精品解析：福建省三明市宁化县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024～2025学年上学期期中质量检测试卷 八年级数学 （满分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 8的立方根是(　 　) A. 2 B. －2 C. ±2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据立方根的定义求解即可，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作. 【详解】8的立方根是. 故选A. 【点睛】本题主要考查对立方根的理解，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键.正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0. 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中各个象限内点的坐标的符号特征，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的坐标的符号：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在各象限的坐标特点即可解答． 【详解】解：，点的横坐标，纵坐标， ∴点在第四象限． 故选：D． 3. 过点和作直线，则直线（ ） A. 与轴平行 B. 与轴平行 C. 与轴相交 D. 与轴、轴相交 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟记平行坐标轴的直线的特征是解本题的关键． 根据两点的横坐标相等，得出直线平行于轴． 【详解】解：∵点，点， ∴点横坐标相同， ∴直线轴， 故选：B． 4. 以下列各组数据为边长作三角形，其中不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 8，12，16 D. 15，36，39 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握运用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法：（1）先确定最长边，（2）分别计算最长边平方和另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A，，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故不符合题意， B，，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故不符合题意； C，，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故符合题意； D，，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 5. 若最简二次根式和能合并，则的值为（ ） A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式可以合并，得出最简二次根式为同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义进行解答即可． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴与为同类二次根式， ∴， 解得：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出关于x的方程，是解题的关键． 6. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算及立方根可直接进行排除选项． 【详解】解：A、，错误，故不符合题意； B、，正确，故符合题意； C、，错误，故不符合题意； D、，错误，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算及立方根，熟练掌握二次根式的运算及立方根是解题的关键． 7. 已知一次函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. C. 直线过点 D. 直线与坐标轴围成的三角形面积是3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象与性质，一次函数与几何图形，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键．先将代入中求得k值得到函数解析式，再根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：先将代入中，得，故选项B错误，不符合题意； ∴， ∴y随x的增大而减小，故选项A错误，不符合题意； 当时，，即直线过点，故选项C正确，符合题意； 令，则，令，则， ∴函数与坐标轴交于点， ∴函数与坐标轴围成三角形面积是，故选项D错误，不符合题意， 故选：C． 8. 已知一直角三角形的木版，三边的平方和为，则斜边长为（ ） A. 80 B. 30 C. 90 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理列出关系式，再由三边的平方和为1800，列出关系式，联立两关系式，即可求出斜边的长． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为， 由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 9. 设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】∵， ∴， ∴的整数部分， ∴小数部分， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键． 10. 一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数关系如图所示，则图中的值为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，正确应用函数与方程的关系是解题关键． 设一次函数的解析式：，用待定系数法求出解析式，再把代入计算即可． 【详解】解：设一次函数的解析式：， 把代入，得， 解得：， ， 把代入， 解得：． 故， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 9的平方根是_________． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3． 故答案为±3． 【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 12. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，正确掌握点的坐标特点是解题关键． 直接利用点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即可得出答案． 【详解】解：点到x轴的距离为 故答案为：． 13. 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 已知与成正比例，且当时，，则关于的函数解析式是____ 【答案】y=2x-2． 【解析】 【分析】已知y与x-1成正比例，设y=k(x-1)，且当时，用待定系数法可求出函数关系式． 【详解】解：∵y与x-1成正比例， ∴设y=k(x-1)， 当时，代入上式得到：k=2， 则y与x的函数关系式是：y=2x-2． 故答案为：y=2x-2． 【点睛】此题考查利用待定系数法求函数解析式，正确利用正比例函数的特点以及已知条件求出k的值，写出解析式． 15. 如图，在数轴上，点，表示的数分别为和1，，且，连接，在上截取，以为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则数轴上点表示的实数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．根据勾股定理可得的长，由题意可得，即，因为，即可得出答案． 【详解】解：∵，点，表示的数分别为和1， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点E表示的实数是． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，有一定点，一动点，当线段最短时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查两点间的距离公式和非负数的性质，将的值化简为非负数，进而得到最小值是解题的关键． 先根据两点间距离公式得到，根据非负数的性质可得当的值最小，进而求出点P的坐标． 【详解】解：， ， 整理得：， ∴当时，的值最小，即的值最小，此时， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，进而根据二次根式的加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，最后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和最简二次根式的意义并正确运用去括号法则． （1）先计算二次根式的乘法，化简二次根式，再计算二次根式的加减运算即可； （2）先计算立方根、算术平方根、零指数幂、负指数幂，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在平面直角坐标系中，标出，，三点并画出； （2）若与关于轴对称，画出并写出，，三点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）作图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，作图—轴对称变换； （1）根据点、、的坐标及坐标的概念描点、连线即可； （2）分别作出点、、关于轴的对称点，再顺次连接即可得，进而可得，，三点的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， ∵与关于轴对称，且的三个顶点坐标分别为， ∴， ， 的坐标分别为． 20. 先化简，再求值：（a﹣）（a+）﹣a（a﹣），其中a＝． 【答案】，． 【解析】 【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到原式=a-3，然后把a的值代入二次根式的混合运算即可． 【详解】解：（a﹣）（a+）﹣a（a﹣） ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 21. 如图，在中，． （1）试说明：； （2）若于D，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积关系，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答即可； （2）根据三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴是直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴． 22. 《龟兔赛跑》是一则耐人寻味的寓言故事，故事中塑造了一只骄傲的兔子和一只坚持不懈的小乌龟．下图中的线段和折线表示“龟兔赛跑时时间与路程”的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题： （1）填空：折线表示赛跑过程中______（填“兔子”或“乌龟”）的时间与路程的关系，赛跑的全过程是______米． （2）乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？ （3）兔子醒来后，以300米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，兔子在中间停下睡觉用了多少分钟？ 【答案】（1）兔子，1350 （2）乌龟用了15分钟追上正在睡觉的兔子 （3）兔子中间睡觉用了40分钟 【解析】 【分析】本题主要考查从函数图象获取信息，弄清函数图象中的点和线段的实际意义是解答本题的关键． （1）利用乌龟始终运动，中间没有停留，进而得出线段的意义和全程的距离； （2）根据乌龟所走路程除以所用时间即可解答； （4）用乌龟跑完全程的时间兔子晚到的时间兔子在路上奔跑所用时间即可解答． 【小问1详解】 解：乌龟始终运动，中间没有停留， 折线表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系， 由图可知，赛跑的全程是1350米； 故答案为：兔子，1350； 【小问2详解】 解：∵乌龟的速度是：（米/分钟）， ∴（分钟）， 答：乌龟用了15分钟追上正在睡觉的兔子； 【小问3详解】 解：∵兔子睡醒后跑向终点所用的时间：（分钟）； ∴兔子中间睡觉的时间是：（分钟）． 答：兔子中间睡觉用了40分钟． 23. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题： ，； ，； ，；…… ，，，…… （1）推算出的长为______； （2）请用含有（为正整数）的等式表示和； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3）205 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、数字的变化规律，根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题意找出规律，根据规律解答即可； （2）根据题意找出规律，根据规律解答即可； （3）根据题意列出算式，根据乘方法则，加法法则计算即可． 【小问1详解】 解： ， ∴ ， 故答案为： ； 小问2详解】 解：由题意得： ； 【小问3详解】 解： ． 24. 【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一，求y关于m的函数解析式； （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）相邻刻线间的距离为5厘米 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）（2）可得：， 解得：； 【小问4详解】 解：由任务一可知：， ∴， ∴； 【小问5详解】 解：由（4）可知， ∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意． 25. 综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中的面积是______； （2）若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积． （3）拓展应用：求代数式：的最小值． 【答案】（1） （2）图见解析， （3）5 【解析】 【分析】（1）分割法求出三角形的面积即可； （2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积． （3）将代数式转化为平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，利用成轴对称的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知：的面积是； 故答案为：； 【小问2详解】 的边长分别为、、（，，且）， ∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图： 由图可知：的面积是； 【小问3详解】 ，可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图： 设，，，则：， 过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长， ∵，， ∴． ∴的最小值为5． 【点睛】本题考查勾股定理与网格问题，坐标与轴对称．解题的关键是理解并掌握构图法，将代数问题转化为几何问题，利用数形结合的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年上学期期中质量检测试卷 八年级数学 （满分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 8的立方根是(　 　) A. 2 B. －2 C. ±2 D. 2 2. 在平面直角坐标系中，点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 过点和作直线，则直线（ ） A. 与轴平行 B. 与轴平行 C. 与轴相交 D. 与轴、轴相交 4. 以下列各组数据为边长作三角形，其中不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 8，12，16 D. 15，36，39 5. 若最简二次根式和能合并，则的值为（ ） A 0.5 B. 1 C. 2 D. 2.5 6. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知一次函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. C. 直线过点 D. 直线与坐标轴围成的三角形面积是3 8. 已知一直角三角形的木版，三边的平方和为，则斜边长为（ ） A. 80 B. 30 C. 90 D. 120 9. 设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 10. 一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数关系如图所示，则图中的值为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 9的平方根是_________． 12. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于________． 13. 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）． 14. 已知与成正比例，且当时，，则关于的函数解析式是____ 15. 如图，在数轴上，点，表示的数分别为和1，，且，连接，在上截取，以为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则数轴上点表示的实数是______． 16. 在平面直角坐标系中，有一定点，一动点，当线段最短时，点的坐标为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在平面直角坐标系中，标出，，三点并画出； （2）若与关于轴对称，画出并写出，，三点的坐标． 20. 先化简，再求值：（a﹣）（a+）﹣a（a﹣），其中a＝． 21. 如图，在中，． （1）试说明：； （2）若于D，求的长． 22. 《龟兔赛跑》是一则耐人寻味的寓言故事，故事中塑造了一只骄傲的兔子和一只坚持不懈的小乌龟．下图中的线段和折线表示“龟兔赛跑时时间与路程”的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题： （1）填空：折线表示赛跑过程中______（填“兔子”或“乌龟”）的时间与路程的关系，赛跑的全过程是______米． （2）乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？ （3）兔子醒来后，以300米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，兔子在中间停下睡觉用了多少分钟？ 23. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题： ，； ，； ，；…… ，，，…… （1）推算出的长为______； （2）请用含有（为正整数）等式表示和； （3）求值． 24. 【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一，求y关于m的函数解析式； （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 25. 综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中面积是______； （2）若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积． （3）拓展应用：求代数式：的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$