精品解析：辽宁省铁岭市调兵山市2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题

2024-2025学年度上学期随堂练习九年数学（三）北师大 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列各选项中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（ ） A. B. C. D. 4. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（ ） A. 2.9枚 B. 3枚 C. 7枚 D. 7.1枚 5. 对于反比例函数，下列描述正确的是（ ） A. 图象位于一、三象限 B. 图象不可能与坐标轴相交 C. y随x的增大而增大 D. 图象必经过点 6. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆1200人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1728人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 9. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则m的值为______． 12. 如图，，，那么 ______． 13. 如图1是电压为定值的蓄电池，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图2所示，如果以该蓄电池为电源的电器限制电流不超过，那么用电器可变电阻（单位：）应控制的范围是______． 14. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，为上一点，连接，若四边形的面积为20，纸条的宽为，，则的长是_________． 15. 如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为_______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标． 18. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张邮票是“立春”的概率是______．（直接写结果） （2）小明从中随机抽取两张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明抽取的邮票中有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母，，表示）． 19. 如图，在菱形中对角线交于点，过点作于点，将沿方向平移，使点落到点处，点落到点处． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 20. 如图，王海同学为了测量校园内一棵大树的高度，他走到了校园的围墙外（如图所示），然后他沿着过点F与墙垂直的直线从远处向围墙靠近至B处，使大树恰好被围墙挡住顶端C和树的顶端E时，三点在同一条直线上．若米，米， 米，王海身高1.6米．求大树的高度． 21. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以探究“购买、销售葡萄的方法”为主题，展开学习．某超市准备从A市场和B市场购买葡萄． A市场的优惠方式：葡萄的售价为18元/千克，无论购买多少千克均不打折． B市场的优惠方式：葡萄的售价为20元/千克，若一次购买5千克以上，超过5千克的部分打折销售． 在B市场购买葡萄的部分小票统计如下．（精确到1千克） 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 … 付款金额/元 20 40 60 80 100 118 136 154 … （1）若该超市在B市场一次购买5千克以上的葡萄，超过5千克的部分打几折？ （2）当超市需要购买20千克葡萄时，请通过计算说明，选择哪个市场比较划算？ （3）该超市决定从A市场购进葡萄，如果超市以28元/千克销售，平均每天可以售出100千克，为了尽快减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低1元，销售量会增加10千克．问该超市降价多少元时，每天的销售利润为840元？ 22. 【问题情境】 数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识． 【数学思考】 （1）希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图1，将等边三角形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，折痕分别交，于，两点．求证：； （2）善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图2，将正方形沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，折痕分别交，于，两点，设，交于点．若，求的长； 【拓展探究】 （3）智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图3，与都是等腰直角三角形，点在边上，，交于点．若，，请直接写出图中阴影部分的面积． 23. 综合与实践    如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值． 【拓展应用】 外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期随堂练习九年数学（三）北师大 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上往下看得到的视图，由此可得出答案． 【详解】解：该几何体的俯视图是： 故选：D． 2. 已知，下列各选项中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式运算．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 由题意知，当时，，，，进而可知A、C、D不一定正确，，可知B一定正确，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，，，A、C、D不一定正确，故不符合要求； ，B一定正确，故符合要求； 故选：B． 3. 已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解法可直接进行求解．本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法求解方程是解题的关键． 【详解】解：A、由方程解得，故不符合题意； B、由方程解得，故符合题意； C、由方程解得，故不符合题意； D、由方程解得，故不符合题意； 故选B． 4. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（ ） A. 2.9枚 B. 3枚 C. 7枚 D. 7.1枚 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型．先求出摸到白棋的频率为，即为概率，根据白棋个数=棋子的总数×摸到的白棋的概率，棋子的总数减去白棋的个数即为黑棋的个数． 【详解】解：∵不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子， ∴摸到白棋的频率为，即为概率， ∴盒子中黑色棋子为（枚）， ∴盒子中黑色棋子可能有（枚）， 故答案为：B． 5. 对于反比例函数，下列描述正确的是（ ） A. 图象位于一、三象限 B. 图象不可能与坐标轴相交 C. y随x的增大而增大 D. 图象必经过点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，∴反比例函数的图象在第二、四象限，故说法错误． B、∵反比例函数图象无限接近坐标轴，但不会相交，故说法正确； C、反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，故说法错误； D、当时，，故图象不经过点，故说法错误； 故选：B． 6. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆1200人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1728人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】进馆人次的月平均增长率为x， 依题意得：． 故选：B． 7. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．可证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得出，又根据即可得出答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解∵已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若 ∴，， ∴，， ∴， 解得， 故选：D． 9. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案． 【详解】解：函数的图像经过点， 选项B、选项D不符合题意； 由A、C选项可知：， 反比例函数的图像在第一、三象限， 故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 10. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．利用菱形的性质和等边三角形的判定可判断①；根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可判断②④；根据三角形的内角和定理可判断③，进而可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，，则， 故①②正确； ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， 故③④正确， 综上，正确的有4个， 故选：D． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则m的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入，即可求出m的值． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得． 12. 如图，，，那么 ______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 由，证明，则，所以，则，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 13. 如图1是电压为定值的蓄电池，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图2所示，如果以该蓄电池为电源的电器限制电流不超过，那么用电器可变电阻（单位：）应控制的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出是解题的关键．设电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系为，利用待定系数求出，再求出当，，最后根据反比例函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：设电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系为， 把点代入中得，， ∴， ∴， 当时，，解得， ∵， ∴电流I随电阻R的增大而减小， ∴限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是， 故答案为：． 14. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，为上一点，连接，若四边形的面积为20，纸条的宽为，，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，三角形的面积等知识，连接，过点A作于E，于F，过点P作于点G，证四边形是平行四边形．再证平行四边形是菱形，结合四边形的面积为20，得，然后利用三角形的面积可求得，利用勾股定理得到长，进而得出的长，再利用勾股定理即可解决问题，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，连接，过点A作于E，于F，过点P作于点G， ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， 又∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为_______． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理．分情况求解是解题的关键． 由题意知，当与相似时，分，，，三种情况求解作答即可． 【详解】解：∵，点为边中点， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠的性质可知，，， 当时，如图1， 当与相似时，， ∴，此时不成立，舍去； 当时，如图2，三点重合，此时，为的中点， ∴； 当时，如图： 此时点与点重合，点与点重合， 此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为3或， 故答案为：3或． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，配方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键． （1）将方程稍加整理，然后用直接开平方法解方程即可； （2）将方程稍加整理，然后用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 整理，得：， 两边开平方，得：， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 配方，得：， 即：， 两边开平方，得：， ，． 17. 在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标． 【答案】 （1）如图， P（-5，-1）； （2）如图，△OA2B2即为所求作．B2（-2，-6）． 【解析】 【分析】（1）连接O1O并延长与A1A的延长线相交，交点即为位似中心P，再根据平面直角坐标系写出点P的坐标； （2）延长OA到A2，使AA2=OA，延长OB到B2，使BB2=OB，连接A2B2，再根据平面直角坐标系写出点B2的坐标． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键． 18. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张邮票是“立春”的概率是______．（直接写结果） （2）小明从中随机抽取两张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明抽取的邮票中有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母，，表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率、以及概率公式，画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据题意画出树状图，得到共有6种等可能的结果，其中小明两次抽取的邮票中至有一张是“雨水”的有4种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明从中随机抽取一张邮票是“立春”的概率是； 【小问2详解】 解：“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票依次分别用字母，，表示，根据题意列树状图如下： ∵共有6种等可能的结果，抽取的邮票中有一张是“雨水”的有4种， 抽取的邮票中有一张是“雨水”的概率是． 19. 如图，在菱形中对角线交于点，过点作于点，将沿方向平移，使点落到点处，点落到点处． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：由平移的性质得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平移的性质得：，则四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）由菱形的性质得到，，，则可由勾股定理得到，再根据等面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定，平移的性质等等，熟知菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键． 20. 如图，王海同学为了测量校园内一棵大树的高度，他走到了校园的围墙外（如图所示），然后他沿着过点F与墙垂直的直线从远处向围墙靠近至B处，使大树恰好被围墙挡住顶端C和树的顶端E时，三点在同一条直线上．若米，米， 米，王海身高1.6米．求大树的高度． 【答案】大树的高度为8.6米 【解析】 【分析】如图，作于H，交于G，则，；然后再证明，运用相似三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】如图，作于H，交于G，则，， ∵， ∴， ∴=，即=， ∴ ， ∴（m）． 答：大树的高度为8.6米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 21. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以探究“购买、销售葡萄的方法”为主题，展开学习．某超市准备从A市场和B市场购买葡萄． A市场的优惠方式：葡萄的售价为18元/千克，无论购买多少千克均不打折． B市场的优惠方式：葡萄的售价为20元/千克，若一次购买5千克以上，超过5千克的部分打折销售． 在B市场购买葡萄的部分小票统计如下．（精确到1千克） 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 … 付款金额/元 20 40 60 80 100 118 136 154 … （1）若该超市在B市场一次购买5千克以上的葡萄，超过5千克的部分打几折？ （2）当超市需要购买20千克葡萄时，请通过计算说明，选择哪个市场比较划算？ （3）该超市决定从A市场购进葡萄，如果超市以28元/千克销售，平均每天可以售出100千克，为了尽快减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低1元，销售量会增加10千克．问该超市降价多少元时，每天的销售利润为840元？ 【答案】（1）超过5千克的部分打9折 （2）选择在A市场购买比较划算 （3）该超市降价4元时，每天的销售利润为840元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设超过5千克的部分打x折，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）根据题意及（1）可直接进行计算即可； （3）设该超市降价x元时，每天的销售利润为840元，由题意可得方程，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：设超过5千克的部分打x折，由题意得： ， 解得：， 答：超过5千克的部分打9折． 【小问2详解】 解：由题意得： 在A市场所需费用为（元）； 在B市场所需费用为（元）； 答：选择在A市场购买比较划算． 【小问3详解】 解：设该超市降价x元时，每天的销售利润为840元；由题意可得： ， 解得：（舍去）； 答：该超市降价4元时，每天的销售利润为840元． 22. 【问题情境】 数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识． 【数学思考】 （1）希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图1，将等边三角形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，折痕分别交，于，两点．求证：； （2）善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图2，将正方形沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，折痕分别交，于，两点，设，交于点．若，求的长； 【拓展探究】 （3）智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图3，与都是等腰直角三角形，点在边上，，交于点．若，，请直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】 （1）证明：是等边三角形， ． 由折叠的性质，得，，． ，， ． 又， ． ． ，， ． （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，推导出，结合等边三角形，可得，得到，结合，，可得． （2）结合正方形性质和折叠性质课推导出，设，表示．在中，用勾股定理可求、，用相似比，即可求． （3）由等腰直角三角形性质三角形内角和、平角定义可推导出，结合，可得，设，在中，用勾股定理求得，由相似比可求，得到．过点作于点，可证，相似比求，则可求． 【详解】（1）略 （2）四边形是正方形， ，． 由折叠的性质，得，． ，， ． 又， ． ． 是的中点，． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． ，． ， ． ． （3）与都是等腰直角三角形， ，，，． ，， ． 又， ． ． ，，． 设． 在中，由勾股定理，得，即，解得，（舍去）． ． ∴， ∴， ． 如图，过点作于点，则． 又为公共角， ∴． ，即．． ． 【点睛】本题考查勾股定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定等的综合应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定，并能正确作图是解题关键． 23. 综合与实践    如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值． 【拓展应用】 外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围______． 【答案】（1）；4；2； （2）不能围出面积为 的矩形； 理由如下： 的图象，如图中所示： ∵与函数 图象没有交点， ∴不能围出面积为 的矩形． 故答案为：与函数 图象没有交点； （3），8；（4） 【解析】 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图象的交点问题． （1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为，进而可求解； （2）画出的图象，观察图象得到与函数图象没有交点即可求解； （3）由直线与反比例函数的图象有唯一交点，可知由唯一解，即：方程只有一个解，利用根的判别式求得（负值舍去），进而可求得交点坐标为； （4）和的长均不小于，可得，直线在、上面或之间移动，可得求的范围． 利用数形结合数学思想是解决问题的关键． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）略 （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴由唯一解，即：方程只有一个解， ∴，解得：（负值舍去）， 此时：，解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为； （4）∵和的长均不小于 ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，直线在、上面或之间移动， 把代入得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $