精品解析：内蒙古鄂尔多斯市康巴什区第一中学等校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期第二次适应性训练数学学科试题 （时间90分钟，分值100分．请同学们把答案写到答题卡上，训练结束时只交答题卡） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形中，线段是中边上的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，若点P(a－3，1)与点Q(2，b＋1)关于x轴对称，则a＋b的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若，，则等于（　　） A. B. C. D. 5. 一个等腰三角形的其中两条边是7厘米和3厘米，它的周长是（ ）厘米． A. 18 B. 13或17 C. 16 D. 17 6. 如果一个多边形内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且，已知的周长是，则（ ） A. 19 B. 16 C. 15 D. 18 9. 如图，等边三角形边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则（ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 10. 如图，在中，，的平分线交于．过点作于，交于．过点作于．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①③⑤ 二、填空题：（6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为______． 12. 计算=___________. 13. 计算_____． 14. 如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为________． 15. 如图，在中，，，，是边上的中线，若，分别是和上的动点，则的最小值是_____． 16. 如图，在中，，，在上取一点，延长到，使得，连接．如果继续在上取一点，延长到，使得，连接，，依此进行下去，那么以为顶点锐角的度数等于_____度． 三．解答题：（6小题，共52分） 17. 计算题 （1）； （2）简便计算：； （3）化简求值，其中，． 18. 如图，在边长为的正方形网格中，将的三个顶点，，分别关于轴对称得到，，，的对应点分别为，，． （1）请在图中画出，并直接写出的坐标：_____； （2）在轴上有一点，使得面积为，求点的坐标． 19. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为，的小长方形若干个． （1）用两个这样的小长方形和两个正方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式； （2）用四个相同的小长方形和一个小正方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式，，之间的等量关系式； （3）根据上面的解题思路与方法，解决下面问题： ①若，，求； ②若，，求． 20. 如图，在中，，平分，． （1）求的度数； （2）若，垂足为，交于点，求的度数． 21. 如图，中，，于点，，平分，点是边的中点，连接，交于点． （1）求证：； （2）连接，判断的形状，并说明理由． 22. 已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接． （1）发现问题：如图①，当点在边上时， ①请写出和之间的数量关系_____，位置关系_____； ②线段、、之间的关系是_____； （2）尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期第二次适应性训练数学学科试题 （时间90分钟，分值100分．请同学们把答案写到答题卡上，训练结束时只交答题卡） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘方即可判断选项A、选项D，根据合并同类项即可判断选项B，根据同底数幂的乘法即可判断选项C，即可得． 【详解】解：A、，选项说法错误，不符合题意； B、，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方． 2. 下列四个图形中，线段是中边上高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形的高的概念判断即可，解题的关键是正确理解三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段． 【详解】解：、线段不是中边上的高，原选项不符合题意； 、线段不是中边上的高，原选项不符合题意； 、线段不是中边上的高，原选项不符合题意； 、线段是中边上的高，原选项符合题意； 故选：． 3. 在平面直角坐标系中，若点P(a－3，1)与点Q(2，b＋1)关于x轴对称，则a＋b的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用关于轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ，， 则． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆关于轴对称点的符号关系是解题关键． 4. 若，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法逆运算进行解题即可，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 5. 一个等腰三角形的其中两条边是7厘米和3厘米，它的周长是（ ）厘米． A. 18 B. 13或17 C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边数量关系，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据等腰三角形的定义，分类讨论：当腰长为7厘米时；当腰长为3厘米时；结合三角形三边数量关系得到等腰三角形的三边，由此即可求解． 【详解】解：一个等腰三角形的其中两条边是7厘米和3厘米， 当腰长为7厘米时，即等腰三角形三边长分别是：7厘米，7厘米，3厘米， ∵，符合题意， ∴周长为（厘米）； 当腰长为3厘米时，即等腰三角形三边长分别是：3厘米，3厘米，7厘米， ∵，不符合题意， ∴该种情况舍去； ∴这个等腰三角形的周长为17厘米， 故选：D ． 6. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得： 解得． 故选C． 7. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可． 【详解】A、，不能判断，选项不符合题意； B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意； C、，不能判断，选项不符合题意； D、，不能判断，选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键． 8. 如图，中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且，已知的周长是，则（ ） A. 19 B. 16 C. 15 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形等角对等边的性质是解题关键． 根据平行线的性质和角平分线的定义，得出，，再根据等角对等边的性质，得到，，进而得到，即可证明结论． 【详解】解：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ， 的周长等于， 故选：D． 9. 如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则（ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，交于，先证是等边三角形，再证，得，设，设，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交于， ∵是等边三角形， ， ， ，， ∴是等边三角形， ， ∵点为中点， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 如图，在中，，的平分线交于．过点作于，交于．过点作于．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由∠C=90°，CG⊥AB，得∠ACE=∠B，再由外角的性质，得∠CED=∠CDE，得CE=CD；根据角平分线的性质，得CD=DF，则S△AEC：S△AEG=AC:AG，得CE=DF，从而得出答案． 【详解】∵∠ACB=90°，CG⊥AB， ∴∠ACE+∠BCG=90°，∠B+∠BCG=90°， ∴∠ACE=∠B， ∵∠CED=∠CAE+∠ACE，∠CDE=∠B+∠DAB，AE平分∠CAB， ∴∠CED=∠CDE，①正确； ∴CE=CD， 又AE平分∠CAB，∠ACB=90°，DF⊥AB于F， ∴CD=DF， ∵E到AC与AG的距离相等， ∴S△AEC：S△AEG=AC:AG，②正确； ∵CE=CD，CD=DF， ∴CE=DF，⑤正确； 无法证明∠ADF=2∠FDB以及， 故选：B． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，直角三角形的性质和三角形的面积计算，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质以及应用是解题的关键． 二、填空题：（6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分角为底角和顶角两种情况求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当的角为底角时， 此时顶角为； 当的角为顶角时， 此时顶角为； 即该三角形的顶角为或， 故答案：或． 12. 计算=___________. 【答案】 【解析】 【详解】解：（）2016×（﹣）2017=. 故答案为: ﹣. 13. 计算_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，单项式乘以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可求解． 详解】解： 故答案为：． 14. 如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为________． 【答案】10 【解析】 【分析】由题意，根据等角对等边得到AE=AF=3，再结合AC=AB=7，即可求出答案． 【详解】解：∵于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴AE=AF=3， ∵， ∴； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，对角对等边，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到AE=AF=3． 15. 如图，在中，，，，是边上的中线，若，分别是和上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段的性质，线段垂直平分线的性质．由等腰三角形中三线合一，可得垂直平分，进而可得，，由垂线段最短可得时，取最小值，即取最小值． 【详解】解：中，，是边上的中线， ， 垂直平分， ， ， 由垂线段最短可得时，取最小值，即取最小值， 如图，过点B作于点Q，交于点P，此时取最小值， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，在上取一点，延长到，使得，连接．如果继续在上取一点，延长到，使得，连接，，依此进行下去，那么以为顶点的锐角的度数等于_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，进而找出规律是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第n个等腰三角形的锐角的度数． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，是的外角， ∴； 同理可得，，， ∴以为顶点的锐角的度数为． 故答案为：． 三．解答题：（6小题，共52分） 17. 计算题 （1）； （2）简便计算：； （3）化简求值，其中，． 【答案】（1）； （2）； （3），． 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式，多项式乘以多项式等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据多项式乘多项式和完全平方公式展开，然后合并同类项即可； （）先变形，然后根据平方差公式计算即可； （）根据平方差公式和多项式除以单项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 当，时 原式 ． 18. 如图，在边长为的正方形网格中，将的三个顶点，，分别关于轴对称得到，，，的对应点分别为，，． （1）请在图中画出，并直接写出的坐标：_____； （2）在轴上有一点，使得的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）图见解析，； （2）或． 【解析】 【分析】（）利用关于轴对称的点的坐标特征得到对应点，，，并依次连接即可； （）设点的坐标为，利用三角形面积公式得，然后解出方程即可； 本题考查了轴对称变换，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【小问1详解】 解：利用关于轴对称的点的坐标特征得到对应点，，，依次连接如图， ∴即为所求，且； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 则， 解得或， ∴点的坐标为或． 19. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为，的小长方形若干个． （1）用两个这样小长方形和两个正方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式； （2）用四个相同的小长方形和一个小正方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式，，之间的等量关系式； （3）根据上面的解题思路与方法，解决下面问题： ①若，，求； ②若，，求． 【答案】（1） （2） （3）①33，②40 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式，掌握完全平方公式的定义是关键． （1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得； （2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （3）①利用代入求值即可， ②利用代入求值即可． 【小问1详解】 解：图1中，由图可知，， 由题意得，， 即； 【小问2详解】 解：图2中，由图可知， 由题图可知，， 即， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①，， ， ②，， ． 20. 如图，在中，，平分，． （1）求的度数； （2）若，垂足为，交于点，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理． （1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论； （2）根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【小问1详解】 解：， 设， 平分， ， ∵， ， 在中，， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 21. 如图，中，，于点，，平分，点是边的中点，连接，交于点． （1）求证：； （2）连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）为等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）根据，平分，可得，，进而可得，证明，根据全等三角形的性质可得，根据，即可得证； （2）由点是边的中点，得到垂直平分，即，由，得，结合，即可判断出的形状． 【小问1详解】 证明： ，平分， ， ， ， 在和中， ， ； ， 又， ； 【小问2详解】 为等腰直角三角形． 点是边的中点， 垂直平分， ， ， ，， ， 又， 为等腰直角三角形； 22. 已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接． （1）发现问题：如图①，当点在边上时， ①请写出和之间的数量关系_____，位置关系_____； ②线段、、之间关系是_____； （2）尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长． 【答案】（1）①；② （2）不成立，存在的数量关系为，理由见解析 （3）6 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等． （1）①根据条件，判定，即可得出和之间的关系； ②由①得，根据全等三角形的性质，即可得到； （2）根据已知条件，判定，得出，再根据，即可得到； （3）根据条件判定，得出，进而得到，最后根据，即可求得线段的长． 【小问1详解】 解：①如图1，∵， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ， ， 即； 故答案为：； ②由①可得，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2，， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，当点在边的延长线上时， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$