精品解析：新疆乌鲁木齐市第六十八中学2024-2025学年九年级上学期期末检测数学试卷

乌市68中2024-2025学年度九年级第一学期期末检测数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 道路交通标志是用文字和图形符号对车辆、行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、C、D的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形； 选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 2. 若抛物线平移后的顶点坐标为，则在平移后的抛物线上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线平移的性质可得平移后的抛物线的解析式为，然后再逐项判断即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，且平移后的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当 时，， ∴点在平移后的抛物线上，故A选项符合题意； 当时，， ∴点不在平移后的抛物线上，故B选项不符合题意； 当时，， ∴点不在平移后的抛物线上，故C选项不符合题意； 当 时，， ∴点不在平移后的抛物线上，故D选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，根据二次函数平移的性质得到平移后的抛物线的解析式是解题的关键． 3. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 三角形有且只有一个外接圆 B. 方程是一元二次方程 C. 直径是圆中最长的弦 D. 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，一元二次方程的定义，弦的定义，圆周角定理，随机事件的定义，可能发生也可能不发生的事件为随机事件，三角形的外接圆的圆心是垂直平分线的交点，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、三角形有且只有一个外接圆，是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故原说法是随机事件，故该选项符合题意； C、直径是圆中最长的弦是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意； D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 无论k为何实数，直线和抛物线（ ） A. 有一个公共点 B. 有两个公共点 C. 没有公共点 D. 公共点的个数不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握如何判断一元二次方程的解的个数是解题的关键，将直线和抛物线建立关于 的一元二次方程，再利用根的判别式即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， ∴ ∴， ∴无论取何值，，该方程有两个不等的实数根， ∴直线和抛物线有两个公共点， 故选： B． 5. 如图，中，，将逆时针旋转，得到交于．当时，点恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．旋转，得到，等边对等角求出 的度数，角的和差关系，求出 的度数，三角形的内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵将逆时针旋转，得到交于，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选D． 6. “握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，每名运动员都要与其他名运动员握手一次，但每对握手会被重复计算两次，因此总握手次数应为．根据题意，总次数为45次，由此建立方程． 【详解】解：设有名运动员，每名运动员需与其他名运动员握手，共产生次握手．由于每对握手被计算了两次，实际总握手次数为． 根据题意，总次数为45次，因此方程为； 故选C． 7. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与 轴的一个交点位于和之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于 的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；利用抛物线的对称轴求出 ，根据图象可得当时，，即可判断；利用抛物线的对称轴，设，两点横坐标与对称轴的距离为、，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；根据根的判别式即可判断；解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴， 故正确； ∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ ， 由图象可得，当时， ， ∴， 故错误； ∵直线是抛物线的对称轴， 设，两点横坐标与对称轴的距离为、， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴， 故正确； ∵关于 的一元二次方程 无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴，故正确； ∴正确的结论有个， 故选：． 8. 二次函数 的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析二次函数 的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项． 【详解】二次函数 的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 9. 如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点， ，，连接， ，，记 、 的面积分别为、．若，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得， ，，继而得出轴， 轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，， ∴，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ，， ∴，，， ∴轴， 轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点， 、 的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴ ，， ∴，， ∴ ∴， ∴ 的面积为． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为．则______. 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，掌握关于原点对称的点的坐标横纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于原点对称，得到，，再代入计算乘方即可． 【详解】解：点关于原点对称的点为， ，， ， 故答案为：1． 11. 设，分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】2022 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系和方程的解，先由方程的解的概念和根与系数的关系得出，，将其代入原式计算可得． 【详解】解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：2022． 12. 设一次函数与反比例函数的图象的交点坐标为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵函数与的图象的交点坐标为， ∴， ∴ ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到是解题的关键． 13. 将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长分别为 ， ，新几何体的最大横截面圆的半径 ，则新几何体的表面积为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式，，据此即可求解． 【详解】解：由图可知：新几何体的表面积， 故答案为： 14. 若 的两边长a，b满足，则此三角形内切圆半径是_____． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，非负数的性质及三角形内切圆的性质，先根据非负数的性质求出，再分当边长为a的边是直角边时，当边长为a的边是斜边时，两种情况利用勾股定理求解出第三边的长，设 的内切圆为 ，半径为R，代入即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 当边长为a的边是直角边时，则由勾股定理得第三边的长是， 如图，设 的内切圆为 ，半径为R， 则 即， ∴； 如图，当边长为a的边是斜边时，则由勾股定理得第三边的长是， 同理：， ∴； 综上所述，此三角形内切圆半径是或， 故答案为：或． 15. 如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于、两点， 是以为圆心、半径为 的圆上的一动点，连接、．则 面积的最大值是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的特征、点与圆的位置关系等知识，如图过点作于，延长交于．点与重合时， 的面积最大，求出、的值即可解决问题． 【详解】解：如图过点作于，延长交于． 直线的解析式为 点的坐标为，点的坐标为， 即，，由勾股定理得： ， 过作于，连接 ， ： ， ， 圆上点到直线的最大距离是 ， 面积的最大值是， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2） ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的计算，一元二次方程求解，掌握零次幂，特殊角的三角函数值，因式分解法的计算是解题的关键． （1）先化简绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值，再根据实数的加减混合运算法则计算即可； （2）运用因式分解法求一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 17. 先化简，然后从中选择一个适当的整数作为x的值代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，然后化简得，由分母不为0得当时，则，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∵， ∴当时，则． 18. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°， ∴∠BPA＋∠DPC＝120° ∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°， ∴∠DPC＋∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC， ∴△ABP∽△PCD ； （2）3． 【解析】 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论； （2）由 ，先求解，设 ，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵2BP＝3CD，且BP＝1， ∴， ∵△ABP∽△PCD ， 设 ，则 ， ∴ 经检验： 是原方程的解， 所以三角形的边长为：3． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键． 19. 近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次一共调查了 位同学，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，请求出“垃圾分类”对应的圆心角度数； （3）为了进一步提升学生水资源保护意识，学校从愿意参与“水资源保护”的同学中随机抽取4人（两男两女）参与“水资源保护”知识竞赛，主办方将从4位同学中选出2名水资源保护小达人，请用列表法或画树状图的方法求出水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）200， 补全条形统计图如图所示． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用选择“水资源保护”的人数除以扇形统计图中“水资源保护”的百分比可得本次调查的学生人数；分别求出选择“节能减排”和“植树造林”的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以“垃圾分类”的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次一共调查了 （位）同学， ∴选择“节能减排”的人数为（人）， ∴选择“植树造林”的人数为（人）． 图略； 故答案为：200． 【小问2详解】 解：“垃圾分类”对应的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 共有12种等可能的结果，其中水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果有8种， ∴水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率为． 20. 小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树 的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面 的坡比为（点、、在同一条直线上）． （1）求小明从点到点的过程中上升的高度； （2）大树 的高度大约是多少米？（参考数据： ，结果精确到 米） 【答案】（1）小明从点到点的过程中上升的高度为米； （2）大树 的高度是米． 【解析】 【分析】（）过点作于点，则，由斜面 的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解； （）过点作 于点，设 米，则可得四边形为矩形，故有米，米，然后利用仰角，俯角及正切即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则， 由题意知米， ∵斜面 的坡比为， ∴， 设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， ∴小明从点到点的过程中上升的高度为米； 【小问2详解】 解：过点作 于点，设 米， 由（）得：（米）， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米，（米）， ∵， ∴（米）， ∴米， ∵， 在中，， ∴， ∴， 经检验：是原方程的解， ∴（米）， 答：大树 的高度是米． 21. 在直角坐标系中，已知，设函数与函数 的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是． （1）求的值． （2）过点作 轴的垂线，过点作 轴的垂线，在第二象限交于点；过点作 轴的垂线，过点作 轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点． 【答案】（1） ， （2） 证明：如图所示， 由题意可得，，， ∴设所在直线的表达式为， ∴，解得， ∴， ∴当时，， ∴直线经过原点． 【解析】 【分析】（1）首先将点的横坐标代入 求出点A的坐标，然后代入求出 ，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入 即可求出； （2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可． 【小问1详解】 ∵点的横坐标是2， ∴将代入 ∴， ∴将代入得， ， ∴， ∵点的纵坐标是， ∴将代入得，， ∴， ∴将代入 得， ， ∴解得， ∴ ； 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 22. 已知：如图，在中， ，以为直径的交 于点D，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若的半径为3， ，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是直径， ∴ ， 即，∵ ， ∴ （2） 证明：连接 ∵， ∴． ∵ ， ∴． ∴． 由（1）得， ∴ 即 ∴是的切线． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理易得，又有 ，故． （2）连接，根据三角形中角的互余关系可得，故是的切线； （3）根据三角函数的定义，可得，进而可得，再根据比例的关系，代入数据可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在中， ∵， ∴ ∵， ∴． 由（2）得， ∴ ． ∴． 即． ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题． 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且． （1）求该二次函数的表达式； （2）点G是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值． （3）将直线绕点C逆时针旋转，交抛物线于点Q，求Q点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的关系式，函数最值问题，旋转问题相似三角形的判定与性质等知识． （1）令，求出 ，得点，，由得，， 把代入，求出 ，故可求出； （2）过点G作轴于点E，求出，设，得，，，根据得二次函数表达式，根据二次函数的图象与性质可得结论； （3）证明，求出，得，运用待定系数法求出直线 的解析式，联立方程组并求解即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：对于，当时， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得： ， 解得， ， ∴二次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：对于，令，得， 解得，， ∴， ∴， 过点G作轴于点E， 设，则，，， 又 ∴ ∴， ∴面积有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：设 的延长线交 轴于点， 根据题意得 又 ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设直线 的解析式为， 把代入，得： ， 解得，， ∴直线 的解析式为， 联立方程组得， 解得或 ∵ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌市68中2024-2025学年度九年级第一学期期末检测数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 道路交通标志是用文字和图形符号对车辆、行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线平移后的顶点坐标为，则在平移后的抛物线上的点是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 三角形有且只有一个外接圆 B. 方程是一元二次方程 C. 直径是圆中最长的弦 D. 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 4. 无论k为何实数，直线和抛物线（ ） A. 有一个公共点 B. 有两个公共点 C. 没有公共点 D. 公共点的个数不能确定 5. 如图，中，，将逆时针旋转，得到交于．当时，点恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 6. “握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与 轴的一个交点位于和之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于 的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是( ) A. B. C. D. 8. 二次函数 的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点， ，，连接， ，，记 、 的面积分别为、．若，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为．则______. 11. 设，分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 12. 设一次函数与反比例函数的图象的交点坐标为，则的值为______． 13. 将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长分别为 ， ，新几何体的最大横截面圆的半径 ，则新几何体的表面积为 ___________． 14. 若 的两边长a，b满足，则此三角形内切圆半径是_____． 15. 如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于、两点， 是以为圆心、半径为 的圆上的一动点，连接、．则 面积的最大值是_______ 三、解答题（共8小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2） ． 17. 先化简，然后从中选择一个适当的整数作为x的值代入求值． 18. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 19. 近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次一共调查了 位同学，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，请求出“垃圾分类”对应的圆心角度数； （3）为了进一步提升学生水资源保护意识，学校从愿意参与“水资源保护”的同学中随机抽取4人（两男两女）参与“水资源保护”知识竞赛，主办方将从4位同学中选出2名水资源保护小达人，请用列表法或画树状图的方法求出水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率． 20. 小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面 的坡比为（点、、在同一条直线上）． （1）求小明从点到点的过程中上升的高度； （2）大树的高度大约是多少米？（参考数据： ，结果精确到 米） 21. 在直角坐标系中，已知，设函数与函数 的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是． （1）求的值． （2）过点作 轴的垂线，过点作 轴的垂线，在第二象限交于点；过点作 轴的垂线，过点作 轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点． 22. 已知：如图，在中， ，以为直径的交于点D，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若的半径为3， ，求的长． 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且． （1）求该二次函数的表达式； （2）点G是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值． （3）将直线绕点C逆时针旋转，交抛物线于点Q，求Q点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $