精品解析：重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高二上学期期末数学试题

重庆市巴蜀中学教育集团高2026届高二（上）期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与直线关于x轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，即可确定所求的直线. 【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上. 故选：A 2. 在等差数列中，，则（ ） A B. 5 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】解：由等差数列性质得：， 故选：C． 3. 已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出准线方程，由题意建立等式，求得准线，从而得到焦点坐标. 【详解】由题已知点到抛物线：的准线的距离为5,则抛物线准线方程为，则焦点为， 故选：A． 4. 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】解：设圆的标准方程为， 由题意得， 解得， 故圆的方程为， 故选：B 5. 已知椭圆C的方程为，点P是椭圆上一点，点是椭圆左焦点，则下列选项正确的是（ ） A. 焦点在y轴上 B. 长轴长为2 C. 离心率 D. 最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程及其性质判断各项的正误. 【详解】由椭圆标准方程为，则， 所以焦点在x轴上，长轴长为，离心率为，且最大值为. 故选：D 6. 已知等比数列的前n项和为，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列性质，求解.， 【详解】解：由等比数列性质有，即，解得， 则， 故选：A． 7. 已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出双曲线焦点到渐近线的距离为，再结合的面积可求的值，即可求出双曲线的离心率. 【详解】如图： 由题有，由双曲线性质有，，所以. 所以，所以. 又双曲线方程，则，， 所以，则双曲线离心率. 故选：C 8. 已知函数图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题化为且图象有两个交点，利用导数研究的性质并画出函数图象草图，数形结合求参数范围. 【详解】由题，方程有两个实数根，即， 所以且图象有两个交点， 设，则，令，解得， 当在上单调递减， 当在上单调递增， 所以有极小值， 当时，且，当时，， 作出函数的大致图象， 故，解得. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为递增数列 C. 数列为等差数列 D. 当取最小值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A. 由递推求解判断；C.由，利用累加法求解判断；B.由，利用二次函数的单调性判断；D.由数列为递增数列，且判断. 【详解】解：由题意，，所以选项A对； ，由累加法有： ，， 显然满足上式，则， 所以，所以数列不是等差数列，所以选项C错误； 又，且在区间单调递增， 所以数列为递增数列，所以选项B对： 数列为递增数列，，所以取最小值时，，故选项D对. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若在处的瞬时变化率为3，则 B. 当时，函数在区间上的最小值为1 C. 若R上单调递增，则 D. 若有三个零点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由导数值求出值判断A；利用导数求出最小值判断B；利用导数，结合单调性求出范围判断C；利用零点的意义计算判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，，解得，A错误； 对于B，当时，， 当或时，，当时，， 函数在区间上单调递增，在上单调递减，， 函数在区间上最小值为，B正确； 对于C，在R上单调递增，则恒成立， ，解得，C错误； 对于D，，则， ，D正确. 故选：BD 11. 已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上运动，坐标原点为O．若最小值为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当点F为的重心时， C. 当点F为的垂心时，以AB为直径的圆与有公共点 D. 当A、B两点关于直线对称时，与面积相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由焦半径，得到判定；选项B，由重心坐标公式得到，，结合正切计算即可；选项C，根据垂心性质得到点A，B关于x轴对称，设，借助数量积为0,求出，再验证位置关系即可；选项D，运用点差法，结合点关于直线对称即可解题. 【详解】选项A中，由，所以，则，故选项A对； 选项B中，为重心时，由重心坐标公式有，所以，所以， ，所以，故选项B错； 选项C中，为垂心时，，则点A，B关于x轴对称，设，则，所以，又，所以，则， 则以AB为直径的圆圆心为，半径为，则以AB为直径的圆与相交，故选项C对； 选项D中，设AB中点，则，相减得到，即， 因为A、B两点关于对称，所以，故，代回，故，AB中点坐标为，直线AB的方程为，即，过点，为中点． 所以与面积相等，选项D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心到直线距离求圆上点到直线距离最大值即可. 【详解】由题意，圆心坐标且半径，圆心到直线的距离， 则直线与圆相交，显然点P到直线距离. 故答案为： 13. 已知数列的通项公式为，数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则_________． 【答案】50 【解析】 【分析】依题意求出的通项，通过分别列举找到两者的公共项，发现构成等差数列，利用等差数列的基本量运算即得. 【详解】由题意， 将两数列列举出来可得： 可得两数列的公共项依次为，构成公差为12的等差数列， 于是. 故答案为:50． 14. 已知椭圆左右焦点分别为，O为坐标原点．直线与椭圆相交于M，N两点，满足，则点M坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】运用椭圆定义，结合余弦定理求解即可. 【详解】由，则，则， 又，所以，则点N为下顶点． 由余弦定理， 所以 所以，则，所以椭圆方程为，则点， 又，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且数列是公差为1的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足为数列的前n项和，求． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的通项和前n项和的关系求解； （2）由，利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 解：由题知，则， 所以． 当， 又也符合，所以． 【小问2详解】 ， 所以， . 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若在区间上存在极值，且此极值小于，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先确定切点坐标，再根据导数的几何意义求切线斜率，依据点斜式可得切线方程. （2）求导，对的不同取值进行讨论，可得函数的单调区间.要注意：函数的定义域. （3）利用（2）的结论，可求问题（3）. 【小问1详解】 当时，，. 又，所以. 所以切点坐标为，切线斜率为1， 所以切线方程为即. 【小问2详解】 因为， 当时，恒成立，函数在区间单调递增． 当时，令，解得， 在区间，，函数单调递减， 在区间，，函数单调递增. 综上可知：当时，函数在区间单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，函数无极值， 当时，函数在取得极小值， 所以，解得，所以． 所以实数的取值范围为： 17. 在三棱柱中，四边形是菱形，是的中点，平面平面，． （1）证明：； （2）若，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）推导出， 利用面面垂直的性质可得出面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的正弦值． 【小问1详解】 在中，由，是的中点，所以， 又平面平面，平面平面，面， 所以面， 因为平面，故． 【小问2详解】 连接，在中，由，是的中点，所以， 又面，、平面，所以，，， 在直角三角形中，，， ， 在中，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 所以、、、， 设平面的一个法向量，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，， 则，取，则， 所以，， 所以，. 因此，二面角的正弦值为. 18. 已知椭圆，椭圆．椭圆的上顶点为点A，过原点的直线l与交于点M，N，直线AM，AN与分别交于P，Q两点（异于点A）．设直线AM，AN斜率分别为． （1）求的值； （2）求面积的最大值； （3）实数满足．试问是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）由题，设，应用斜率两点式及点在椭圆上整理化简，即可求值； （2）由且，即可求面积的最大值； （3）设直线AM为，则AN为，联立椭圆方程求横坐标，结合、、得到关于的表达式，进而求参数范围. 【小问1详解】 由题，由M，N关于原点对称， 设，不妨设点M在y轴右侧， 所以，则， 又，所以. 【小问2详解】 ，又， 所以，故三角形AMN面积最大值为. 【小问3详解】 由题意有， 设直线AM的方程为，则AN的方程为， 联立，有，得， 联立，有，得， 所以，同理可得， 所以， 令，则， 所以， 由，所以当时，取最大值，所以， 当时，取最小值. 【点睛】关键点点睛：第三问，注意有，设直线AM为，则AN为并联立椭圆方程求交点横坐标，进而得到关于的表达式为关键. 19. 已知双曲线的渐近线方程为，且过点． （1）求双曲线C的标准方程： （2）对，点都在双曲线C上，且，记． （i）证明数列是等比数列，并求通项公式； （ii）设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据渐近线设双曲线方程，代入即可求解， （2）根据点在曲线上，代入曲线方程，进而可得，即可利用等比数列的定义求解， （3）利用放缩法可得，进而可得，构造函数，求导得函数的单调性求解. 【小问1详解】 由题设双曲线方程为， 过点，所以，所以双曲线方程为，即， 【小问2详解】 （i）由题有，作差得：， ， 又， 所以， 所以，即， 由， 由， 所以数列是首项等比数列，则, （ii）, 所以 所以, 要证，只证， 只证， 令， 只证对恒成立． 设，则， 恒成立，所以在单调递增， 所以时，，所以不等式得证． 【点睛】方法点睛：递推关系式转化的常见形式 （1）转化为常数，则数列是等差数列． （2）转化为常数，则数列是等差数列． （3）转化为常数，则数列是等差数列． （4）转化为常数，则数列是等差数列． （5）转化为常数，则数列是等差数列． （6）转化为常数，则数列是等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市巴蜀中学教育集团高2026届高二（上）期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与直线关于x轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，则（ ） A. B. 5 C. D. 10 3. 已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆C方程为，点P是椭圆上一点，点是椭圆左焦点，则下列选项正确的是（ ） A. 焦点在y轴上 B. 长轴长为2 C. 离心率 D. 最大值为 6. 已知等比数列的前n项和为，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 7. 已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列递增数列 C. 数列为等差数列 D. 当取最小值时， 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若在处的瞬时变化率为3，则 B. 当时，函数在区间上的最小值为1 C. 若在R上单调递增，则 D. 若有三个零点，则 11. 已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上运动，坐标原点为O．若最小值为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当点F为的重心时， C. 当点F为垂心时，以AB为直径的圆与有公共点 D. 当A、B两点关于直线对称时，与面积相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离最大值为_________． 13. 已知数列的通项公式为，数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则_________． 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，O为坐标原点．直线与椭圆相交于M，N两点，满足，则点M坐标为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且数列是公差为1的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足为数列的前n项和，求． 16 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若在区间上存在极值，且此极值小于，求实数的取值范围． 17. 在三棱柱中，四边形是菱形，是的中点，平面平面，． （1）证明：； （2）若，，求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆，椭圆．椭圆的上顶点为点A，过原点的直线l与交于点M，N，直线AM，AN与分别交于P，Q两点（异于点A）．设直线AM，AN斜率分别为． （1）求的值； （2）求面积的最大值； （3）实数满足．试问是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 19. 已知双曲线渐近线方程为，且过点． （1）求双曲线C的标准方程： （2）对，点都在双曲线C上，且，记． （i）证明数列是等比数列，并求通项公式； （ii）设，数列的前n项和为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$