精品解析：河北省承德市宽城满族自治县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

宽城满族自治县2024--2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．用0.5mm黑色笔做答，2B铅笔涂卡． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据，可用如下算式计算方差：，则这组数据的平均数是（ ） A. B. C. D. 2. 对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. 图象位于第二、四象限 D. 图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 3. 如图，点B，C，D、E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽BD=1cm，则AD的长为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. 且 D. 5. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，直径长为6米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A. 米 B. 2米 C. 米 D. 米 6. 关于的方程，下列解法完全正确的是（ ） ①两边同时除以得； ②整理得，∵，，，，∴； ③整理得，配方得，∴，∴，∴，； ④移项得：，∴或，∴，， A. ① B. ①③ C. ④ D. ③④ 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（　　） A. B. C. π D. 10. 如图，为的直径，点为圆上一点，且．现有以下操作：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的大小为（ ） A. B. C. D. 11. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴，如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为S、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则m与n关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，计12分） 13. 已知一元二次方程的两根为，则______． 14. 通过配方，把二次函数化为的形式______，顶点坐标______． 15. 如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，那么的长为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=mx+1与双曲线 y=（k>0）相交于点A，B，已知点B（a，-2），点C在×轴正半轴上，点D（2，-3），连接 OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形． （1）反比例函数的表达式为__________； （2）不等式>mx+1 的解集是__________； （3）设P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，则点P的坐标为_______． 三、解答题（本大题72分） 17. （1）用适当方法解方程： ①； ②； （2）数学课上，小明在黑板上做一道题如下所示，请仔细观察并解决以下问题： ① ② ③ 填写错误步骤：______；（填最先出错的步骤序号即可）并写出正确解答步骤 18. 已知二次函数． （1）二次函数图象与轴的交点坐标是 　　，轴的交点坐标是 　　，顶点坐标是 　　； （2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围 　　． 19. 为了解我校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的时间进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生； （2）请根据以上信息，直接在答题卡中补全扇形统计图和条形统计图； （3）请直接写出本次调查获取的学生一周阅读的总时间数据的众数为______h，中位数为______h． （4）求出平均数； （5）若该校有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生一周阅读的时间小于6小时． 20. 如图，是的内接三角形，是的直径，过点作交的延长线于点，点在上，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为为（参考数据：；） （1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 22. 某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为47米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）． （1）设菜地的宽为x米，则______米（用含x的代数式表示）； （2）当x为何值时，围成的菜地面积为270平方米？ （3）当x为何值时，围成的菜地面积最大？ 23. 一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： （1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； （2）由于暴雨导致水位上涨了1.5米，求此时水面的宽度； （3）已知一艘货船的高为2.2米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？ 24. 如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： （1）______，______．（用含t的代数式表示） （2）求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； （3）在运动过程中，当时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宽城满族自治县2024--2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．用0.5mm黑色笔做答，2B铅笔涂卡． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据，可用如下算式计算方差：，则这组数据的平均数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差公式的定义即可求解． 【详解】根据方差公式：与对比可知：， 故选：． 【点睛】此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质． 2. 对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. 图象位于第二、四象限 D. 图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、当时，，图象不经过点，故选项A不符合题意； B、，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、，故该函数图象位于第二、四象限，故选项C符合题意； D、反比例函数的两个分支关于原点成中心对称，也是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 3. 如图，点B，C，D、E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽BD=1cm，则AD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， ，即， 解得：， 故选：C． 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式，即可解答． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，解得：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 综上：k的取值范围是且， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，直径长为6米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A. 米 B. 2米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】解：连接，交于， 由题意得：米，，米， （米），， （米）， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 6. 关于的方程，下列解法完全正确的是（ ） ①两边同时除以得； ②整理得，∵，，，，∴； ③整理得，配方得，∴，∴，∴，； ④移项得：，∴或，∴，， A. ① B. ①③ C. ④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据解一元二次方程的方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：①忽略了，这种情况，故①解法错误； ②，整理得：，故，故②解法错误； ③，配方得：，即：，原解法配方错误，故③解法错误； ④移项得：，∴或，∴，，故④解法正确； 故选C． 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是： 故选：B． 8. 如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中正弦、余弦及正切的定义．根据题意在直角三角形内结合各选项表示出不同的正弦、余弦及正切角的表示方式，通过比较选择正确表示选项即可． 【详解】解：A项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故A错误； B项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故B错误； C项：在中，， 在中，， 其中符合选项，故C正确； D项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故D错误， 故选：C． 9. 如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（　　） A. B. C. π D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意以及网格的特点求得，圆弧的半径为，进而根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】依题意，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上， ,， 扇形AEF的面积． 故选A． 【点睛】本题考查了网格的特点，勾股定理，扇形面积，根据网格的特点求得圆心角和半径是解题的关键． 10. 如图，为的直径，点为圆上一点，且．现有以下操作：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，尺规作角平分线等知识点，根据直角所对的圆周角是得出的度数，再由得出的度数，最后根据所画射线为的角平分线即可解决问题，熟练掌握圆周角定理的推论，尺规作角平分线是解决此题的关键． 【详解】∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， 根据作图步骤可知，平分， ∴， ∴， 故选：C． 11. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴，如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为S、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则m与n关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，求函数解析式，根据扇形的面积公式分别表示出S、，进而表示出函数解析式，判断出函数图象即可． 【详解】解：设扇面的半径为，则：， ∴， ∴是的正比例函数，且； ∴图象为； 故选C． 12. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称轴方程可判断a、b同号，判断①错误；代入结合图象可判断②错误；由对称轴方程可判断③正确；代入结合函数的图象判断④正确． 【详解】解：①，a、b同号，故，原结论错误； ②当时，由图象可知，即，原结论错误； ③由对称轴可知， ∴，原结论正确； ④当时，由图象可知，即，整理得，原结论正确． 所以，正确的结论有2个， 故选：B． 二、填空题（每题3分，计12分） 13. 已知一元二次方程的两根为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为 ∴， 故答案为：． 14. 通过配方，把二次函数化为的形式______，顶点坐标______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查将一般式化为顶点式，利用配方法将一般式转化为顶点式，再利用顶点式的性质，写出顶点坐标即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为：． 15. 如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的判定和性质．设，则，由表示出三角形的边上的高，根据，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即可求出的长． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 设，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 解得：； ． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=mx+1与双曲线 y=（k>0）相交于点A，B，已知点B（a，-2），点C在×轴正半轴上，点D（2，-3），连接 OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形． （1）反比例函数的表达式为__________； （2）不等式>mx+1 的解集是__________； （3）设P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，则点P的坐标为_______． 【答案】 ①. ②. x<-3或0<x<2 ③. 或 【解析】 【分析】依题意（1）由题，AODC为菱形，又点D（2，-3），得点A的坐标，代入反比例函数解析式即可； （2）点B在反比例函数上，将点B的坐标代入；数形结合得不等式的解集； （3）由（1）菱形AODC的面积；点P在y轴上运动，设点P（0，y）为，面积相等即可； 【详解】（1）由题可知，AODC为菱形，又点D（2，-3）； 由图可知，点D与点A关于轴对称，∴ 点A（2， 3）； 将点A的坐标，代入反比例函数解析式： ，可得； ∴ 反比例函数的表达式为：； （2）由（1）知反比例函数表达式为：；又点B在反比例函数上，故将点B（a，-2），代入反比例函数表达式，可得，∴点B（-3，-2） 又直线与反比例函数相交于点A、B，结合图形； ∴ 可得的解集为：或 ； （3）由（1）知结合菱形AODC的性质可知各点的坐标分别为：、、、； ∴ 菱形AODC的面积为：； 又点P在y轴上运动，设点P（0，y）为，∴ △APO的面积为：； 又菱形AODC的面积与△APO的面积相等； ∴ ，∴ 或； ∴ 点P的坐标为：（0，12）或（0，-12）； 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数和菱形的性质，重点在于熟练函数解析式的计算和应用； 三、解答题（本大题72分） 17. （1）用适当方法解方程： ①； ②； （2）数学课上，小明在黑板上做一道题如下所示，请仔细观察并解决以下问题： ① ② ③ 填写错误步骤：______；（填最先出错的步骤序号即可）并写出正确解答步骤 【答案】（1）①，；②，； （2）①； 正确解答如下： ． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，熟练掌握用适当方法解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）①先化简，再用配方法或公式法求解即可； ②利用配方法或公式法求解即可； （2）先利用特殊角的三角函数值化简，再利用二次根式的混合运算计算即可． 【详解】解：（1）①， 化简，得：， 配方，得：， 即：， 直接开平方，得：， 则，， 即：，； ②， 配方，得：， 即：， 直接开平方，得：， 则，； （2）∵，， ∴最先出错的步骤是① 18. 已知二次函数． （1）二次函数图象与轴的交点坐标是 　　，轴的交点坐标是 　　，顶点坐标是 　　； （2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围 　　． 【答案】（1），；； （2） 如图： ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象； （1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； （3）结合二次函数图象，写出当时对应的y的取值范围． 【小问1详解】 解：令，则， 解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是，， 令，解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是； ∵， ∴该二次函数图象顶点坐标为； 故答案为：，；；． 【小问2详解】 解：列表： 描点，连线可得图象； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，． 故答案为：． 19. 为了解我校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的时间进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生； （2）请根据以上信息，直接在答题卡中补全扇形统计图和条形统计图； （3）请直接写出本次调查获取的学生一周阅读的总时间数据的众数为______h，中位数为______h． （4）求出平均数； （5）若该校有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生一周阅读的时间小于6小时． 【答案】（1）50 （2） 补全图形如下： （3）6，6 （4） （5）400名 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由阅读时间为的人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得a的值． （2）总人数乘以阅读时间为的人数对应的百分比可得答案． （3）依据众数、中位数的定义求解即可． （4）根据平均数的定义，进行求解即可． （5）总人数乘以样本中一周阅读的时间小于人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为（名）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：， 对应人数为（名）， 【小问3详解】 解：学生一周阅读的总时间数据中出现次数最多，所以众数为； 中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为、，所以这组数据的中位数为； 故答案为：6，6； 【小问4详解】 这组数据的平均数为； 【小问5详解】 解：估计该校一周阅读的时间小于的人数为（名）． 20. 如图，是的内接三角形，是的直径，过点作交的延长线于点，点在上，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对圆周角的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键． （1）先根据直径所对的圆周角为直角得，则，再结合推出，利用同弧所对的圆周角相等得出，再结合，得出，即可证明； （2）先在直角三角形中，利用内角和得出，则，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 21. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为为（参考数据：；） （1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 延长，交于点， 则：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 22. 某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为47米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）． （1）设菜地的宽为x米，则______米（用含x的代数式表示）； （2）当x为何值时，围成的菜地面积为270平方米？ （3）当x为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）用篱笆的长度加上门宽减去的长，列出代数式即可； （2）用矩形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）设菜地面积为，列出二次函数，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，（米）； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故； 【小问3详解】 设菜地面积为，则：， ∵， ∴， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∴当，有最大值为：， 答：当，围成的菜地面积最大． 23. 一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： （1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； （2）由于暴雨导致水位上涨了1.5米，求此时水面的宽度； （3）已知一艘货船的高为2.2米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？ 【答案】（1） 建立平面直角坐标系如下： （2）米 （3）米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． （1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为x轴，拱桥的最高点在y轴上，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解； （2）水位上涨了1.5米时，则，求出对应的x的值即可； （3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解． 【小问1详解】 解：如图，为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点O，所在直线为x轴，所在直线为y轴， 则，， ，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，则， 解得：， ， ∴水面上升1.5米后的水面宽度为米； 【小问3详解】 解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处， ∵货船的高为米，宽为米， ∴米，， 设米，则米， ∴点的坐标为， 将代入，得： 解得， ∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米． 24. 如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： （1）______，______．（用含t的代数式表示） （2）求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； （3）在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【小问1详解】 解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， 【小问2详解】 解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； 【小问3详解】 解： 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $