精品解析： 山东省济宁市金乡县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末学情监测 八年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了轴对称图形．根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形”，即可求解． 【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.轴对称图形，故本选项符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选B． 2. 人体中成熟个体红细胞的直径约为0.0000077米的细菌，将数据0.0000077用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列各式，，，中，分式有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可． 【详解】解；由题意得是分式，共2个， 故选B． 【点睛】本题考查分式的定义，解题的关键是掌握分式的定义． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘除法完全平方公式等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 根据幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘除法、完全平方公式逐项排除即可． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意． 故选：． 5. 如图，已知，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理．连接．设与交于点，由三角形内角定理求出．再由三角形内角和定理和对顶角相等即可求出． 【详解】如图，连接．设与交于点， ，． ，， ， 故选：C． 6. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：x，y同时扩大为原来的2倍， 则有， ∴该分式的值是原分式值的，故C正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，给分子分母同时乘以一个整式（不为0），不可遗漏是解答本题的关键． 7. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C． 考点：由实际问题抽象出分式方程． 8. 若关于的方程无解，则的值是（ ） A. B. 2 C. -3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先把m当做已知数，求解该分式方程，再根据分式方程无解，则分母为0，即可解答． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：， ∵该方程无解， ∴，解得：， ∴，解得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式方程无解的条件，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式方程无解的条件． 9. 如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先根据正方形的性质表示出，，再根据完全平方公式的变形得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：正方形的边长为，，， ， 两个阴影部分都是正方形且面积和为60， 重叠部分的面积为 故选A． 10. 对于正数x，规定，例如，则的值是（ ） A. 9 B. 10 C. 9.5 D. 10.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据，进而进行求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， =， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了运算的规律，分式的混合运算，函数值的计算，正确读懂运算的规律是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为____cm． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，由此得到，利用直角三角形的性质求出的值 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 故答案为3 13. 已知，则的值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式进行变形求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 14. 在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】作关于的对称点，连接，，，由，可得，，根据轴对称的性质可得，是的垂直平分线，进而可得，于是证得是等边三角形，则，由三线合一可得，进而利用三角形的面积公式可得，由垂直平分线的性质可得，于是可得，根据垂线段最短可知，于是可得答案． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，，， ，， ，， 是关于的对称点， 根据轴对称的性质可知，，是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， 为的中点， ， ，且， ， 是的垂直平分线， ， ， 垂线段最短， ， 即：， 的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三线合一，三角形的面积公式，等式的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键． 15. 如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2025次碰到长方形的边时，点P的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标的规律，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2025除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，，，，，，，…， ∴点的坐标6次一循环．经过6次反弹后动点回到出发点， ∵， ∴当点P第2025次碰到长方形的边时，点P的坐标为． 故答案为：． 三．解答题（共7小题，共55分） 16. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、开平方、负整数指数幂运算法则，实数的混合运算，解分式方程，熟练掌握和运用各运算法则和方法是解决本题的关键． （1）首先进行零指数幂、开平方、负整数指数幂，再进行实数的混合运算，即可求得结果； （2）根据解分式方程的步骤，解方程，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）方程两边乘去分母，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为． 17. 先化简，再求值：，在，，0，1四个数中选择一个你喜欢的数，代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式=（+）• =• =， ∵a+2≠0且a-1≠0， ∴a≠1且a≠-2， 取a=0， 原式=． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点、、的坐标分别为、、． （1） ； （2）画出关于x轴对称的； （3）已知点在轴上，且，则点的坐标是 ． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，点的坐标，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出、、都是对应点，，即可； （3）线段的垂直平分线与轴的交点即为所求． 【小问1详解】 解： ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 小问3详解】 解：点在轴上，且 点在垂直平分线上． 作的垂直平分线上，如上图，点即为所求，． 19. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点． （1）利用尺规作出∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F，（要求在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断AF与BC有怎样位置关系与数量关系，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析；（2）AF∥BC且AF=BC，理由见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意画出图形即可； （2）根据等腰三角形的性质，可得两底角相等，根据三角形的外角的性质，可得∠DAC=∠ABC+∠C，根据内错角相等，可得两直线平行，根据ASA，可得两个三角形全等，根据全等三角形的性质，可得证明结论． 试题解析：（1）如图： （2）AF∥BC且AF=BC，理由如下： ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠DAC=∠ABC+∠C，∴∠DAC=2∠C， 由作图可知∠DAC=2∠FAC，∴∠C=∠FAC，∴AF∥BC； ∵E是AC的中点，∴AE=CE， 在△AEF和△CEB中， ,∴△AEF≌△CEB （ASA）， ∴AF=BC． 20. 某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等． （1）求甲、乙两种香椿每件的进价； （2）由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 【答案】（1）甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元 （2）最多可购买乙种香椿120件 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列方程，列不等式，是解本题的关键． （1）设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元，再利用花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等列方程，再解方程即可； （2）设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件，利用总费用为4320元，列不等式，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元． 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元． 【小问2详解】 设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件． 由题意得， 解得． ∵a为正整数， ∴a的最大值为120． 答：最多可购买乙种香椿120件． 21. 已知，中，，，点D是边上一点，连接，且． （1）如图①，求证：； （2）如图②，点E为边上一点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，求的度数； （3）如图③，过点D作交于点P，点M为线段上一点，连接，作，交的延长线于点Q．直接写出线段，与之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形． （1）根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，即可得出结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得到答案； （3）连接，延长至F，使，连接，证明，根据全等三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图③，连接，延长至F，使，连接， 在中，，，点D是中点，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】 22. 类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： （1）①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； （2）若满足，求的值； （3）受此启发，解方程． 【答案】（1）①；②； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【小问1详解】 解：①∵ ∴类比得， 故答案为：； ②， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵满足，即 ∴，， 解得，， ∴， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末学情监测 八年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 人体中成熟个体红细胞的直径约为0.0000077米的细菌，将数据0.0000077用科学记数法表示为（　　） A B. C. D. 3 下列各式，，，中，分式有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，则等于（　　） A. B. C. D. 6. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 7. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 8. 若关于的方程无解，则的值是（ ） A. B. 2 C. -3 D. 3 9. 如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 10. 对于正数x，规定，例如，则的值是（ ） A. 9 B. 10 C. 9.5 D. 10.5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解__________． 12. 如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为____cm． 13. 已知，则的值为______． 14. 在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是________． 15. 如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2025次碰到长方形的边时，点P的坐标为_______． 三．解答题（共7小题，共55分） 16. （1）计算：； （2）解方程： 17. 先化简，再求值：，在，，0，1四个数中选择一个你喜欢的数，代入求值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点、、的坐标分别为、、． （1） ； （2）画出关于x轴对称的； （3）已知点在轴上，且，则点的坐标是 ． 19. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点． （1）利用尺规作出∠DAC平分线AM，连接BE并延长交AM于点F，（要求在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断AF与BC有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由． 20. 某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等． （1）求甲、乙两种香椿每件的进价； （2）由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 21. 已知，中，，，点D是边上一点，连接，且． （1）如图①，求证：； （2）如图②，点E为边上一点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，求的度数； （3）如图③，过点D作交于点P，点M为线段上一点，连接，作，交的延长线于点Q．直接写出线段，与之间的数量关系． 22. 类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： （1）①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； （2）若满足，求的值； （3）受此启发，解方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$