精品解析：】陕西省西安市西咸新区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年陕西省西安市西咸新区九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是比例的性质，解题关键是熟练运用比例的性质． 先由推出，再代入即可得解． 【详解】解：， ， ． 故选：． 2. 若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得：，解此一元一次方程即可． 此题主要考查了方程解的定义．将方程的根代入方程即可得到关于的一元一次方程，解此一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意得： 故选A． 3. 如图，小宇用刻度尺测量了一个直角三角形斜边的长度．已知，点D为边的中点，且点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行计算，即可解答． 【详解】解：点A，B对应的刻度分别为2，8， ， ，点为边的中点， ， 故选：B． 4. 将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程－配方法，解题的关键是掌握配方法解方程的步骤； 利用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 5. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键．由矩形的性质得，则，由于点得，而，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，对角线与相交于点， ， ， 于点， ， ∵， ， 故选：A． 6. 西安作为历史悠久的文化古城，拥有众多举世闻名的旅游景点．小雅一家准备周末前往西安游玩，感受西安悠久的历史文化，他们想在“兵马俑”、“大雁塔”、“大唐芙蓉园”、“陕西历史博物馆”这四个景点中任意选择两个游玩，则选到“大雁塔”和“陕西历史博物馆”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及选到“大雁塔”和“陕西历史博物馆”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“兵马俑”、“大雁塔”、“大唐芙蓉园”、“陕西历史博物馆”这四个景点分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中选到“大雁塔”和“陕西历史博物馆”的结果有：，，共2种， 选到“大雁塔”和“陕西历史博物馆”的概率为． 故选：C． 7. 某“研究”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的生长规律：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出x个小分支．现在1个主干上有“枝干、小分支”数量之和为56，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由“植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支”，可得出共长出个小分支，结合1个主干上有“枝干、小分支”数量之和为56，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支， 共长出个小分支． 根据题意得：． 故选：B． 8. 在三角形纸片ABC中，，，，沿图中虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定， 根据相似三角形的判定定理逐项判断即可. 【详解】解：A、根据“平行线”法可以判定两个三角形相似，本选项不符合题意； B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； C、由题意，得，是公共角，根据两边成比例且夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意； D、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意． 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 如图，五边形\五边形，它们的相似比为3：4．已知，则_____cm． 【答案】6.4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质， 根据相似多边形对应边的比等于相似比解答即可． 【详解】解：五边形五边形，它们的相似比为，， ， 解得． 故答案为：6.4． 10. 如图，一张长，宽的长方形上画有一个不规则的图案，小宇想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：向长方形内随机投掷小石子（假设小石子落在长方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则图案上的频率稳定在0.45附近，由此可估计不规则图案的面积是_____． 【答案】5.4 【解析】 【分析】已知落在不规则区域的频率稳定在0.45附近，根据频率估计概率的知识可得：小石子落在不规则区域的概率约为0.45；联系概率的计算方法可知：不规则部分的面积=长方形的面积×小石子落在不规则区域的概率，结合长方形的面积公式即可得到阴影部分的面积． 本题考查了利用频率和概率．解题的关键是了解大量重复实验中频率可以估计概率，难度不大 【详解】解：由频率估计概率的知识可得：小石子落在不规则区域的概率约为0.45， 所以阴影部分的面积约为． 故答案为：5.4． 11. 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 【答案】．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 12. “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点大致是的黄金分割点，若的长约为，则的长约为_____ ． 【答案】7.416 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键 【详解】解：点C大致是的黄金分割点，的长约为， ， ， 的长约为， 故答案为：7.416． 13. 如图，在菱形中，，，E为的中点，点F在边上，连接，将沿翻折，使得点D落在点处，连接，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，证明是等边三角形，求解，结合，再进一步解答即可． 【详解】解：连接、， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵E为的中点， ∴，， ∴， ∴， 由翻折得， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了运用公式法解一元二次方程，先求出，再代入公式进行化简，即可作答． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 15. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b （1）①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） （2）试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 【答案】（1）①0.71，0.701； ②0.7 （2）盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个 【解析】 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率， 对于（1）①，利用概率公式求出，的值即可； ②根据表格中的数据即可得出结论； 对于（2），根据②中的概率计算即可得出结论． 【小问1详解】 解：①由题意得， 故答案为：0.71，0.701； ②由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在0.7附近， 当很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 故答案为：0.7； 【小问2详解】 解：由（1）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 盒子中黄色乒乓球的个数（个）． 答：盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个． 16. 随着科技发展，骑共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计，某市2024年7月份累计租车6000人次，租车量逐月增加，9月份租车量达8640人次，求平均每个月的增长率． 【答案】平均每个月的增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得9月份租车量为人次，进而可得方程求解；掌握增长率的典型模型的解法是解题的关键． 【详解】解：设平均每个月的增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：平均每个月的增长率为． 17. 如图，在中，请用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图所示： 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定：两个角相等的三角形相似可知需要以点为顶点画出，进而可以求得点． 【详解】解：作，连接并延长交于点． 本题考查了相似三角形的判定，做一个角等于已知角的尺规作图法，熟记相似三角形的判定是解题的关键． 18. 已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了正方形、矩形的判定，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质．先根据已知条件得出，再由，利用三角形内角和定理得出，从而根据等腰三角形的判定可知，，证明出四边形是矩形，进而求得四边形是正方形． 【详解】略 19. 如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【小问1详解】 ∵， ， ，，， ， 解得：； 【小问2详解】 ∵， ，即， 解得：． 20. 如图，小雅的爷爷用总长56m的篱笆一面靠墙（墙长42m）围一个矩形苗圃，在与墙平行的一边设置两个宽1m的小门方便进出．设与墙垂直的一边长为m，若围成的矩形苗圃的面积是，求与墙垂直的一边长的值． 【答案】20或9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据围成的矩形苗圃的面积是，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 答：的值为20或9． 21. 如图，在数学实践活动课上，小辰准备测量一座电视塔的高度．他站在该电视塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与电视塔的影子的顶端重合（点处），此时他与该塔的距离．已知电视塔、小辰均与地面BE垂直，且小辰的身高，他的影长．求该电视塔的高度． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，首先得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 22. 小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（为物理现象，主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽． （1）小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是______； （2）这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】（1） （2） 解：公平，理由如下： 将冰雪融化、镜花水月、光合作用、冰雪消融、葡萄酿酒分别用表示，列表如下： 小辉 小宇 A B C D A B C D 由表可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽取的两张卡片上都是化学变化的有4种，他们抽取的两张卡片上都是物理变化的有4种． （抽取的两张卡片正面图案均为化学变化）， （抽取的两张卡片上都是物理变化）， 故这个规则对他们双方公平是公平的． 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 略 23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可知，再解不等式可得出结论； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将原式整理为，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 故的取值范围为； 【小问2详解】 解：方程的两个根分别为， ，， ， ， 解得， 故的值为． 24. 如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）24 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积． 25. 如图，在四边形中，点E为边的中点，连接，．已知，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握三角形相似的判定及性质． （1）根据题意证明出，得到，然后代数求解即可； （2）由得到，然后等量代换得到，然后结合即可证明． 【小问1详解】 解：， ，， ， ， ， ，点为边的中点， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 26. 如图1，在正方形中，是边上的一点，延长至点，使得，连接，延长交于点． （1）求证：； （2）若是的中点，求的度数； （3）将图1中的正方形变成菱形，G为的中点，其他条件不变，如图2所示．若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， ， 又， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明； （2）连接，则，根据全等三角形的性质导角得到，可知为的垂直平分线，那么，故； （3）取的中点，连接，由三角形的中位线得到，，继而，那么，设，则，结合菱形的性质表示，则，再解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，则， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ； 【小问3详解】 解：取的中点，连接， 为的中点， ，， ， ， 设，则， 菱形中，， ， ， ， 解得或（舍去）； 经检验是原方程的解， ． 【点睛】本题考查了正方形、菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年陕西省西安市西咸新区九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 3. 如图，小宇用刻度尺测量了一个直角三角形斜边的长度．已知，点D为边的中点，且点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 5. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 6. 西安作为历史悠久的文化古城，拥有众多举世闻名的旅游景点．小雅一家准备周末前往西安游玩，感受西安悠久的历史文化，他们想在“兵马俑”、“大雁塔”、“大唐芙蓉园”、“陕西历史博物馆”这四个景点中任意选择两个游玩，则选到“大雁塔”和“陕西历史博物馆”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 某“研究”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的生长规律：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出x个小分支．现在1个主干上有“枝干、小分支”数量之和为56，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在三角形纸片ABC中，，，，沿图中虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 如图，五边形\五边形，它们的相似比为3：4．已知，则_____cm． 10. 如图，一张长，宽的长方形上画有一个不规则的图案，小宇想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：向长方形内随机投掷小石子（假设小石子落在长方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则图案上的频率稳定在0.45附近，由此可估计不规则图案的面积是_____． 11. 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 12. “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点大致是的黄金分割点，若的长约为，则的长约为_____ ． 13. 如图，在菱形中，，，E为的中点，点F在边上，连接，将沿翻折，使得点D落在点处，连接，则的最小值是________． 三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 用公式法解方程：． 15. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b （1）①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） （2）试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 16. 随着科技发展，骑共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计，某市2024年7月份累计租车6000人次，租车量逐月增加，9月份租车量达8640人次，求平均每个月的增长率． 17. 如图，在中，请用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 19. 如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 20. 如图，小雅的爷爷用总长56m的篱笆一面靠墙（墙长42m）围一个矩形苗圃，在与墙平行的一边设置两个宽1m的小门方便进出．设与墙垂直的一边长为m，若围成的矩形苗圃的面积是，求与墙垂直的一边长的值． 21. 如图，在数学实践活动课上，小辰准备测量一座电视塔的高度．他站在该电视塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与电视塔的影子的顶端重合（点处），此时他与该塔的距离．已知电视塔、小辰均与地面BE垂直，且小辰的身高，他的影长．求该电视塔的高度． 22. 小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（为物理现象，主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽． （1）小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是______； （2）这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，是这个方程的两个根，且，求的值． 24. 如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 25. 如图，在四边形中，点E为边的中点，连接，．已知，，． （1）求的长； （2）求证：． 26. 如图1，在正方形中，是边上的一点，延长至点，使得，连接，延长交于点． （1）求证：； （2）若是的中点，求的度数； （3）将图1中的正方形变成菱形，G为的中点，其他条件不变，如图2所示．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $