精品解析：广东省汕尾市陆河县八校联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

陆河县2024−2025学年度第一学期九年级教学质量监测 第一次数学联考试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 已知 和关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质及求代数式的值，根据关于原点对称的两个点横纵坐标互为相反数得出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵和关于原点对称， ∴，， ∴， 故选：B． 3. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 4. 如图，是的直径，弦于点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理可得出的长度，在中，利用勾股定理可得出的长度． 【详解】解：∵弦于点E，cm， ∴cm． 在中，cm， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，勾股定理是求线段长的常用方法． 5. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，求得函数图象的开口方向和对称轴，根据各点离对称轴的距离求解即可． 【详解】解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 6. 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（　　） A. 58° B. 60° C. 64° D. 68° 【答案】A 【解析】 【分析】根据，根据等边对等角得到根据是直径，得到根据直角三角形的性质即可求得的度数. 【详解】 均为半径， ， 是直径， 在中， 故选A. 【点睛】本题考查圆周角的性质及等腰三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键. 7. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据题意可得，然后可得，然后将变形后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角到的位置，这时点恰好落在边的中点，则旋转角的度数为( )． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是直角三角形的性质、旋转的性质和等边三角形的判定及性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据旋转的性质可得，，即可证出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出结论． 【详解】解：∵点恰好落在边中点上，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴ ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 9. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（ ）m． A. 6 B. 45 C. 35 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值． 【详解】解：根据二次函数解析式 可知，汽车的刹车时间为， 当时， 故选：B 10. 二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④（为任意实数） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到，则可对①进行判断；利用，得到，则，于是可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则可对③进行判断；由于时，y有最小值，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴， ∴，所以①正确； ∵时，， ∴， ∴， ∴，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， 即，所以③正确； ∵时，y有最小值， ∴（m为任意实数）， ∴，所以④错误； 综上，①②③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与y轴的交点、二次函数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题关键． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分． 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 已知是方程的两个根，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：是方程的两个根，则的值为， 故答案为：． 13. 如图，在中，已知，则___． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理；根据圆周角定理，同一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：. ． 14. 如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用二次函数的图象求不等式的解集，根据二次函数与不等式的关系解答即可，正确掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，图象与x轴一交点为, ∴图象与x轴的另一交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，即， 故答案为：． 15. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，连接AC，交y轴于点D，根据二次函数图象的性质和正方形的性质得，进而得到，将A的坐标代入求解即可． 【详解】解：连接AC，交y轴于点D， 当时，则，即， 四边形是正方形， ，， 点， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3个小题，第16题8分，第17题、18题各7分共22分． 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用解一元二次方程的方法； （1）根据因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：． ∴ 解得： 【小问2详解】 解： ∴ ∴ 解得： 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的，并写出的坐标． 【答案】（1）如图所示，即为所求；的坐标为 （2）如图所示，即为所求；的坐标为 【解析】 【分析】（1）通过找点，描点，连线画出，再写出的坐标即可； （2）通过找点，描点，连线画出，再写出的坐标即可； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查旋转作图，掌握点的坐标变化规律，找准图形对应点，正确作图，是解题关键． 18. 如图，为的直径，点在外，的平分线与交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 与相切， 理由：连接，则， ， 平分， ， ， ， ， ， 又是的半径 与相切． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，含度角的直角三角形的性质，勾股定理； （1）连接，证出，利用平行线的判定证出，再根据切线的判定即可得出； （2）根据得出，进而可求得，再利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是的直径，且， ， ， ， 又在中， ∴ 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分． 19. 关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的一个根为2，求另一个根． 【答案】（1）k＜；（2）方程的另一根为﹣4． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=4-4（2k-4）＞0，解不等式求出k的取值范围； （2）根据方程有一个根是2，再设方程的另一根为x2，利用根与系数的关系列式计算即可． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝4﹣4（2k﹣4）＞0， 解得：k＜； （2）若方程的一个根为2，设方程的另一根为x2， 则2+x2＝﹣2，解得x2＝﹣4． 所以方程的另一根为﹣4． 【点睛】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根；（4）x1+x2=-，x1•x2=． 20. 如图所示，，，，绕点B逆时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）连接，求的长． 【答案】（1） 证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 21. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 （2）该零部件的实际售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该零件的售价元/个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【小问1详解】 解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得， 解得或（舍去）， 故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个， 由题意得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， 故该零部件的实际售价应定为元． 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题12分，第23题14分共26分． 22. 学科实践 【任务驱动】：2024年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于4月19日至21日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以8金1银总奖牌9枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情，数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查． 【研究步骤】：如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与y轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点开始做翻腾、打开动作．正常情况下，运动员在距水面高度米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． 【问题解决】：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务． （1）直接写出运动员在空中最高处点的坐标及入水处点的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与轴的水平距离为米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由． （）在该运动员入水处点正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点在之间（包括，两点），请求出的取值范围． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为； （2）运动员此次跳水不会失误，理由： ∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米， ∴运动员调整好入水姿势的点的横坐标为3， ∴当时，， ∴调整点的坐标为， ∴运动员此时距离水面高度为（米） ∵， ∴运动员此次跳水不会失误； （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数解析式，写成顶点的坐标，进而当时，，求出点B的坐标； （2）当时，，得到调整点的坐标为，求出运动员此时距离水面高度为(米).即可得到答案； （3）由人水处点得到，①当抛物线经过点M时，，②，解得；当抛物线经过点N时，，③由①③联立方程组，解得.即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴点A的坐标为， 当时，， 解得或(舍去)， 点B的坐标为 （2）略 （3）∵，， ∵. ∵人水处点， ∴，① 当抛物线经过点M时，，② 由①②联立方程组，解得； 当抛物线经过点N时，，③ 由①③联立方程组，解得 ∵出水处点D在之间(包括M，N两点)， ∴ 23. 如图所示，已知抛物线经过点、、，与直线交于B，D两点． （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； （3）点Q是线段上异于B，D的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G，当为直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）， （2）面积的最大值为， （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，然后将与抛物线的解析式联立方程组并求解即可； （2）过点作轴，交直线与点，设，则，则，然后依据，列出的面积与的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可； （3）设直线与轴相交于点，则，设点坐标为，点点坐标为，先证明为等腰直角三角形，然后根据和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴的交点坐标是、， 设该抛物线解析式为， 将点代入函数解析式代入，得， 解得， 该抛物线的解析式为：， 联立方程组：， 解得或， ∵， ∴点的坐标是； 【小问2详解】 解：如图所示： 过点作轴，交于点， 设，则， ， ， 当时，的面积的最大，最大值为，此时； 【小问3详解】 解：设直线与轴相交于点，则， ∵过点Q作轴于点F，交抛物线于点G， ∴设点坐标为，则点点坐标为， ， ， ， 轴， ， 若为直角三角形，则是等腰直角三角形， ①当时，过点作于， ，，， ，解得：（舍去）或， ； ②当，则， ， 解得（舍去）或， ； 综上所述，当为直角三角形时，点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陆河县2024−2025学年度第一学期九年级教学质量监测 第一次数学联考试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 已知 和关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 3. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，弦于点，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（　　） A. 58° B. 60° C. 64° D. 68° 7. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角到的位置，这时点恰好落在边的中点，则旋转角的度数为( )． A. B. C. D. 9. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（ ）m． A. 6 B. 45 C. 35 D. 25 10. 二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④（为任意实数） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分． 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 已知是方程的两个根，则的值为___． 13. 如图，在中，已知，则___． 14. 如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是_______． 15. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为________． 三、解答题（一）：本大题共3个小题，第16题8分，第17题、18题各7分共22分． 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的，并写出的坐标． 18. 如图，为的直径，点在外，的平分线与交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分． 19. 关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的一个根为2，求另一个根． 20. 如图所示，，，，绕点B逆时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）连接，求的长． 21. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题12分，第23题14分共26分． 22. 学科实践 【任务驱动】：2024年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于4月19日至21日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以8金1银总奖牌9枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情，数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查． 【研究步骤】：如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与y轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点开始做翻腾、打开动作．正常情况下，运动员在距水面高度米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． 【问题解决】：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务． （1）直接写出运动员在空中最高处点的坐标及入水处点的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与轴的水平距离为米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由． （）在该运动员入水处点正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点在之间（包括，两点），请求出的取值范围． 23. 如图所示，已知抛物线经过点、、，与直线交于B，D两点． （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； （3）点Q是线段上异于B，D的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G，当为直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $