精品解析：广东省茂名市高州市四校联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中素养展评 八年级数学试卷（A卷） （考试时间共120分钟，满分为120分．） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把选出的答案写在答题卷上． 1. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 的平方根是（ ） A. 16 B. 2 C. D. 3. 如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（ ）． A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 7米 4. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 5是25的算术平方根 B. 是16的算术平方根 C. -6是的算术平方根 D. 0.01是0.1的算术平方根 6. 正比例函数的图象经过的象限有（ ） A. 一，三象限 B. 二，四象限 C. 一，二，三象限 D. 二，三，四象限 7. 已知点和点，且AB平行于x轴，则点B坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小明在广场上先向东走米，又向南走米，再向西走米，又向南走米，再向东走米，小明到达的终止点与原出发点的距离为（ ）米． A. 80 B. 100 C. 110 D. 180 9. 已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（    ） A. B. C. D. 10. 将等腰直角三角板按如图的方式放置，点在轴的正半轴上移动，点随之在轴的正半轴上移动，点在的左侧，设点的横坐标为，则它的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填写在答题卷相应位置上． 11. 如图，，，，则阴影部分的面积是________． 12. 函数中，自变量x的取值范围是________． 13. 如图，点，，在同一平面直角坐标系中，则三角形的面积为_________． 14. 如图，已知Rt△ABC中,BC=1,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为_______. 15. 已知矩形中，，．的平分线交于点，交于点，则的长为__________． 三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． （1）点A的坐标为______，点B的坐标为______． （2）在图中描出点． （3）在（2）的条件下，D为x轴上方的一点，且，，则点D的坐标为_____． 18. 《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处．已知m，m 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，已知直线y＝－2x＋6与x轴交于点A，与y轴交于点B. (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)求△AOB的面积． (3)直线AB上是否存在一点C(点C与点B不重合)，使△AOC的面积等于△AOB的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变． （1）根据题意可知：______（填“”、“”、“”）． （2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号） 21. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 五、解答题（三）（第22小题13分，第23小题14分共27分） 22. 2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元． 甲（万美元/台） 乙（万美元/台） A型医疗器材 0.7 1 B型医疗器材 0.8 0.9 （1）求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台． （2）现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（），求总运费为y（万美元）关于x的函数关系式，并求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少万美元． 23. 【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米． 请根据以上信息，回答下面的问题： 【问题探究】 （1）求小岛离步道的垂直距离． 【问题拓展】 （2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时， ① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因． 【方法迁移】 （3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中素养展评 八年级数学试卷（A卷） （考试时间共120分钟，满分为120分．） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把选出的答案写在答题卷上． 1. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可． 【详解】解：对于C选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于A、B、D三个选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有多个交点，从而不能表示是的函数； 故选：C． 2. 的平方根是（ ） A. 16 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题应先计算出的值，再根据平方根的定义即可求得平方根． 【详解】解：∵，4的平方根为±2， ∴的平方根是， 故选C． 【点睛】本题考查了立方根和平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 3. 如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（ ）． A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 7米 【答案】D 【解析】 【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度（米）， 地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是（米）． 故选：D． 【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键． 4. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，式子的被开方数为， ∴， 解得． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 5是25的算术平方根 B. 是16的算术平方根 C. -6是的算术平方根 D. 0.01是0.1的算术平方根 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义逐一判断即可. 【详解】解：A项，5是25的算术平方根，正确； B项，4是16的算术平方根，错误； C项，6是的算术平方根，错误； D项，0.1是0.01的算术平方根，错误； 故选A. 【点睛】本题考查算术平方根的定义，掌握算术平方根的概念是解题的关键. 6. 正比例函数的图象经过的象限有（ ） A. 一，三象限 B. 二，四象限 C. 一，二，三象限 D. 二，三，四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像，当时，正比例函数的图象经过第二、四象限；当时，正比例函数的图象经过第一、三象限． 根据一次函数图像的性质即可解答． 【详解】解：∵在正比例函数中，， ∴图象经过第一、三象限． 故选：A． 7. 已知点和点，且AB平行于x轴，则点B坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据AB平行于x轴，点A（-1，-3）和点B（3，m），可知点A、B的纵坐标相等，从而可以得到点B的坐标． 【详解】∵AB平行于x轴,点A(−1,−3)和点B(3,m)， ∴m=−3. ∴点B的坐标为(3,−3). 故选项A正确，选项B错误，选项C错误，选项D错误. 故选A. 【点睛】此题考查坐标与图形性质，解题关键在于求出m. 8. 如图，小明在广场上先向东走米，又向南走米，再向西走米，又向南走米，再向东走米，小明到达的终止点与原出发点的距离为（ ）米． A. 80 B. 100 C. 110 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】连接出发点与终止点，求出两点之间距离即为所求，要构造直角三角形，用勾股定理解答． 【详解】解答：解：连接AB，作AC⊥BC于C． ∵AC=40+40=80米， BC=70-10=60米， 则AB==100米． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，连接AB，并构造直角三角形是解题的关键． 9. 已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点． 联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【详解】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为， 选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意； 而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意； 选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意； 选项中，为正数，为负数，则，符合题意； 故选：． 10. 将等腰直角三角板按如图的方式放置，点在轴的正半轴上移动，点随之在轴的正半轴上移动，点在的左侧，设点的横坐标为，则它的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中求点的坐标，全等三角形的判定和性质，作轴于点，轴于点，根据可得，所以，由点点横坐标为，则它的纵坐标为，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】如图，作轴于点，轴于点， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴它的纵坐标为， 故选：. 二、填空题（每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填写在答题卷相应位置上． 11. 如图，，，，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，扇形面积的计算；由勾股定理求得的长度，由扇形面积公式即可计算． 【详解】解：，，， ， 即半圆的半径为； 则阴影部分面积为：． 故答案为：． 12. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意，得，根据负整数指数幂，分式有意义的条件，零指数幂的条件解答即可． 本题考查了负整数指数幂，分式有意义的条件，零指数幂的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故自变量x的取值范围是且． 故答案为：且． 13. 如图，点，，在同一平面直角坐标系中，则三角形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，坐标与图形的面积，根据长方形的面积减去三个三角形的卖家求的面积． 【详解】的面积为：． 故答案为：． 14. 如图，已知Rt△ABC中,BC=1,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为_______. 【答案】1- 【解析】 【详解】根据勾股定理可知AC==，可知AD=，所以D点的坐标为1-. 故答案为1-. 点睛：此题主要考查了实数与数轴的对应关系，解题关键是先根据勾股定理求出AC=AD，然后根据距离的变化和实数的加减求出即可. 15. 已知矩形中，，．的平分线交于点，交于点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得：，，，推出，根据角平分线的定义可得，进而得到，推出，得到，，由可得，结合，可推出，证明，可得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和零指数幂、负整数指数幂，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，再计算加减即可； （2）先根据二次根式的乘法法则运算，再计算减法即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． （1）点A的坐标为______，点B的坐标为______． （2）在图中描出点． （3）在（2）的条件下，D为x轴上方的一点，且，，则点D的坐标为_____． 【答案】（1）； （2） 如图，点C即为所求 （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系． （1）根据平面直角坐标系即可写出点A，B的坐标； （2）根据平面直角坐标系作出点 （3）根据平面直角坐标系即可求出点D的坐标． 【小问1详解】 解：点A，B的坐标分别为；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由平面直角坐标系可得 ∵，，D为x轴上方的一点， ， ， ∴点D的坐标为． 18. 《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处．已知m，m 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】m 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，先计算，再计算，最后相减即可得到． 【详解】解：由题意可知， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ∴． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，已知直线y＝－2x＋6与x轴交于点A，与y轴交于点B. (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)求△AOB的面积． (3)直线AB上是否存在一点C(点C与点B不重合)，使△AOC的面积等于△AOB的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (3，0)，(0，6)；(2)9；(3)存在，点C的坐标为(6，－6)． 【解析】 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求点和点坐标； （2）根据三角形面积公式求解； （3）根据一次函数图象上点的坐标特征，设，则利用三角形面积公式得到，然后解绝对值方程求出的值即可得到点坐标. 【详解】（1）当y＝0时，－2x＋6＝0，解得x＝3，则A点的坐标为（3，0）；当x＝0时，y＝－2x＋6＝6，则B点的坐标为（0，6）. （2）S△AOB＝×3×6＝9. （3）存在.理由如下：设点C的坐标为（t，－2t＋6）. 因为△AOC的面积等于△AOB的面积，所以×3×|－2t＋6|＝9，解得t1＝6，t2＝0（与点B重合，舍去）.所以点C的坐标为（6，－6）. 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数（，且、为常数）的图象是一条直线，它与轴的交点坐标是：；与轴的交点坐标是，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式，也考查了三角形面积公式. 20. 在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变． （1）根据题意可知：______（填“”、“”、“”）． （2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号） 【答案】（1） （2）小男孩需向右移动的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出的长，然后根据即可求解． 【小问1详解】 解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ， 故答案为：； 【小问2详解】 连接， ∵点B在直线上， ∴点A、B、F三点共线， ，米，米，米， 在中，米， （米）， 在中，米， ， 米， ∴小男孩需向右移动的距离为米． 21. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】回顾旧知，类比求解：，5，5；学会转化，解决问题：（1）；（2） 【解析】 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． 回顾旧知，类比求解：根据题意可直接进行求解； 学会转化，解决问题： （1）先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； （2）先移项，然后两边同时平方得到新的一个方程，进而问题可求解． 【详解】回顾旧知，类比求解： 解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． 学会转化，解决问题： 解：（1） ， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2） 解得：， 经检验，是原方程的解． 五、解答题（三）（第22小题13分，第23小题14分共27分） 22. 2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元． 甲（万美元/台） 乙（万美元/台） A型医疗器材 0.7 1 B型医疗器材 0.8 0.9 （1）求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台． （2）现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（），求总运费为y（万美元）关于x的函数关系式，并求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少万美元． 【答案】（1）该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材 （2）y与x的函数关系式为；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一次函数的应用，为方程和函数综合应用的常规题型．准确用x表示运往甲、乙仓库的各种器材数是解题关键． （1）根据两种器材数量和为50台和总费用2300万美元为等量关系列方程组； （2）用x表示运往甲仓库的B型器材数、运往乙仓库的A、B型器材数，根据题意求运费和，得到y关于x的函数为一次函数，且x的系数为负数，所以x越大y越小． 【小问1详解】 设该公司引进a台A型号医疗器材，则引进B型号器材b台，根据题意得： ， 解得：， 答：该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材． 【小问2详解】 依题意得，运往甲仓库的B型医疗器材为台，运往乙仓库的A型为台，运往乙仓库的B型为x台， ∴， 整理得：， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， 答：y与x的函数关系式为；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元． 23. 【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米． 请根据以上信息，回答下面的问题： 【问题探究】 （1）求小岛离步道的垂直距离． 【问题拓展】 （2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时， ① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因． 【方法迁移】 （3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）． 【答案】（1）75米； （2）①60米； ②不符合，理由：， ， 由①可知，米， ∴在中，， 米， 米， 米， ∴米， 显然，， ∴步道不符合要求． （3）5 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的应用，求最小距离，灵活构造几何图形，借助三角形全等、勾股定理是正确解决本题的关键． （1）根据题意，证明，即可得出结论； （2）①延长至Q，使米，连接．过Q作交AN的延长线于H，过P作于G，当A、Q、E三点共线时有最小值，利用勾股定理即可求出； ②由①可知，米，用勾股定理计算出米，，即可判断步道不符合要求； （3）将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造对应的几何图形即可求出代数式的最小值． 【详解】解：（1）由题可知，，， ， 又∵P、B、D三点在同一条直线上， ， 又米， ， 米 （2）①米 如图3，延长至Q，使米，连接． 过Q作交AN的延长线于H，过P作于G， ∵，即垂直平分， ， ， 当A、Q、E三点共线时有最小值， 即米 ∵， 即， ∴四边形和四边形均为长方形， 米，， ∴米 ∴在中，即米， 米， ②略 （3）由（2）同理可得，， 的最小值为5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $