精品解析：四川省南充市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

秘密★启封并使用完毕前[考试时间：2025年1月15日下午3：35-5：35] 南充市2024-2025学年度上期普通高中二年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 5 2. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某城市一年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 不大于30 概率 其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染．该城市一年空气质量达到优或良的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 5 6. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 已知两定点，若某直线上存在点，使，则该直线称为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（ ） ①；②；③；④ A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ①④ 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 已知两个向量，，且，则 B. 三棱锥中，点为平面上一点，且，则 C. 已知，，则在上投影向量坐标为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 10. 已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 弦的中点的轨迹方程为 C. 若为坐标原点，则的最大值为 D. 直线的交点的轨迹方程为（去掉点） 11. 已知动点是双曲线上的点，点是的左，右焦点，是双曲线的左，右顶点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为8 B. 点到两渐近线的距离之积为 C. 点在双曲线的右支时，的最大值为 D. 设的面积为，则为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为______． 13. 如图，正方体的棱长为2，分别为与的中点，则点到平面的距离为_______． 14. 已知椭圆左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为_______；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为了迎接学校百年华诞，学生参加某项志愿者面试活动，为此学生会在报名的学生中组织了志愿者面试活动，面试有两道题，两道题都答对者才能成为志愿者．假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生报名并进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是、、，答对第二题的概率分别是、、． （1）求甲、乙两位同学都通过面试成为志愿者的概率； （2）求甲、乙、丙三人中至少有一人通过面试成为志愿者概率． 16. 已知数列的前项和公式为． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列中的最小项． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为2的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． （1）求证：//平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知在直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等． （1）求动点轨迹方程； （2）过点的直线与交于两点，连接延长与分别交于两点， ①求面积的最小值； ②求证：直线恒过定点． 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于两点，的中点坐标为，求直线的方程； （3）如图所示，过点的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点．判断点是否为线段的中点，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 秘密★启封并使用完毕前[考试时间：2025年1月15日下午3：35-5：35] 南充市2024-2025学年度上期普通高中二年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据则，可得，再求解模长即可. 【详解】因为则，即，解得. 故，即. 故选：C 2. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B 3. 某城市一年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 不大于30 概率 其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染．该城市一年空气质量达到优或良的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可. 【详解】由表知空气质量为优的概率是， 由互斥事件的和的概率公式知,空气质量为良的概率为， 所以该城市空气质量达到良或优的概率， 故选：D 4. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据周期可得答案. 【详解】因为， 所以，， ，，， 可得数列是以为周期的周期数列， 则. 故选：A. 5. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意判定双曲线的焦点所在的轴，由此设出双曲线的标准方程，然后根据渐近线方程得到双曲线基本量的关系，进而得到离心率. 【详解】因为， 所以点在两渐近线的右侧， 双曲线的中心在原点，焦点在轴上， 故可设双曲线的标准方程为， 渐近线方程为， 结合已知渐近线方程为得， 故双曲线的离心率. 故选：A. 6. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理结合题意求解即可 【详解】因为空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点， 所以 ， 故选：B 7. 若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形可得，再利用基本不等式可得答案. 【详解】圆化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径为， 可得圆心到直线的距离为， 若直线被圆截得的弦长为2， 则，整理得，即， 又，所以 ， 当且仅当即时等号成立， 则最小值为2. 故选：C. 8. 已知两定点，若某直线上存在点，使，则该直线称为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”是（ ） ①；②；③；④ A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义得出点的轨迹是以为焦点的椭圆，然后将“型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题. 【详解】由题意可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆方程为， 且，则， 所以椭圆方程为， 对于①，把代入并整理得， ，因为， 所以方程有一个解， 该直线称为“型直线”，故①正确； 对于②，把代入得，，无解， 所以直线不是“型直线”，故②错误； 对于③，把代入并整理得， ，因为， 所以方程无解， 所以直线不是“型直线”，故③错误； 对于④，把代入并整理得， ，因为， 所以方程有两个解， 该直线称为“型直线”，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：将“型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 已知两个向量，，且，则 B. 三棱锥中，点为平面上的一点，且，则 C. 已知，，则在上的投影向量坐标为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间向量平行求参数，可判断A的真假；根据向量共面求参数，可判断B的真假；根据投影向量的概念判断C的真假；根据空间向量基底的概念判断D的真假. 【详解】对A选项：由，所以存在，使得，即， 所以，所以，故A正确； 对B选项：因为点为平面上的一点，所以存在，使得, 即. 因为，所以，故B正确； 对C选项：在上的投影向量为：，故C正确； 对D选项：因为，所以，，三个向量共面， 所以不是空间向量的一组基底，故D错误. 故选：ABC 10. 已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 弦的中点的轨迹方程为 C. 若为坐标原点，则的最大值为 D. 直线的交点的轨迹方程为（去掉点） 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出直线所过定点判断A；利用圆的弦长公式求出弦心距判断B；利用圆的性质求出最大值判断C；确定两直线垂直并求出轨迹方程判断D. 【详解】对于A，直线恒过定点，A错误； 对于B，圆的圆心，半径，则， 因此弦的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，直线过定点，而直线不包含直线， 直线不包含直线，由，得，因此点的轨迹是以 点与为直径端点的圆（不含点），方程为（去掉点），D正确. 故选：BCD 11. 已知动点是双曲线上的点，点是的左，右焦点，是双曲线的左，右顶点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为8 B. 点到两渐近线的距离之积为 C. 点在双曲线的右支时，的最大值为 D. 设的面积为，则为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，结合勾股定理即可求解，由面积公式即可求解A；根据点到直线的距离公式即可求解B；根据双曲线定义得，即可消元，结合对勾函数的性质求解C；根据和差角的正切公式，结合斜率公式以及面积公式即可求解D. 【详解】对A：因为双曲线，故可得， 当时，， 故，则,故A正确； 对B：设点，则，又双曲线渐近线为， 故到两渐近线的距离之积为.故B错误； 对C：因为，故可得， 故, 因为，故在单调递增， 则当时，取最大值，故C错误； 对D：不妨设点在轴上方，则， 则， 又，， 故，又， 故；当点在轴下方时，同理可得. 故D正确 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：， 又，，结合双曲线方程化简. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出的值，进一步得出答案. 【详解】因为抛物线， 所以，∴ 所以的准线方程为. 故答案为： 13. 如图，正方体的棱长为2，分别为与的中点，则点到平面的距离为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式进行计算. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故平面的法向量为， 又，则点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为_______；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由的周长为，确定即可求解第一空，对于第二空，设、、，直线方程为，结合椭圆方程联立得到：，通过，即可求解； 【详解】由已知，， 易知的周长为，所以，又， 解得， 椭圆的方程为． 设、、， 当直线不为轴时的方程为， , 联立椭圆方程得：． ，， 又， 所以 当且仅当， 即时（定值） 即在x轴上存在点使得为定值， 此时的坐标为或， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 所以定点坐标为. 【点睛】关键点点睛：为定值，需满足. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为了迎接学校百年华诞，学生参加某项志愿者面试活动，为此学生会在报名的学生中组织了志愿者面试活动，面试有两道题，两道题都答对者才能成为志愿者．假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生报名并进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是、、，答对第二题的概率分别是、、． （1）求甲、乙两位同学都通过面试成为志愿者的概率； （2）求甲、乙、丙三人中至少有一人通过面试成为志愿者的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设甲、乙通过面试为分别事件、，求出、的值，利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）设丙通过面试为事件，求出的值，利用对立事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 设甲、乙通过面试分别事件、， 则，， 易知事件、相互独立，所以，． 因此，甲、乙两位同学都通过面试成为志愿者的概率为. 【小问2详解】 设丙通过面试为事件，则． 则甲、乙、丙三人中无人通过面试为事件， 易知事件、、两两相互独立， 得， 则甲、乙、丙三人中至少有一人通过面试的概率为． 16. 已知数列的前项和公式为． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列中的最小项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据时求解即可； （2）由题意，进而可得的增减性，进而可得最小项. 【小问1详解】 当时， ， 当时，，满足上式， 所以 【小问2详解】 当时，，即，所以； 当时，，即； 当时，，即，所以； 所以列中最小的项为． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为2的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． （1）求证：//平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接与相交于，连接．再证明即可； （2）根据面面垂直的性质可得平面，再设点是线段的中点，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，再根据面面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 如图，连接与相交于，连接． 因为点满足，所以， 因为， 所以，又平面平面， 所以//平面. 【小问2详解】 因为为等边三角形，点是线段的中点， 所以． 又平面平面，平面平面平面， 所以平面. 设点是线段的中点，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则． 由于平面．则平面的法向量可设为． 设平面的法向量为． 则，即， 令，则， 则平面的一个法向量为， 则． 由图可得二面角为锐角， 则二面角的余弦值为． 18. 已知在直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等． （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与交于两点，连接延长与分别交于两点， ①求面积的最小值； ②求证：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）设点，用坐标表示出题设条件化简即可得； （2）①设直线，不妨令在第一象限，则在第四象限，在第一象限，由韦达定理求得，代入面积后可得最小值； ②设，设直线为，由韦达定理求得，同理得，结合（1）可得，然后设直线为，两样利用韦达定理得，从而得出关系，确定出直线所过定点． 【小问1详解】 设点，则由题意可知：， 化简得， 综上可知动点的轨迹方程为：； 【小问2详解】 ①根据（1），由题意可设直线， 不妨令A在第一象限，则在第四象限，在第一象限，如图所示， 联立抛物线方程， 显然， 所以 当且仅当时，的最小值 ②设，设直线为， 与抛物线联立有， 显然，同理可得． 所以，又 所以 设直线为 联立得 得． 所以直线为 直线恒过定点 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于两点，的中点坐标为，求直线的方程； （3）如图所示，过点的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点．判断点是否为线段的中点，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点为线段的中点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）设，再根据点差法求解即可； （3）方法一：设过点的直线的方程为，联立椭圆方程，得出韦达定理，再证明即可； 方法二：化简可得只需证明：，再设直线的方程为，联立椭圆的方程，构造可得，进而根据韦达定理证明. 【小问1详解】 由题可知，得． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，已知RS的中点坐标为，则 所以，所以， 直线的方程为：，即 所以直线的方程为： 【小问3详解】 方法一：点为线段的中点，理由如下：由题知直线的斜率存在，如下图所示： 设过点的直线的方程为，即． 联立，得． 整理得． 由，得． 设， 则 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 要证点为线段的中点，只需证明，即 因为 ， 即， 所以点为线段的中点 方法二：要证点为线段的中点，只需证明：． 只需证明： 只需证明：． 设直线的方程为，即． 由得． 整理得 由得 所以 显然，原命题为真． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$