江苏省淮安市2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷

2024-2025学年江苏省淮安市九年级（上）期末数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）已知∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 3．（3分）抛物线y＝﹣（x+2）2+3的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（2，﹣3） 4．（3分）已知△ABC∽△A'B'C，如果∠A＝55°，∠B＝100°，则∠C′的度数是（　　） A．25° B．30° C．55° D．100° 5．（3分）若2x＝5y，则下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）将抛物线y＝x2的图象向上平移3个单位后，所得抛物线的表达式是（　　） A．y＝（x﹣3）2 B．y＝（x+3）2+6 C．y＝x2+3 D．y＝x2﹣3 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则下列说法正确的个数是（　　） ①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）已知：，则＝　 　． 10．（3分）若△ABC与△DEF的相似比为2：3，且两个三角形的周长之和为45，则较大三角形的周长为　 　． 11．（3分）已知二次函数y＝x2+x+m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围为 　 　． 12．（3分）如图，点A（3，t）在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是 　 　． 13．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高2m，测得AB＝3m，BC＝6m．则建筑物CD的高为 　 　m． 14．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，，则BC的长为　 　． 15．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣4，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥kx+m的解集是 　 　． 16．（3分）如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），点D是抛物线y＝﹣x2+6x在x轴上方一动点，则△BCD面积的最大值为 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，共102分.解答时需写出必要的文字说明、过程或步骤） 17．（10分）（1）计算：； （2）解方程：（x﹣2）2＝3（x﹣2）． 18．（8分）已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x． 19．（8分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，使∠ABD＝∠C． （1）求证：△ABD∽△ACB； （2）若AB＝6，AD＝4，求AC的长． 20．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m． （1）求证：无论m取任何实数，该抛物线与x轴都有两个公共点； （2）若m＝1，抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左边），与y轴的交点为C，求△ABC的面积． 21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）利用直尺（不带刻度）和圆规作出AB的垂直平分线MN，交CB于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接AD，若AC＝6，BC＝8，求tan∠CAD的值． 22．（10分）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝53°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 23．（12分）如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，⊙O经过B、D两点，交BC于点E． （1）试说明：AC是⊙O的切线； （2）若BC＝6，AC＝8，求⊙O的半径． 24．（12分）某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是出售价x（元/件）的一次函数，其出售价、销售量的对应值如下表： 出售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 （1）直接写出y与x的函数关系式：　 　； （2）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？ （3）设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 25．（12分）【问题背景】 如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】 该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”，若∠A：∠B：∠C＝4：3：2，则∠D＝ 　 　． 【观察猜想】 （2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形ABCD是“对补四边形”，若对角线AC平分∠DAB，CD和CB的数量关系是：　 　； 猜想2：如图3，四边形ABCD是“对补四边形”，若AB＝AD，连接CA，则CA平分∠　 　． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 【解决问题】 （3）某乡村准备开发一个红色旅游景区，如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝120°，∠D＝60°，AB+BC＝10，且2≤BC≤5，求旅游景区的最大面积． 26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于，B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）a＝ 　 　，b＝ 　 　； （2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当m≤x1≤m+2，时，均有y1≤y2，求实数m的取值范围； （3）抛物线上一点D（1，﹣5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标． 2024-2025学年江苏省淮安市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A A C C D B 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【解答】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换． 2．（3分）已知∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据特殊角的三角函数值即可解答． 【解答】解：∵∠A是锐角，sinA＝， ∴∠A＝60°． 故选：C． 【点评】熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 3．（3分）抛物线y＝﹣（x+2）2+3的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（2，﹣3） 【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标． 【解答】解：抛物线y＝﹣（x+2）2+3的顶点坐标为（﹣2，3）． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力． 4．（3分）已知△ABC∽△A'B'C，如果∠A＝55°，∠B＝100°，则∠C′的度数是（　　） A．25° B．30° C．55° D．100° 【分析】由三角形内角和定理求出∠C＝25°，由相似三角形的性质推出∠C′＝∠C＝25°． 【解答】解：∵∠A＝55°，∠B＝100°， ∴∠C＝180°﹣55°﹣100°＝25°， ∵ABC∽△A'B'C， ∴∠C′＝∠C＝25°． 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的对应角相等． 5．（3分）若2x＝5y，则下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵＝， ∴5x＝2y， 故A不符合题意； B、∵＝， ∴5x＝2y， 故B不符合题意； C、∵＝， ∴5x+5y＝7x， ∴5y＝2x， 故C符合题意； D、∵＝， ∴5x﹣5y＝3y， ∴5x＝8y， 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．（3分）将抛物线y＝x2的图象向上平移3个单位后，所得抛物线的表达式是（　　） A．y＝（x﹣3）2 B．y＝（x+3）2+6 C．y＝x2+3 D．y＝x2﹣3 【分析】根据二次函数图象的平移法则解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝x2的图象向上平移3个单位后，所得抛物线的表达式是y＝x2+3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的平移法则是关键． 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用勾股定理求出BC＝4，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC＝＝＝4， ∴tanA＝＝， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 8．（3分）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则下列说法正确的个数是（　　） ①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据所给二次函数图象，得出抛物线的对称轴为直线x＝1，再结合抛物线的对称性及增减性对所给说法依次进行判断即可． 【解答】解：由所给函数图象可知， 因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）， 所以抛物线的对称轴为直线x＝． 又因为抛物线开口向下， 所以当x＝1时，函数取得最大值为a+b+c． 故①正确． 因为抛物线经过点（﹣1，0）， 所以a﹣b+c＝0． 故②错误． 因为抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， 所以b2﹣4ac＞0． 故③错误． 当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方，即y＞0， 所以当y＞0时，﹣1＜x＜3． 故④正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值及抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）已知：，则＝　　． 【分析】利用设k法进行计算即可解答． 【解答】解：∵， ∴设a＝2k，b＝5k， ∴＝ ＝ ＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 10．（3分）若△ABC与△DEF的相似比为2：3，且两个三角形的周长之和为45，则较大三角形的周长为　27　． 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可． 【解答】解：设△DEF的周长是3x，则△ABC的周长是2x， 则3x+2x＝45， 解得x＝9， 那么较大三角形的周长是3x＝27， 故答案为：27． 【点评】本题考查了相似三角形性质，结合相似三角形周长的比等于相似比是解题关键． 11．（3分）已知二次函数y＝x2+x+m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围为 　m＞　． 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝12﹣4m＜0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+x+m的图象与x轴没有公共点， ∴关于x的一元二次方程x2+x+m＝0没有实数解， ∴Δ＝12﹣4m＜0， 解得m＞， 即m的取值范围为m＞． 故答案为：m＞． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 12．（3分）如图，点A（3，t）在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是 　4　． 【分析】过点A作x轴的垂线，垂足为B，根据题意可得OB＝3，则tanα＝，代入计算即可得出答案． 【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为B，如图， OB＝3， ∵tanα＝， ∴， ∴t＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，根据题意构造直角三角形进行求解是解决本题的关键． 13．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高2m，测得AB＝3m，BC＝6m．则建筑物CD的高为 　6　m． 【分析】根据题意可得：EB⊥AC，DC⊥AC，从而可得∠ABE＝∠ACD＝90°，然后证明A字模型△ABE∽△ACD，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：EB⊥AC，DC⊥AC， ∴∠ABE＝∠ACD＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACD， ∴＝， ∴＝， 解得：CD＝6， ∴建筑物CD的高为6m， 故答案为：6． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，，则BC的长为　6　． 【分析】根据正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中， sinA＝． ∵AB＝6，sinA＝， ∴， ∴BC＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 15．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣4，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥kx+m的解集是 　﹣4≤x≤1　． 【分析】根据图象求出抛物线在直线上方的部分对应的x的范围即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣4，y1），B（1，y2）， 由图象可知，当﹣4≤x≤1时，抛物线不在直线y＝kx+m的下方， ∴不等式ax2+c≥kx+m的解集是﹣4≤x≤1， 故答案为：﹣4≤x≤1． 【点评】本题主要考查函数与不等式之间的关键，要牢记函数值较大的图象在函数值较小的图象的上方． 16．（3分）如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），点D是抛物线y＝﹣x2+6x在x轴上方一动点，则△BCD面积的最大值为 　15　． 【分析】设点D（x，﹣x2+6x），△BCD的面积＝×BC×（yD﹣yC），即可求解． 【解答】解：菱形顶点C的坐标为（4，3）， 则OC＝5，则BC＝OC＝5， 设点D（x，﹣x2+6x）， △BCD的面积＝×BC×（yD﹣yC）＝×5×（﹣x2+6x﹣3）＝﹣（x﹣3）2+15， ∵﹣＜0，故△BCD面积有最大值为15， 故答案为：15． 【点评】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到菱形的性质，通过点C的坐标确定菱形的边长，再利用三角形面积公式，即可求解． 三、解答题（本大题共10小题，共102分.解答时需写出必要的文字说明、过程或步骤） 17．（10分）（1）计算：； （2）解方程：（x﹣2）2＝3（x﹣2）． 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可； （2）根据因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1） ＝1﹣9+2× ＝1﹣9+1 ＝﹣7； （2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）， （x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0． （x﹣2）（x﹣5）＝0， ∴x1＝2，x2＝5． 【点评】本题考查了实数的运算、解一元二次方程，熟练掌握运算知识点是关键． 18．（8分）已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x． 【分析】（1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可； （2）根据比例中项的定义列式求解即可． 【解答】解：（1）设＝＝＝k， 则a＝3k，b＝2k，c＝6k， 所以，3k+2×2k+6k＝26， 解得k＝2， 所以，a＝3×2＝6， b＝2×2＝4， c＝6×2＝12； （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴x2＝ab＝6×4＝24， ∴线段x＝2． 【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． 19．（8分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，使∠ABD＝∠C． （1）求证：△ABD∽△ACB； （2）若AB＝6，AD＝4，求AC的长． 【分析】（1）由∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABD∽△ACB； （2）由相似三角形的性质得＝，而AB＝6，AD＝4，则AC＝＝9． 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB． （2）解：∵△ABD∽△ACB， ∴＝， ∵AB＝6，AD＝4， ∴AC＝＝＝9， ∴AC的长是9． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明△ABD∽△ACB是解题的关键． 20．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m． （1）求证：无论m取任何实数，该抛物线与x轴都有两个公共点； （2）若m＝1，抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左边），与y轴的交点为C，求△ABC的面积． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先解方程x2﹣4x+3＝0得到点A、B的坐标，再求自变量为0所对应的函数值得到C点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【解答】（1）证明：∵Δ＝4（m﹣1）2﹣4（m2+2m） ＝4m2﹣8m+4﹣4m2﹣8m ＝4＞0， ∴无论m取任何实数，该抛物线与x轴都有两个公共点； （2）解：当m＝1时，抛物线系数为y＝x2﹣4x+3， 当y＝0时，x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴A（1，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3， ∴C（0，3）， ∴△ABC的面积＝×（3﹣1）×3＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）利用直尺（不带刻度）和圆规作出AB的垂直平分线MN，交CB于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接AD，若AC＝6，BC＝8，求tan∠CAD的值． 【分析】（1）根据“作线段的垂直平分线的基本作法”作图； （2）先根据勾股定理求出CD，再根据三角函数的定义求解． 【解答】解：（1）如图所示：MN即为所求； （2）设CD＝x，则BD＝8﹣x， ∵AB的垂直平分线是MN， ∴AD＝BD＝8﹣x， ∵∠C＝90°， ∴AC2+CD2＝AD2， 即62+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝， ∴tan∠CAD＝＝÷6＝． 【点评】本题考查了基本作图，掌握线段的中垂线的画法和性质及勾股定理是解题的关键． 22．（10分）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝53°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【分析】易得∠C＝90°，那么利用37°的余弦值可得AB之间的距离． 【解答】解：∵∠A＝37°，∠B＝53°， 又∵∠ACB+∠A+∠B＝180°， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ACB 中， ∵∠BAC＝37°，AC＝80米， ∴（米）． 答：A、B两点之间的距离约为100米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．用到的知识点点为：cosA＝． 23．（12分）如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，⊙O经过B、D两点，交BC于点E． （1）试说明：AC是⊙O的切线； （2）若BC＝6，AC＝8，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得出∠ODB＝∠CBD，进而OD∥BC，又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，得到OD⊥AC，根据切线的判定方法即可得出结论； （2）根据勾股定理求出AB，再根据相似三角形的判定和性质列方程求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， 又∵BD是∠ABC的平分线，即∠ABD＝∠CBD， ∴∠ODB＝∠CBD， ∴OD∥BC， ∵∠ACB＝90°，即AC⊥BC， ∴OD⊥AC， ∵OD是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝10， 设半径为x，即OD＝OB＝x，则AO＝10﹣x， ∵OD∥BC， ∴△AOD∽△ABC， ∴＝， 即＝， 解得x＝， 即半径为． 【点评】本题考查切线的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键． 24．（12分）某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是出售价x（元/件）的一次函数，其出售价、销售量的对应值如下表： 出售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 （1）直接写出y与x的函数关系式：　y＝﹣2x+200　； （2）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？ （3）设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，即可解答； （2）根据总利润＝单个利润×总数量进行计算，即可解答； （3）根据总利润＝单个利润×总数量进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）设y＝kx+b， 把（55，90）（65，70）代入y＝kx+b中得： ， 解得：， ∴y＝﹣2x+200， 故答案为：y＝﹣2x+200； （2）由题意得：（x﹣50）y＝800， （x﹣50）（﹣2x+200）＝800， 解得：x1＝60，x2＝90， ∴该天的售价为60元/件或90元/件； （3）由题意得：W＝（x﹣50）y ＝（x﹣50）（﹣2x+200） ＝﹣2x2+300x﹣10000 ＝﹣2（x﹣75）2+1250， ∵a＝﹣2＜0， ∴当x＝75时，W最大， ∴当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大． 【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 25．（12分）【问题背景】 如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】 该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”，若∠A：∠B：∠C＝4：3：2，则∠D＝ 　90°　． 【观察猜想】 （2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形ABCD是“对补四边形”，若对角线AC平分∠DAB，CD和CB的数量关系是：　CD＝CB　； 猜想2：如图3，四边形ABCD是“对补四边形”，若AB＝AD，连接CA，则CA平分∠　DCB　． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 【解决问题】 （3）某乡村准备开发一个红色旅游景区，如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝120°，∠D＝60°，AB+BC＝10，且2≤BC≤5，求旅游景区的最大面积． 【分析】（1）设∠A＝4x，∠B＝3x，∠C＝2x，根据“对补四边形”的性质即可求得答案； （2）猜想1：CD＝CB；过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，可证得△CDE≌△CBF（AAS），可得CD＝CB； 猜想2：∠DCB；过点A作AE⊥BC，垂足为E，作AF⊥CD，垂足为F．可证得△ABE≌△ADF（AAS），得出AF＝AE，BE＝DF，再运用角平分线判定即可证得结论； （3）连接AC，将△ABC绕点A旋转，使AB与AD重合，得△ADE，过点A作AN⊥CD于点N，设BC＝x，且2≤x≤5，则AB＝AD＝10﹣x，DM＝x，∠ADM＝∠B＝120°，AM＝AC，利用解直角三角形可得：DN＝5﹣x，AN＝（10﹣x），CN＝5+x，CM＝2CN＝10+x，进而可得S△ACM＝CM•AN＝×（10+x）×（10﹣x）＝﹣x2+25，运用二次函数的性质即可求得答案． 【解答】【初步认识】 （1）解：∵∠A：∠B：∠C＝4：3：2， ∴设∠A＝4x，∠B＝3x，∠C＝2x， ∵四边形ABCD是“对补四边形”， ∴∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°， ∴4x+2x＝180°， 解得：x＝30°， ∴∠A＝4x＝120°，∠B＝3x＝90°，∠C＝2x＝60°， ∴∠D＝180°﹣∠B＝90°， 故答案为：90°． 【观察猜想】解：猜想1：四边形ABCD是“对补四边形”，若对角线AC平分∠DAB，则CD＝CB， 故答案为：CD＝CB； 猜想2：四边形ABCD是“对补四边形”，若AB＝AD，连接CA，则CA平分∠DCB， 故答案为：DCB； 【推理验证】 （2）选择猜想1：CD＝CB； 证明：如图，过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F， ∵对角线AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AB， ∴CE＝CF，∠CED＝∠CFB＝90°， ∵四边形ABCD是“对补四边形”， ∴∠CBF+∠ADC＝180°， ∵∠CDE+∠ADC＝180°， ∴∠CDE＝∠CBF， 在△CDE和△CBF中， ， ∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴CD＝CB； 选择猜想2：DCB； 证明：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，作AF⊥CD，垂足为F， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADF， 又∵AB＝AD，∠AEB＝∠AFD＝90°， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AF＝AE，BE＝DF， ∵AE⊥BC，AF⊥CF，AE＝AF， ∴AC平分∠DCB； 【解决问题】 （3）解：如图，连接AC，将△ABC绕点A旋转，使AB与AD重合，得△ADM，过点A作AN⊥CD于点N， 设BC＝x，且2≤x≤5，则AB＝AD＝10﹣x，DM＝x，∠ADM＝∠B＝120°，AM＝AC， ∵∠ADC＝60°， ∴∠ADM+∠ADC＝120°+60°＝180°， ∴C、D、M三点共线， ∵AM＝AC，AN⊥CM， ∴CN＝MN， 在Rt△ADN中，∠ADN＝60°， ∴DN＝AD•cos∠ADN＝AD＝5﹣x，AN＝AD•sin∠ADN＝（10﹣x）， ∴CN＝MN＝DN+DM＝5﹣x+x＝5+x，CM＝2CN＝10+x， ∴S△ACM＝CM•AN＝×（10+x）×（10﹣x）＝﹣x2+25， ∵2≤x≤5， ∴当x＝2时，S△ACM有最大值，最大值为24， ∴旅游景区的最大面积是24． 【点评】本题是四边形综合题，考查了角平分线的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，二次函数的性质，新定义等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于，B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）a＝ 　　，b＝ 　﹣　； （2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当m≤x1≤m+2，时，均有y1≤y2，求实数m的取值范围； （3）抛物线上一点D（1，﹣5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标． 【分析】（1）把，B（4，0）两点代入y＝ax2+bx﹣4，解方程组即可得到结论； （2）由（1）知，函数的对称轴为：x＝，则x＝和x＝﹣2关于对称轴对称，故其函数值相等，即可求解； （3）确定△BOC、△CDG均为等腰直角三角形，即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于，B（4，0）两点， ∴， 解得， 故答案为：，﹣； （2）由（1）知抛物线y＝x2+﹣x﹣4，函数的对称轴为：x＝， 则x＝和x＝﹣2关于对称轴对称，故其函数值相等， 又m≤x3≤m+2，x2≥时，均有y1≤y2， 结合函数图象可得， 解得﹣2≤m≤； （3）如图，连接BC、CM，过点D作DG⊥OE于点G， 而点B、C、D的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣4）、（1，﹣5）， 则OB＝OC＝4，CG＝GD＝1，BC＝4，CD＝， 故△BOC、△CDG均为等腰直角三角形， ∴∠BCD＝180°﹣∠OCB﹣∠GCD＝90°， 在Rt△BCD中，tan∠BDC＝＝＝4， ∠BDC＝∠MCE， 则tan∠MCE＝4， 将点B、D坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得： 直线BD的表达式为：y＝x﹣，故点E（0，﹣）， 设点M（n，n﹣）， 过点M作MF⊥CE于点F， 则MF＝n，CF＝OF﹣OC＝﹣， tan∠MCE＝＝＝4， 解得：n＝， 故点M（，﹣）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形性质等，其中（3），确定△BOC、△CDG均为等腰直角三角形是本题解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$