精品解析：河南省信阳市平桥区2024-2025学年八年级上学期12月期中考试数学试题

八年级数学第二次质量调研试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 汉字是中华文明的标志，从甲骨文到后来的金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果等腰三角形的一个内角等于，那么它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，能用公式法分解因式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A. B. C. D. 6. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，则平分.做法中用到证明与全等的判定方法是（　　） A. SAS B. SSS C. ASA D. HL 7. 当n为自然数时，一定能（ ） A. 被5整除 B. 被6整除 C. 被7整除 D. 被8整除 8. 已知能运用完全平方公式因式分解，则的值为（ ） A. 12 B. C. 24 D. 9. 如图，在中，，分别平分，，平分，交的延长线于点，记，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，点E，F分别在，边上，将沿折叠，使点落在点处，连接，．有下面四个结论： ①；②直线是线段的垂直平分线；③；④． 所有正确结论的序号为( ) A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点与点关于x轴对称，则_____． 12. 若为正整数，则值为_______． 13. 若，那么多项式的值是_______． 14. 风铃，古称“风铎”，常见于中国传统建筑屋檐下，六角风铎的底部可抽象为正六边形，如图，连接，，则的度数为__________． 15. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）运用乘法公式计算： 17. 分解因式： （1） （2）在实数范围内分解因式； 18. 如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 19. 如图，有一块土地形状是三角形，其中． （1）要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请用无刻度直尺和圆规画出分法．（保留作图痕迹，不写作法） （2）请说明你分得的这三块地大小、形状都相同的理由． 20. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，顶点都在网格线的交点上，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为. （1）画出关于y轴的对称图形； （2）请写出点B关于x轴对称点的坐标为______； （3）点P在y轴上，且与的面积相等，则点P的坐标为______. 21. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 22. 在人教版八年级数学第十四章14.3．2这一节内容中，我们知道形如的代数式叫做完全平方式，其实我们也可以将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即 ；即当时，有最小值 根据上述材料，解答下列问题： （1）求的最大值； （2）若，比较的大小（写出比较过程）； （3）若等腰三角形中两边满足，则它的周长是_______． 23. 【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第二次质量调研试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 汉字是中华文明的标志，从甲骨文到后来的金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 如果等腰三角形的一个内角等于，那么它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这知识点的理解和掌握，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：当为顶角时，底角为， 另外底角也可以为， 则它的底角是或， 故选：． 3. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；单项式除以单项式的法则；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，正确，故此选项不符合题意； B、，原式计算错误，故此选项符合题意； C、，正确，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，能用公式法分解因式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方差公式和完全平方公式判断并分解即可． 【详解】解：①，可以用平方差公式分解因式，故符合题意； ②不能用公式分解因式，故不符合题意； ③不能用公式分解因式，故不符合题意； ④不能用公式分解因式，故不符合题意； ⑤，不能用公式分解因式，故不符合题意； ⑥，能用完全平方公式分解因式，故符合题意； 共有2个能用公式法分解因式， 故选：A． 【点睛】此题考查了利用公式法分解因式，正确掌握平方差公式及完全平方公式分解因式是解题的关键． 5. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 6. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，则平分.做法中用到证明与全等的判定方法是（　　） A. SAS B. SSS C. ASA D. HL 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了学生的观察能力和判定直角三角形全等的定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决． 根据直角三角形全等的判定定理，可证． 【详解】在和中， ， ， ． 故选：D． 7. 当n为自然数时，一定能（ ） A. 被5整除 B. 被6整除 C. 被7整除 D. 被8整除 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“”是解题的关键．先把分解因式可得结果为：，从而可得答案． 【详解】解： 为自然数 所以一定能被8整除， 故选D 8. 已知能运用完全平方公式因式分解，则的值为（ ） A. 12 B. C. 24 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，由此即可得到答案． 【详解】解：能运用完全平方公式因式分解， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键． 9. 如图，在中，，分别平分，，平分，交的延长线于点，记，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的定义及性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键； 根据角平分线的定义得，，根据三角形外角的性质得，可判断选项A；根据角平分线的定义得，，由即可判断选项，，； 【详解】解：为外角的平分线，平分， ，， 又是的外角， ， ，故选项A不符合题意； ，分别平分，， ，， ， ， 故选项C、D不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 10. 如图，在四边形中，点E，F分别在，边上，将沿折叠，使点落在点处，连接，．有下面四个结论： ①；②直线是线段的垂直平分线；③；④． 所有正确结论的序号为( ) A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，线段垂直平分线的判定，多边形内角和公式，三角形外角性质，掌握翻折不变性，以及相关性质是解题的关键． 由翻折不变性，可判断①正确；由翻折不变性，可得，，可判断②正确；由多边形内角和公式和翻折不变性，可判断③正确；由三角形外角性质和翻折不变性，可判断④正确；即可解答． 【详解】解： 是由翻折得到的， ， 故①正确； 是由翻折得到的，是由翻折得到的， ，， 点E，点F都在的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， 故②正确； 是由翻折得到的， 故③正确； 设与交于点H， 是由翻折得到的， 故④正确； 综上，正确的有：①②③④， 故选：D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点与点关于x轴对称，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是熟练掌握坐标的变化规律“横坐标不变，纵坐标互为相反数”． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， 则． 故答案为：5． 12. 若为正整数，则值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，利用幂的乘方得出同底数幂的乘法是解题关键． 根据幂的乘方，同底数幂的乘法，可得答案． 【详解】； 故答案为：． 13. 若，那么多项式的值是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题以考查整式的化简求值知识点，解题的关键是先将多项式化简，再整体代入已知条件； 先根据完全平方公式和多项式乘法法则将多项式展开并合并同类项进行化简，再把已知的整体代入化简后的式子求值 【详解】， ， ， ， ， 故答案为：8． 14. 风铃，古称“风铎”，常见于中国传统建筑屋檐下，六角风铎的底部可抽象为正六边形，如图，连接，，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的性质，内角和的公式，直角三角形的性质，正确掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正六边形的性质求出，，求出，根据对称性求出，即可得到答案． 【详解】解：在正六边形中，，， ， ， 是正六边形的一条对称轴， ， ． 故答案为：． 15. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）运用乘法公式计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法，平方差公式． （1）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可； （2）先变形为，再利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 分解因式： （1） （2）在实数范围内分解因式； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）首先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可； （2）先将其转化为无理数的平方，再利用平方差公式分因式解即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】略． 19. 如图，有一块土地形状是三角形，其中． （1）要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请用无刻度直尺和圆规画出分法．（保留作图痕迹，不写作法） （2）请说明你分得的这三块地大小、形状都相同的理由． 【答案】（1） 如图，、、即为所求， ， （2） 解：由作图可得：垂直平分， ，，， ， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， 、、即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）以、为圆心，大于的长度为半径画弧，相交于两点，连接两点交于，交于，连接，、、即为所求． （2）垂直平分，通过角的关系和边的关系可证明，，再证明，即可证明、、即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，顶点都在网格线的交点上，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为. （1）画出关于y轴的对称图形； （2）请写出点B关于x轴对称点的坐标为______； （3）点P在y轴上，且与的面积相等，则点P的坐标为______. 【答案】（1）作图见解析； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，关于坐标轴对称的点的坐标特征，“关于x轴对称，x不变，关于y轴对称，y不变”，以及作轴对称图象，采用数形结合的方法，熟练掌握轴对称的性质以及面积相等采用同底等高的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为. ，，， 【小问2详解】 解：点B坐标为， 点B关于x轴对称点的坐标为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：与的面积相等， ， ∴或3． 又点P在y轴上， 当点P在y轴的正半轴时， 的坐标为： 当点P在y轴负半轴时， 的坐标为：， 故答案为：或 21. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【小问1详解】 证明：∵，点D是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴． 22. 在人教版八年级数学第十四章14.3．2这一节内容中，我们知道形如的代数式叫做完全平方式，其实我们也可以将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即 ；即当时，有最小值 根据上述材料，解答下列问题： （1）求的最大值； （2）若，比较的大小（写出比较过程）； （3）若等腰三角形中两边满足，则它的周长是_______． 【答案】（1）26 （2） （3）17 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，整式的加减运算． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合完全平方式的非负性得出，即可求解； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再结合等腰三角形的定义、三角形三边的关系求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴ ∴， ∴当时，有最小值26； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， 若为腰，为底时，，此时三角形不存在，故舍去； 若为底，为腰时，，此时三角形存在， ∴等腰三角形的周长为． 23. 【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 【答案】（1）9； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $