技巧 三角形中的折叠问题得到的是折痕相当于角平分线，折叠前后角的大小关系不变，再结合三角形的内角和定理解决问题. 1．如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的性质得到根据题意，得到再由图形翻折变换的性质得到，根据三角形的内角和即可得出结论． 【详解】解：∵ ，， ∴， 根据折叠的性质可得：， ， ∴ ． 2．如图，在三角形纸片ABC中，．将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在ABC所在平面内的点处．若，则的度数为（    ） A．62.5° B．70° C．65° D．72.5° 【答案】B 【分析】根据折叠的性质可得∠ADE =，∠AED=，进一步可得∠ADE的度数，根据三角形内角和定理可得∠AED的度数，即可求出的度数． 【详解】根据折叠的性质可得∠ADE=，∠AED=， ∵， ∴∠ADE+=180°+30°=210°， ∴∠ADE=， ∵， ∴∠AED=180°-105°-20°=55°， ∴=55°， ∴=180°-55°-55°=70°， 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 3．如图，在中，，分别是边，上一点，将沿折叠，使点的对称点落在边上，若，则______． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质利用三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：， 中，， 又，， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 题型6 直角三角形的性质 方法技巧 直角三角形的性质：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.如果其中有一个锐角是45°，那么另外一个锐角也是45°，这个三角形就是等腰直角三角形. 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴． 2．（2026·福建泉州·一模）如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三等分线定义可设，得到，，，根据周角的定义列方程并解方程，进一步即可得到答案． 【详解】解：∵为的三等分线， ∴可设， 则， ∵交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，于点，的平分线交于点，，，则的度数是________． 【答案】/80度 【分析】先由垂线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可得，然后由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 题型7直角三角形的判定 方法技巧 1.有一个角为90°，判定为直角三角形； 2.两个内角互余，判定为直角三角形； 3. 三角形两边互相垂直，判定为直角三角形。 1．（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，． 求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明： ， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 2．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 3．如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 题型8 三角形外角的定义 方法技巧 1.找外角：先看边，必须由一条边 + 另一边延长线构成。 2.区分关系：外角只和不相邻两个内角存在数量关系，和相邻内角互为邻补角（和为180°）。 3.识图技巧：复杂图形中，优先标出所有外角，借助外角性质转化角度，简化计算。 1．下图中∠1是三角形一个外角的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，进行判断即可． 【详解】解：由三角形外角的定义，可知，D选项中的∠1是三角形一个外角，其他的都不符合题意； 故选D． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，延长至点D，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ，， ， 故选：A． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，，分别是，上的点，与交于点，下列是的外角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的定义，掌握三角形的外角是解题的关键； 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角，可知是的外角，即可解决． 【详解】解：∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角， ∴是的外角， 故选：B． 4．如图，是 和 的外角；以为一边长的三角形有 个．    【答案】 4 【分析】本题考查了三角形的认识及三角形外角的定义，熟记三角形的定义：“三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”及三角形外角的定义：“三角形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角”是解题的关键． 【详解】解：根据图形可得：是和的外角； 以为一边长的三角形有：，，，，共4个； 故答案为：；；4． 题型9 利用三角形外角的性质计算 方法技巧 找准外角及对应的不相邻内角，利用外角 = 不相邻两内角和列式计算；角度存在倍数、和差关系时，设未知数求解。 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图所示，直线，直线与直线、分别交于点、、点在直线上，点在直线上，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得出的度数，再利用三角形外角的性质计算的度数． 【详解】解：∵， ， 是的外角， ， ， ． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，和都是的外角，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质．根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得到，再利用求出，即可解题． 【详解】解： 是的外角， ， ， ， 故选：D． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质．根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，由，，即可求解． 【详解】解：∵，， ， ， ； 故选：C． 4．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角，运用方程思想是解题的关键；设，根据三角形的内角和定理，三角形的外角分别求出 ， ，再根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ， ， ，， ， ，分别是的外角，的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 题型10用三角形外角的性质证明 方法技巧 1.标注图形中的内角、外角、相等角； 2.外角性质进行角的等量代换； 3. 逐步推导，得出角的数量关系，书写推理依据。 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点在边上，延长至点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及三角形内角和定理的应用，熟练掌握 “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和” 是解答本题的关键． （1）利用三角形外角的性质求出的度数，再结合三角形内角和定理计算的度数； （2）连续两次运用三角形外角的性质，进行等量代换，即可完成证明． 【详解】（1）解：，， ， ，且， ． （2）证明：，且， ． 2．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知， 平分， ， ； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又， ， 即． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，D是边上的动点，过点D作交于E，交的延长线于点F． (1)若，求的度数； (2)在D点运动的过程中，探究是否为定值，如果是求出定值并证明；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据题意可得，再根据直角三角形的两个锐角互余得，然后根据三角形的外角的性质得； （2）由垂直定义得，再根据三角形外角的性质得，进而得，则此题可解． 【详解】（1）解：∵于点E，交的延长线于点F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）解：为定值，理由如下： ∵于点E，交的延长线于点F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为定值． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图（1），点D在内部．求证： (1)； (2) (3)如图（2）如果点D在内部，且在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，由此即可证明问题； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，由此即可证明问题； （3）由三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：延长，交于点E，如下图 ， ． （2）证明：如图（1） ， ． （3）解：，理由如下： 连接，如下图 ，， ， ． 释疑惑·重难拓展 题型1 三角形内角和与外角探究角之间的数量关系 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边，和的延长线于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理结合对顶角相等可得，再由平角的定义得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边，如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E． （1）求∠E的度数． （2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，请说明理由． 【分析】本题主要考查角平分线的性质以及三角形外角的性质。（1）角平分线将该角分成两个相等的角；（2）三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和． 【解答】（1）解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE， 由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE， ∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE）， ∴∠A=2∠E， ∵∠A=40°， ∴∠E=20° （2）解：∠A=2∠E，理由如下： ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE， 由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE， ∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE）， ∴∠A=2∠E 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键． 3．（25-26七年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【分析】（1）先利用三角形内角和与角平分线求出，再用外角性质求，最后在直角三角形中计算； （2）先利用外角和角平分线，把用、表示，再结合直角三角形内角和，化简得到与、的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 4．如图，，连接、、，且． (1)若，求的度数． (2)若，求证：． (3)若与互补，求与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，余角和补角，垂线，熟练掌握平行线的性质，以及余角和补角的意义是解题的关键． （1）利用平行线的性质可得，再根垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答； （2）根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后根据已知和三角形内角和定理可得，从而进行计算即可解答； （3）根据已知可得，然后再利用等量代换可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， 的度数为； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 理由：与互补， ， ，， ， ． 题型2三角形内角和定理与角平分线、高线综合 1．△ABC中，∠BAC＝80°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，若∠DAE＝80°，则∠BAD为 　 度． 【答案】120． 【分析】根据角平分线的定义求出∠EAB的度数，最后根据直角三角形两锐角互余列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵∠BAC＝80°，AE平分∠BAC． ∴∠EAB∠BAC80°＝40°， ∵∠DAE＝80°， ∵∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝80°+40°＝120°， 故答案为：120． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记图形的性质与定理是解题的关键． 2．（25-26七年级下·全国·期末）如图，为的高，，为角平分线，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，再利用直角三角形的性质求解即可； （2）利用三角形的外角性质求得，利用三角形内角和定理求得，利用角平分线的定义求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：平分，， ． ， ， ； （2）解：， ． 由（1）知， ∴， ∵平分， ， 由（1）知， ． 3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，是高，是角平分线， (1)求的度数； (2)求的度数； (3)试探究与之间的数量关系（)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）角平分线的定义求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数，角的和差关系即可得出结果； （3）同法（2）进行求解即可. 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，是的角平分线，是的高， ∴， ∴ ∴. 4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知在中，平分，． 【特例探究】 (1)如图（a），，垂足为，若，，则的度数为________； 【一般推导】 (2)如图（b），点在线段上，过点作，垂足为．请写出与，之间的数量关系：__________． 【拓展应用】 (3)如图（c），在中，，垂足为分别平分和，过点作交延长线于点．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后求出，进而求解即可； （2）首先由角平分线和三角形内角和定理得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用直角三角形两锐角互余求解； （3）设，得到，根据角平分线的定义得到，，表示出，得到，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵平分， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （3）解：设， ∵平分， ， ，， ∵， ∴， 、分别平分和， ，， ， ∴， ∵， ， ， ∴， ， ． 题型3 三角形内角和定理与新定义问题综合 1．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．若是“奇妙互余三角形”，，求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，由题意知，“奇妙互余三角形”分和，两种情况求解：根据三角形内角和定理计算求解即可． 【详解】解：是“奇妙互余三角形”， ， ①当时， ， ， ②当时， ， ． 故的度数为或． 2．定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”；②的度数是或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据“准互余三角形”可知，，即可得解； （2）①根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，符合定义，即可得解； ②分两种情况讨论，和，分别求出，再根据直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：是“准互余三角形”，， ， ； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下：如下图， 是的平分线， ， ， ， ， 是“准互余三角形”； ②如图， 由题意得：， 是“准互余三角形”， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上所述，的度数是或． 4．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】(1)①；；②是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 题型4 三角形内角和定理与外角的综合应用 1．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，连接， (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图1，则___________． ②若，，试用、表示的度数． (2)当点在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用、表示，如不存在，请写出理由． 【答案】(1)①；② (2)或或 【分析】（1）①根据三角形内角和定理分别得出，，进而可得 ，即可求解； ②根据①的方法，即可求解； （2）分三种情况讨论，①如图，当在的左侧时，设交于点，②如图，当在的右侧时，设交于点，③如图，当在的下方时，根据三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 又∵ ∵，， ∴ ②∵，， ∴ （2）解：①如图，当在的左侧时，设交于点 ∵， ∴ ②如图，当在的右侧时，设交于点 ∵ ∴ ③如图，当在的下方时， ∵，， ∴， 又∵ 综上所述，或或 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 【答案】(1)；三角形内角和定理； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解． 【详解】（1）解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得 ． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）∵是角平分线，是角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期末）直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图1，平分，平分，若，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则________度（直接写出结果，不需说理） ②点、在运动的过程中，若，试求的度数． (3)如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，在中，如果某一个角是的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①45；② (3)或 【分析】（1）先求出，，再根据求解即可； （2）①根据，只要求出即可； ②由已知条件和角平分线的定义可得，，再根据计算即可； （3）首先证明，，再分，，，四种情形分别进行计算即可． 【详解】（1）解：， ． ， ． 平分，平分， ，， ，即的度数为． （2）解：①， 平分，平分， ，， ， ； ②， ． ， ． 平分，平分， ，， ， 点、在运动的过程中，． （3）解：由题意得，， ， ， 又， 则， ①当时，， ； ②当时． ，即， ； ③当时，即，， （不合题意舍弃）； ④当时，， （不合题意舍弃）， 综上所述，当或时，在中，有一个角的度数是的4倍． 4．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）在中，，三个内角的平分线交于点． (1)填空：如图，若，则的大小为______度； (2)如图，过点作，交于点，证明： ； (3)如图，的延长线交于点．点是边上的一动点（不与点重合），过点作于点，请直接写出、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)125 (2)∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）先由三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求得，即可由三角形内角和定理求解； （2）先由三角形内角和定理以及角平分线定义求得，从而得到，再由， 可得，即可得出结论； （3）分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段的延长线上时，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵三个内角的平分线交于点， ∴分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，当点M在线段上时， ∵，， ∴ ， ∵，即， ∵， ∴， 即； 当点M在线段的延长线上时，如图， 同理， ∵，即， ∴ 即； 综上所述，、、三者之间的数量关系为或． 知中考·真题探源 1．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可． 【详解】解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025•南充）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：∵直角三角板， ∴α＝90°+60°＝150°， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 3．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 4．（2025•台湾）如图，△ABC中有AD，D点在BC上．根据图中标示的度数，求p+q+r之值是多少？（　　） A．140 B．150 C．160 D．180 【答案】三角形的外角性质． 【分析】先由三角形内角和定理得r＝80，再根据三角形外角性质得p+q＝80，由此即可得出p+q+r的值． 【详解】解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠C＝70°，∠ADC＝r°， 由三角形内角和定理得：∠DAC+∠C+∠ADC＝180°， ∴30°+70°+r°＝180°， ∴r＝80， ∴∠ADC＝r°＝80°， ∵∠ADC是△ABD的外角，∠B＝q°，∠BAD＝p°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝p°+q°， ∴p°+q°＝80°， ∴p+q＝80， ∴p+q+r＝80+80＝160． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的外角性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 5．（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为______． 【答案】/100度 【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解： 故答案为： 6．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 8．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________．      【答案】或或 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，，      由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时，   ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，    ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，      ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 练好题·提分培优 1．（2026·四川南充·三模）如图，点，在直线上，点，在直线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂直意义及三角形内角和求得的度数，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：设交于点O，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·湖南长沙·三模）如图，直线，，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）将如图①所示的剪成三部分放在如图②的网格中，已知点O，A，B，C均在格线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，根据网格图，得到为内角角平分线的交点是解题的关键． 根据题意，为内角角平分线的交点，结合角平分线的性质可得，进而得到，再利用的内角和即可求解． 【详解】解：由网格图可知，到的距离相等， 则为内角角平分线的交点， ， ， ， ，即， ． 故选：C． 5．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，是角平分线，且，相交于点， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 三角尺的两条直角边，分别经过点，， ， 在中，， ． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，将与叠在一起，点恰好落在上，，，则_____． 【答案】 【详解】解：∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2026·山东济南·一模）如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度． 【答案】50 【分析】先利用角平分线的定义求出的度数，再结合平行线的性质得到与的关系，最后结合垂直的性质和三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：平分， ． ， ． ， ． 9．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在中，是上一点，连接．则，，的大小关系是_____． 【答案】（或） 【分析】根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：在中，是外角， ∴， ∴， 在中，是外角， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （或）． 10．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，某工人加工一个机器零件， ，则_______． 【答案】50 【分析】连接，利用三角形内角和定理得出，接着求得，再在中利用三角形内角和定理求出的度数，根据对顶角相等得到的度数，最后在 中利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：连接， ∵在中，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，，是的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由高的定义得到，然后利用三角形内角和定理求解； （2）首先求出，然后由角平分线求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】（1）解：∵是的高 ∴，即 ∵ ∴； （2）解：∵， ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∵，即 ∴． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】首先利用三角形内角和定理求出，然后利用平行线的性质求出，，然后结合角平分线求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 13．（2026七年级下·全国·专题练习）某车间加工的标准零件如图所示，要求．质检人员只量得某零件的，就断定这个零件不合格．请说明理由． 【答案】见详解 【分析】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的外角性质． 连接并延长，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出，，然后求出的度数，根据零件规定数据，只有才是合格产品． 【详解】解：如下图，连接并延长， ∴，， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴这个零件不合格． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点． (1)若，求； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线和三角形内角和，推导出． （2）先证，然后根据求出，再根据三角形的外角性质得到关系式，求解． 【详解】（1）解： ， ， 平分，平分， ，， ， ． （2）解： 平分，平分， ，， ， ，即， ， ，解得， 设，， ∴，， 解得． 15．已知在中，，D是上一点 (1)如图1，，求证：； (2)将沿所在直线翻折，点A落在边所在直线上，记为点． ①如图2，若，求的度数； ②若，则 的度数为 　　（用含α的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得出答案； （2）①由，得，再结合（1），得，再由折叠的性质即可得到答案；②由，得，再结合（1），得的度数，再由折叠的性质即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴； ②∵， ∴， 当时，在线段上， ； 当40时，在的延长线上， ， ∴当时，， 当时，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查直角三角形的性质和折叠的性质，解题的关键是熟悉直角三角形的性质． 15．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3 三角形的内角与外角（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 4 题型1直接运用三角形内角和定理求角的度数 4 题型3 三角形内角和定理与平行线 6 题型4 三角形内角和定理与三角板问题 7 题型5 三角形内角和定理与折叠问题 8 题型6 直角三角形的性质 9 题型7直角三角形的判定 10 题型8 三角形外角的定义 12 题型9 利用三角形外角的性质计算 13 题型10用三角形外角的性质证明 14 释疑惑·重难拓展 16 题型1 三角形内角和与外角探究角之间的数量关系 16 题型2三角形内角和定理与角平分线、高线综合 18 题型3 三角形内角和定理与新定义问题综合 20 题型4 三角形内角和定理与外角的综合应用 21 知中考·真题探源 25 练好题·提分培优 27 课标要点 1.理解三角形内角、外角的定义，能准确区分三角形的内角与外角，识别三角形外角的构成形式（三角形一边与另一边延长线组成的角）。 2.内角和定理 探索并证明三角形内角和定理（三角形三个内角的和等于 180°）；能借助平行线、辅助线完成定理证明，掌握多种证明思路。 3.直角三角形的性质与判定 探索并掌握直角三角形的两个锐角互余；反之，有两个角互余的三角形是直角三角形，会利用这两组结论进行判定与计算。 4.外角性质（内角和定理推论） 掌握三角形外角两大核心性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角；了解三角形外角和为 360°。 5.综合应用 能运用三角形内角和、内外角性质进行角度计算、角度关系推理、几何证明；能结合图形特点，将多个角转化到同一个三角形中分析关系。 析知识·讲要点 知识点01 三角形的内角 ◆1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° . ◆2、三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． ◆3、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 练习 如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 知识点02 直角三角形的性质与判定 ◆1、直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可 以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC可以记作 Rt△ABC ． ◆2、直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. ◆3、直角三角形的判定： 方法一：有一个角为90°的三角形是直角三角形. 方法二：两个角互余的三角形是直角三角形. 方法三：两边互相垂直. 练习 在下列条件中①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝2∠B＝3∠C，中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点03 三角形的外角 ◆1、三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． ◆2、三角形外角的性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． ◆3、若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． ◆4、探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 练习 一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，其中一个三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 剖题型·讲技巧 题型1直接运用三角形内角和定理求角的度数 方法技巧 根据“三角形三个内角的和等于180° ”来求三角形中求角的问题，有时要用到方程的思想来解决. 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）已知，在中，，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，一轮船在海上向正东方向行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·期末）一个三角形三个内角的比是，这个三角形是________，最大内角是________． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）在中，，，求的度数． 题型2三角形内角和的证明 方法技巧 转化思想，把三角形三个分散的内角，通过作平行线平移、拼接成平角（180°），这是所有证法的根本。 1．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A．B． C．D． 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段检测）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 3．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 4．（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作 交于点D，作 交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 题型3 三角形内角和定理与平行线 方法技巧 主要是利用平行线的性质得出角之间的数量关系，再利用三角形的内角和定理来解决问题. 1．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，已知，当于点，时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，，，垂足为，，则______ 4．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，已知，，，则_____度． 题型4 三角形内角和定理与三角板问题 方法技巧 利用三角板中的特殊角的度数和三角形内角和定理解决求角度的问题. 1．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 2．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，三角尺的顶点，分别在直线，上，若，且平分，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）将直尺和三角板如图放置，，求________． 4．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）将一副三角板如图放置，点在上，，如果，那么的度数是___________． 题型5 三角形内角和定理与折叠问题 方法技巧 三角形中的折叠问题得到的是折痕相当于角平分线，折叠前后角的大小关系不变，再结合三角形的内角和定理解决问题. 1．如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在三角形纸片ABC中，．将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在ABC所在平面内的点处．若，则的度数为（    ） A．62.5° B．70° C．65° D．72.5° 3．如图，在中，，分别是边，上一点，将沿折叠，使点的对称点落在边上，若，则______． 4．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 题型6 直角三角形的性质 方法技巧 直角三角形的性质：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.如果其中有一个锐角是45°，那么另外一个锐角也是45°，这个三角形就是等腰直角三角形. 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建泉州·一模）如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，于点，的平分线交于点，，，则的度数是________． 题型7直角三角形的判定 方法技巧 1.有一个角为90°，判定为直角三角形； 2.两个内角互余，判定为直角三角形； 3. 三角形两边互相垂直，判定为直角三角形。 1．（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，． 求证：是直角三角形． 2．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 3．如图，平分．求证：是直角三角形． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 题型8 三角形外角的定义 方法技巧 1.找外角：先看边，必须由一条边 + 另一边延长线构成。 2.区分关系：外角只和不相邻两个内角存在数量关系，和相邻内角互为邻补角（和为180°）。 3.识图技巧：复杂图形中，优先标出所有外角，借助外角性质转化角度，简化计算。 1．下图中∠1是三角形一个外角的是（    ） A．  B．  C．  D．   2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，延长至点D，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，，分别是，上的点，与交于点，下列是的外角的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是 和 的外角；以为一边长的三角形有 个．    题型9 利用三角形外角的性质计算 方法技巧 找准外角及对应的不相邻内角，利用外角 = 不相邻两内角和列式计算；角度存在倍数、和差关系时，设未知数求解。 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图所示，直线，直线与直线、分别交于点、、点在直线上，点在直线上，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，和都是的外角，已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型10用三角形外角的性质证明 方法技巧 1.标注图形中的内角、外角、相等角； 2.外角性质进行角的等量代换； 3. 逐步推导，得出角的数量关系，书写推理依据。 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点在边上，延长至点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 2．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，D是边上的动点，过点D作交于E，交的延长线于点F． (1)若，求的度数； (2)在D点运动的过程中，探究是否为定值，如果是求出定值并证明；如果不是定值，请说明理由． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图（1），点D在内部．求证： (1)； (2) (3)如图（2）如果点D在内部，且在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 释疑惑·重难拓展 题型1 三角形内角和与外角探究角之间的数量关系 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边，和的延长线于点，，．求证：． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边，如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E． （1）求∠E的度数． （2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，请说明理由． 3．（25-26七年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 4．如图，，连接、、，且． (1)若，求的度数． (2)若，求证：． (3)若与互补，求与的数量关系，并证明． 题型2三角形内角和定理与角平分线、高线综合 1．△ABC中，∠BAC＝80°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，若∠DAE＝80°，则∠BAD为 　 度． 2．（25-26七年级下·全国·期末）如图，为的高，，为角平分线，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，是高，是角平分线， (1)求的度数； (2)求的度数； (3)试探究与之间的数量关系（)． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知在中，平分，． 【特例探究】 (1)如图（a），，垂足为，若，，则的度数为________； 【一般推导】 (2)如图（b），点在线段上，过点作，垂足为．请写出与，之间的数量关系：__________． 【拓展应用】 (3)如图（c），在中，，垂足为分别平分和，过点作交延长线于点．若，，求的度数． 题型3 三角形内角和定理与新定义问题综合 1．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．若是“奇妙互余三角形”，，求的度数． 2．定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 4．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 题型4 三角形内角和定理与外角的综合应用 1．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，连接， (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图1，则___________． ②若，，试用、表示的度数． (2)当点在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用、表示，如不存在，请写出理由． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期末）直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图1，平分，平分，若，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则________度（直接写出结果，不需说理） ②点、在运动的过程中，若，试求的度数． (3)如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，在中，如果某一个角是的4倍，请直接写出的度数． 4．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）在中，，三个内角的平分线交于点． (1)填空：如图，若，则的大小为______度； (2)如图，过点作，交于点，证明： ； (3)如图，的延长线交于点．点是边上的一动点（不与点重合），过点作于点，请直接写出、、三者之间的数量关系． 知中考·真题探源 1．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025•南充）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 3．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•台湾）如图，△ABC中有AD，D点在BC上．根据图中标示的度数，求p+q+r之值是多少？（　　） A．140 B．150 C．160 D．180 5．（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为______． 6．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 7．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度． 8．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________．      练好题·提分培优 1．（2026·四川南充·三模）如图，点，在直线上，点，在直线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·三模）如图，直线，，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）将如图①所示的剪成三部分放在如图②的网格中，已知点O，A，B，C均在格线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，将与叠在一起，点恰好落在上，，，则_____． 8．（2026·山东济南·一模）如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度． 9．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在中，是上一点，连接．则，，的大小关系是_____． 10．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，某工人加工一个机器零件， ，则_______． 11．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，，是的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)求的度数． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数． 13．（2026七年级下·全国·专题练习）某车间加工的标准零件如图所示，要求．质检人员只量得某零件的，就断定这个零件不合格．请说明理由． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点． (1)若，求； (2)若，求的度数． 15．已知在中，，D是上一点 (1)如图1，，求证：； (2)将沿所在直线翻折，点A落在边所在直线上，记为点． ①如图2，若，求的度数； ②若，则 的度数为 　　（用含α的代数式表示）． 16．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $