四川省南充市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

秘密★启封并使用完毕前[考试时间：2025年1月15日下午3：35-5：35] 南充市2024-2025学年度上期普通高中二年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 5 2. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某城市一年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 不大于30 概率 其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染．该城市一年空气质量达到优或良的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 5 6. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 已知两定点，若某直线上存在点，使，则该直线称为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（ ） ①；②；③；④ A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ①④ 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 已知两个向量，，且，则 B. 三棱锥中，点为平面上的一点，且，则 C. 已知，，则在上的投影向量坐标为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 10. 已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 弦的中点的轨迹方程为 C. 若为坐标原点，则的最大值为 D. 直线的交点的轨迹方程为（去掉点） 11. 已知动点是双曲线上的点，点是的左，右焦点，是双曲线的左，右顶点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为8 B. 点到两渐近线的距离之积为 C. 点在双曲线的右支时，的最大值为 D. 设的面积为，则为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为______． 13. 如图，正方体的棱长为2，分别为与的中点，则点到平面的距离为_______． 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为_______；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为了迎接学校百年华诞，学生参加某项志愿者面试活动，为此学生会在报名的学生中组织了志愿者面试活动，面试有两道题，两道题都答对者才能成为志愿者．假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生报名并进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是、、，答对第二题的概率分别是、、． （1）求甲、乙两位同学都通过面试成为志愿者的概率； （2）求甲、乙、丙三人中至少有一人通过面试成为志愿者的概率． 16. 已知数列的前项和公式为． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列中的最小项． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为2的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． （1）求证：//平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知在直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等． （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与交于两点，连接延长与分别交于两点， ①求面积的最小值； ②求证：直线恒过定点． 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于两点，的中点坐标为，求直线的方程； （3）如图所示，过点的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点．判断点是否为线段的中点，说明理由． 秘密★启封并使用完毕前[考试时间：2025年1月15日下午3：35-5：35] 南充市2024-2025学年度上期普通高中二年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 如图，连接与相交于，连接． 因为点满足，所以， 因为， 所以，又平面平面， 所以//平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）① ；②设，设直线为， 与抛物线联立有， 显然，同理可得． 所以，又 所以 设直线为 联立得 得． 所以直线为 直线恒过定点 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）方法一：点为线段的中点，理由如下：由题知直线的斜率存在，如下图所示： 设过点的直线的方程为，即． 联立，得． 整理得． 由，得． 设， 则 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 要证点为线段的中点，只需证明，即 因为 ， 即， 所以点为线段的中点 方法二：要证点为线段的中点，只需证明：． 只需证明： 只需证明：． 设直线的方程为，即． 由得． 整理得 由得 所以 显然，原命题为真． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $