精品解析： 辽宁省抚顺市新宾县2024-2025学年九年级上学期教学质量检测数学试卷（二）

2024~2025学年度第一学期教学质量检测（二） 九年级数学试卷 ※考生注意： 1．考试时间120分钟，试卷满分120分 2．请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在第小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C D. 2. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其外角和是 B. 打开电视，正在播放跳水比赛 C. 经过有交通信号的路口时遇见绿灯 D. 若，则 4. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 0.4 D. 0.6 5. 关于方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ） A. 先向左平移2个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移2个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移2个单位 8. 如图，，切于点A，B，直线切于点E，交于F，交于点G，若的周长是，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转，得到，交于点F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 10. 如下表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值，下列说法：①函数图象的开口向下；②函数图象与x轴有两个交点；③函数的最大值是5；④当时，y的值随x值的增大而减小．正确的说法的个数为（ ） x … −1 1 2 4 … y … −7 3 5 3 … A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是________． 13. 如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则________． 14. 如图，在正方形中，，P为对角线上一动点，F为射线上一点，若，则的面积的最大值为________． 15. 为等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连，．当，，时，________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 18. 某校利用“阳光体育大课间”对学校足球队全员进行定点射门训练，每人踢五次，训练结束后，把结果制成了如图所示不完整的拆线统计图和扇形统计图． （1）求此次定点射门训练中进球5次人数； （2）在此次定点射门训练中进球5次的队员中有1名女生．学校想从进球5次的队员中选2人参加比赛，请通过列表或画树形图的方法求参加比赛的队员是一男一女的概率． 19. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 20. 某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． （1）求抛物线的解析式； （2）王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； （3）若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 21. 如图，是的内接三角形，，点D在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号） 22. 【问题背景】 在中，，，点D，E分别在线段，上，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，求F落在线段上． 【问题初控】 （1）如图1，当，点E与点C重合时，求证：； 【问题提升】 （2）如图2，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明； 【问题拓展】 （3）如图3，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，（2）的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 23. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点． （1）若点是一次函数第四象限图象的完美点，求k的值； （2）求二次函数图象的完美点； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【定义应用】 （4）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于m的完美点，请直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期教学质量检测（二） 九年级数学试卷 ※考生注意： 1．考试时间120分钟，试卷满分120分 2．请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在第小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B．方程整理后是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； C．是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； D．不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其外角和是 B. 打开电视，正在播放跳水比赛 C. 经过有交通信号的路口时遇见绿灯 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，根据必然事件的定义逐项判断即可求解，掌握三角形的外角和定理、不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、任意画一个三角形，其外角和是，是必然事件，该选项符合题意； 、打开电视，正在播放跳水比赛，是随机事件，该选项不合题意； 、经过有交通信号的路口时遇见绿灯，是随机事件，该选项不合题意； 、若，当时，则；当，则；当，则， ∴该选项事件是随机事件，不合题意； 故选：． 4. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在阴影部分的概率为， 设阴影部分面积为S，则， 即：， ∴黑色阴影的面积为12， 故选：B． 5. 关于方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】整理成一般形式后再计算方程的根的判别式，进而可作判断． 【详解】解：原方程即为：， 此方程的判别式△=， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题型，熟知一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的关系是解题关键． 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：A． 7. 抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ） A. 先向左平移2个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移2个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可． 【详解】解：把抛物线，先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到：，即； 故选A． 8. 如图，，切于点A，B，直线切于点E，交于F，交于点G，若的周长是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是切线长定理，根据切线长定理得，，；结合的周长即可求得． 【详解】解：根据切线长定理可得：，，； ∵ ， ∴， 故选：B． 9. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转，得到，交于点F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质和三角形外角的性质，由旋转得，求得，根据三角形外角的性质可得结论． 详解】解：∵， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如下表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值，下列说法：①函数图象的开口向下；②函数图象与x轴有两个交点；③函数的最大值是5；④当时，y的值随x值的增大而减小．正确的说法的个数为（ ） x … −1 1 2 4 … y … −7 3 5 3 … A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将代入函数解析式得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴ ∴函数图象的开口向下，故①正确； 令，则， ∵， ∴函数图象与x轴有交点，故②正确； ∵， ∴函数的最大值为，故③错误； ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故④正确； 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：由题意，得点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比、面积比、体积比等．直接利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可； 【详解】解：设每个小正方形格子的长度都是1， ∴ 黑色区域的面积，游戏板的面积， 所以击中黑色区域的概率为， 故答案为：． 13. 如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理可求的度数，然后根据直径所对的圆周角是直角得出求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，，P为对角线上一动点，F为射线上一点，若，则的面积的最大值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值等知识点，作于M，根据正方形的性质易得，设，则，根据等腰三角形的性质即可得出，由三角形面积公式得出，根据二次函数的性质即可求得结果，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】如图，过点P作于M， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为16． 故答案为：16． 15. 为等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连，．当，，时，________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质以及勾股定理等知识，分在的左侧和右侧两种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图，当在的左侧时， ∵是等边三角形， ∴； 由旋转得 ∵是等边三角形， 延长交于点， ∵ ∴ ∵ ∴， 由勾股定理得，， 而， ∴点与点F重合， ∴ ∴； 如图，当在的右侧时， 同理得是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∴, 综上，的长为2或， 故答案为：2或． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）将方程的常数移到等号的右边，方程两边加上一次项一半的平方，配方后直接开平方可得方程的解； （2）方程运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）﹣2，0． 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】解：（1）如图所示，分别确定平移后的对应点， 得到A1B1C1即为所求； （2）如图所示，分别确定旋转后的对应点， 得到A2B2C2即为所求； （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 18. 某校利用“阳光体育大课间”对学校足球队全员进行定点射门训练，每人踢五次，训练结束后，把结果制成了如图所示不完整的拆线统计图和扇形统计图． （1）求此次定点射门训练中进球5次的人数； （2）在此次定点射门训练中进球5次的队员中有1名女生．学校想从进球5次的队员中选2人参加比赛，请通过列表或画树形图的方法求参加比赛的队员是一男一女的概率． 【答案】（1）3人 （2） 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，扇形统计图，用列表法求等可能事件的概率，能从统计图中获取有用信息，掌握用列表法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． （1）由进球4次的人数除以其所占百分比求出总人数，将总人数减去其他进球数的人数即可求得进球5次的人数； （2）利用列表法解答即可． 【小问1详解】 解：进球4次的人数：（人） 进球5次的人数：（人） 答：进球5次的人数有3人． 【小问2详解】 解：进球5次的人数有3人，其中女队员1人，所以男队员有2人． 列表如下： 男 男 女 男 （男，男） （女，男） 男 （男，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） 由表可知，选2人参加比赛的所有结果一共有6种，并且每种结果出现的可能性相等，其中参加比赛的队员是一男一女的的结果有：（女，男），（女，男），（男，女），（男，女）共4种． ∴P（参加比赛的队员是一男一女的）． 19. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【答案】（1）20%；（2）4147．2元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可． （2）5月份盈利=4月份盈利×增长率． 试题解析：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得： 2400（1+x）2=3456， 解得：x1=20%，x2=-2．2（舍去）． （2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为： 3456×（1+20%）=4147．2（元）． 答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%． （2）5月份盈利为4147．2元． 考点：一元二次方程的应用． 20. 某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． （1）求抛物线的解析式； （2）王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； （3）若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 【答案】（1） （2）能，见解析 （3）乒乓球不能弹出箱子，见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； （3）依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为，利用待定系数法求得值，并求得当时，的值，即可判断． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为，即 【小问2详解】 解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴王同学抛出的乒乓球能投入箱子； 【小问3详解】 解：乒乓球不能弹出箱子．理由如下： 依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为， ∵抛物线的图象经过点， ∴， 解得（舍去），， ∴弹出后抛物线解析式为， 当时，， ∴乒乓球不能弹出箱子． 21. 如图，是内接三角形，，点D在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定与性质以及弓形面积的计算，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，证明即可； （2）过点O作，垂足为点E，根据求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：过点O作，垂足为点E ∴，， ∵在中，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 答：图中阴影部分的面积为 22. 【问题背景】 在中，，，点D，E分别在线段，上，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，求F落在线段上． 【问题初控】 （1）如图1，当，点E与点C重合时，求证：； 【问题提升】 （2）如图2，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明； 【问题拓展】 （3）如图3，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，（2）的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）成立，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质，平行线的性质等，正确作出啨线是解答本题的关键． （1）连接，分别证明和即可得出结论； （2）过点D作，交于点M，连接，证明，，得出，得出，证明，，即可得出结论； （3）如图，在线段上取点M，使，取中点N，连接，，解题思路同（2） 【详解】（1）证明：如图，连接 答图1 当，点E与点C重合时，， 由旋转可得， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2） 证明：如图，过点D作，交于点M，连接 ∴ ∵当，点E在线段上时，， ∴， ∴ ∴，， 由旋转可得， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴ （3）成立 证明：如图，在线段上取点M，使，取中点N，连接， ∴， ∴ ∴ ∴ 由旋转可得， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∵是中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 23. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点． （1）若点是一次函数第四象限图象的完美点，求k的值； （2）求二次函数图象的完美点； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【定义应用】 （4）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于m的完美点，请直接写出m的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或 【解析】 【分析】（1）把点代入一次函数解析式，分别求出到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判定即可求解； （2）联立方程组，或即可求解； （3）根据完美点可得二次函数与有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可； （4）根据题意，分类讨论：第一种情况，设这个完美点是二次函数与的交点；第二种情况，设这个完美点是二次函数与直线的交点；联立方程组即可求解． 【详解】解：（1）∵点是一次函数第四象限图象的完美点， ∴，解得： ∴点的坐标为 代入，得， （2）∵完美点是函数图象上到两坐标轴的距离相等的点，即完美点在直线或直线上， ∴，或 解得，或， ∴二次函数图象的完美点分别是：，，，； 解：∵二次函数的图象上有且只有一个完美点 在直线上， ∴ ∴有且只有一个完美点 ∴ 把点代入，得 解得：， ∴ （4）∵二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于m的完美点，即完美点在直线或直线上 ∴或 ①当时， 整理得，有实数根 ∴ ∴ ∵ ∴ 当时， 将代入 解得， 当时， 将代入 解得，（舍去）， ∵ ∴或 ②当时， 整理得，有实数根 ∴ ∴ ∵ ∴ 当时， 将代入 解得， 当时， 将代入 解得，（舍去）， ∵ ∴ 综上所述，或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，二元一次方程组的计算，理解题目中完美点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$