精品解析：辽宁省名校联盟2024-2025学年高二1月份联合考试数学试题

辽宁省名校联盟2025年高二1月份联合考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（ ） A. 9 B. 20 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理即可计算． 【详解】因为每名同学都有4种选择， 所以由分步乘法计数原理可知不同选法的种数为：． 故选：D. 2. 若，则的值为（ ） A. 14 B. 84 C. 34 D. 204 【答案】C 【解析】 【分析】先由得或，由题意符合题意，再结合组合数的计算可得. 【详解】因为，所以或，解得或， 因为，所以，可得， 所以. 故选：C 3. 已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（ ） X 0 1 2 3 P a 5a A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列中各概率之和为1求得参数，进一步将所求变形为即可求解. 【详解】由题意，解得， 而. 故选：A. 4. 用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】通过个位数分别为，，，讨论即可； 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即，，，有3种选择， 因为这是一个三位数，所以百位数不能是0. ①当个位数为0时，有种， ②当个位数为2或4时，有种.综上，有30种. 故选：B. 5. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得，再根据可得，结合求解即可. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式，结合赋值法逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】由， 所以，，皆为负值，，，皆为正值，令，则， 令，则①，故C项错误； 即，故A项正确； 由①知，故B项错误； 在中， 令，则，故D项错误. 故选：A. 7. 针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（ ） 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 54 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】设男生人数为，结合卡方计算可得，即，进而可判断. 【详解】设男生人数为，因为被调查的男、女生人数相同，所以女生人数也为，根据题意列出列联表： 男生 女生 合计 喜欢冰雪运动 不喜欢冰雪运动 合计 则，因为有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，所以，即，解得，又，所以A，B，C项正确，D项错误. 故选：D 8. 如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网，处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的是（ ） A. 甲从到达处的方法有120种 B. 甲从必须经过到达处的方法有36种 C. 甲、乙两人在处相遇的概率为 D. 甲、乙两人相遇的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求ABC，再根据分类加法计数原理，即可求解D. 【详解】A项，甲从到达处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从到达处的方法有种，A项错误. B项，甲经过到达处，可分为两步：第一步，甲从经过需要走3步，其中2步向右走，1步向上走，方法数为种； 第二步，甲从到处需要走3步，其中2步向上走，1步向右走，方法数为种, 故甲经过到达处的方法数为种，B项错误. C项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种， 所以甲、乙两人在处相遇的方法数为种， 故甲、乙两人在处相遇的概率为，C项正确. D项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在，，，处相遇， 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处， 则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为1种； 若甲、乙两人在处相遇，由C项可知走法种数为81种； 若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到处， 前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，所以两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处， 则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为1种. 故甲、乙两人相遇的概率为，D项错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中真命题是（ ） A. 的展开式中含项的系数为 B. 随机变量，若方差，则 C. 若随机变量，且，则 D. 甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有45种 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式可求得含项的系数判断A：利用二项分布的方差计算公式可求得，进而计算可判断B；利用正态分布的性质计算可判断C；求得恰有一项工作无人参加的方法数可判断D. 【详解】对于A项，展开式的通项公式为，，，…，， 所以展开式中含项的系数为，故A项正确； 对于B项，，解得，则，故B项正确； 对于C项，因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称， 由，得， 所以，故C项正确； 若恰有一项工作无人参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有人参加的方法数， 则不同的安排方法共有种，故D项错误. 故选：ABC. 10. 已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点P是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 椭圆的方程为 C. 的面积为 D. 的周长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将椭圆与双曲线的方程和定义，与两曲线的离心率关系相联立，求出参数数值，再逐项分析即可. 【详解】 由题可知，椭圆与双曲线的焦点在轴上，取第一象限的交点作为点，且，故，也在圆上， 设椭圆方程为：，则，， 设双曲线方程为：，则，， 由于，则，即， 联立，可得： 又因为，，在圆上，则，将上式代入， 可得，， 则， 故，， 对于选项A，由于，故选项A正确； 对于选项B，由于，，代入，得，故选项B正确； 对于选项C，由于，，在圆上，且，为直角三角形，则，故选项C正确； 对于选项D，由于，故选项D错误； 故选：ABC 11. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图①，小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按的升幂排列，将各项系数列表如下（如图②）： 上表图②中第行的第个数用表示，即展开式中含项的系数为，则（ ） A. B. C. （，） D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由图②得到，可直接判断ABC，对于D，由得到展开式中含项的系数为，再由确定含项系数，即可判断； 【详解】依据题意结合图②可知图②中每一行的每一个数等于其上一行头顶和左、右肩上共三个数的和（没有的用0代替）， 如：第四行的第三个数10，等于上一行头顶上的数3加上左、右肩上的数1和6，第三行中的第二个数3，等于上一行头顶上的数1加上左、右肩上的数0（左肩上没有数，故用0代替）和2， 所以， 对于A项，由上可得，故A项错误； 对于B项，由图可知，以此类推可得，故B项正确； 对于C项，由上可知，故C项正确； 对于D项，因为， ， 则， 所以根据乘法法则的展开式中含项的系数为 ， 又， 其通项公式为， 因为，所以的展开式中含项的系数为0， 故，故D项正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：与展开求得的系数，在通过求得系数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个（其中有3个红球），若从中一次取出2个小球，记恰有1个黄球的概率为，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设黄色小球有个，利用组合计数、结合古典概型求出，再按值求出最大值. 【详解】设黄色小球有个，则，，则， 当时，，当时，，所以的最大值为. 故答案为： 13. 某射击比赛中，甲选手进行多轮射击，每轮射击中命中目标的概率为.若每轮射击中命中目标得1分，未命中目标得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用独立重复试验的概率公式求解. 【详解】解：进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为： . 故答案为： 14. “四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值.四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响.四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加.例如：四进制数013转换为十进制数为；四进制数0033转换为十进制数为.现将所有由，，，组成的4位（如：1233，3201）四进制数转化为十进制数，在这些非零十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，将四进制数转换为十进制形式，由该数能被3整除转化为能被3整除，根据该四进制数数字的所有可能组合，分类计算符合要求的数的个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】设，则4位四进制数转换为十进制为： ， 若这个数能被3整除，则能被3整除. 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数都由3组成时，有1个； 当这个四进制数由，，，组成时，有4个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有4个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个. 因为由，，，组成的4位非零四进制数共有个， 所以能被3整除的概率. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将四进制转化为十进制之后，利用二项式定理来求解能否被3整除的问题，得出所有可能的组合即可求得相应概率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. （1）求拋物线的方程； （2）如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 【答案】（1） （2）证明：因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率， 设， 由且， 因为位于轴同侧，所以，则， 由得，所以， 又点，直线和的倾斜角互补，所以， 所以，所以， 即，解得， 所以直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）记准线与轴交于点，在中，求出焦准距，即可求解抛物线方程. （2）设，联立抛物线方程，韦达定理，根据倾斜角互补即斜率之和为0，化简求得，即可得解. 【小问1详解】 如图，记准线与轴交于点，在中，， 所以. 故抛物线. 【小问2详解】 略 16. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. （1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； （2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1）适宜作为与之间的回归方程模型， （2）答案见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据散点图确定模型，代入数据计算即可； （2）确定随机变量取值，结合全概率公式计算概率，进而可求解； 【小问1详解】 根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型. 令，则， ， ， 所以， 所以关于的回归方程为. 【小问2详解】 由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的可能取值为，，， 设“所取两个鱼卵来自第批”， 所以， 设“所取两个鱼卵有个‘死卵’”， 由全概率公式得 ， ， ， 所以取出“死卵”个数的分布列为 0 1 2 所以， 所以取出“死卵”个数的数学期望为. 17. 如图①，在中，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心.将沿折起到的位置（如图②），使平面，存在动点，使. （1）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （2）设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角的余弦值的计算公式即可求解； （2）引入参数表示出，求出平面的法向量，进一步可将表示出的函数即可进一步求解. 【小问1详解】 由题可知，，，两两垂直， 翻折前，因为经过的重心，且， 所以， 所以，，， 翻折后， 由勾股定理得， 以为原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，. 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 可得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 且， 因为直线与平面所成角为， 则，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 18. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. （1）若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； （2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【答案】（1） 的分布列为 0 1 2 3 ， （2）（i）； （ii）若，增加2个元件后利润提高； 若时，增加2个元件后利润没有提高. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为；（ii）分以下三种情况讨论：①原系统中至少有4个元件正常工作；②原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；③原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，再对三种情况进行求和，得到，计算，与作比较，再根据判断即可. 【小问1详解】 因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， . 【小问2详解】 （i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 ， 则， 所以当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率变大； 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大. 又因为， 所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 19. 中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆和圆组成，， 是椭圆的两个焦点，圆以线段为直径， （1）设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？ （2）经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米. （i）从射出的任意一束光线照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B为切点，然后用量角器探究猜测是定值，请帮他们证明上述猜想. （ii）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点是上的一个动点，P，Q关于原点对称，过和分别做圆的切线，交于R，S，求四边形装饰面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明：由测量数据可得，， 故，，墙壁所在直线， 易知直线斜率存在，设，可得， 设切线，联立， 则， 相切可得， 则， 则， 切点， ， 故，，，， 故，则. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据，即可根据椭圆中的关系以及离心率公式求解， （2）（i）联立直线与椭圆方程，根据判别式为0可得，进而可得，利用向量的坐标运算，即可求证； （ii）根据法向量可得切线方程，进而根据点到直线的距离公式可得是平行四边形，结合全等和切线长性质可得是菱形，即可根据三角形相似，结合函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 由题意可知椭圆满足， 故. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设动点，则，不妨设过点的两条切线法向量为， 过点的两条切线法向量为，均为非零向量， 故切线方程为和， 则满足和. 由此可知两组切线分别对应平行，四边形是平行四边形，过圆心做一组邻边的垂线，垂足为, 由于关于原点对称，故也关于原点对称，又, 故故，故平行四边形是菱形. 下面研究菱形的面积： 过作PR的垂线GH，则，由（i）可知,故， 设，则有：，解得，则， 其中的取值范围是， 设，在上是单调函数， 故的取值范围是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将四边形的面积用表示出来，然后再利用函数的单调性求解最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省名校联盟2025年高二1月份联合考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（ ） A. 9 B. 20 C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. 14 B. 84 C. 34 D. 204 3. 已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（ ） X 0 1 2 3 P a 5a A. B. C. D. 4. 用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 5. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（ ） 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 54 B. 48 C. 42 D. 36 8. 如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网，处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的是（ ） A. 甲从到达处的方法有120种 B. 甲从必须经过到达处的方法有36种 C. 甲、乙两人在处相遇的概率为 D. 甲、乙两人相遇的概率为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中真命题是（ ） A. 的展开式中含项的系数为 B. 随机变量，若方差，则 C. 若随机变量，且，则 D. 甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有45种 10. 已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点P是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 椭圆的方程为 C. 的面积为 D. 的周长为 11. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图①，小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按的升幂排列，将各项系数列表如下（如图②）： 上表图②中第行的第个数用表示，即展开式中含项的系数为，则（ ） A. B. C. （，） D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个（其中有3个红球），若从中一次取出2个小球，记恰有1个黄球的概率为，则的最大值为______. 13. 某射击比赛中，甲选手进行多轮射击，每轮射击中命中目标的概率为.若每轮射击中命中目标得1分，未命中目标得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为______. 14. “四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值.四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响.四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加.例如：四进制数013转换为十进制数为；四进制数0033转换为十进制数为.现将所有由，，，组成的4位（如：1233，3201）四进制数转化为十进制数，在这些非零十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. （1）求拋物线的方程； （2）如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 16. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. （1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； （2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 17. 如图①，在中，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心.将沿折起到的位置（如图②），使平面，存在动点，使. （1）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （2）设直线与平面所成角为，求的最大值. 18. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. （1）若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； （2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 19. 中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆和圆组成，， 是椭圆的两个焦点，圆以线段为直径， （1）设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？ （2）经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米. （i）从射出的任意一束光线照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B为切点，然后用量角器探究猜测是定值，请帮他们证明上述猜想. （ii）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点是上的一个动点，P，Q关于原点对称，过和分别做圆的切线，交于R，S，求四边形装饰面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $