精品解析：辽宁省丹东市2024-2025学年高三上学期期末数学试题

丹东市2024~2025学年度（上）期末教学质量监测 高三数学 总分150分 时间120分钟 命题：杨晓东 孙颖 刘巍 肖扬 郁文笛 审核：杨晓东 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i是虚数单位，复数z=，则复数z的虚部为（ ） A. i B. -i C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】先通过复数的除法运算求出z，进而求出虚部. 【详解】由题意，，则z的虚部为1. 故选：C. 2. 设集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以，或， ，或， 所以，或. 故选：B 3. 双曲线的顶点到其渐近线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】确定渐近线方程，由点到线的距离公式即可求解； 【详解】由，可得渐近线方程为：，顶点坐标为， 由对称性，取顶点，渐近线， 由距离公式可得：顶点到其渐近线的距离为， 故选：A 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式的通项计算. 【详解】的通项为，所以的展开式中的项为，则系数为10. 故选：B. 5. 在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】，利用向量数量积公式计算出结果. 【详解】边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，故， . 故选：D 6. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象的平移变化求解析式即可. 【详解】向右平移个单位长度得到， 然后所有点横坐标缩短到原来的倍得到， 所以. 故选：D. 7. 函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性和对数函数的定义域列不等式，解不等式即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 8. 已知正三棱锥中，D是棱PC上的点，，且，则直线BD与平面PAB所成角的正弦值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建系，设点，根据列方程得到，然后利用空间向量的方法求线面角. 【详解】 取中点，连接， 因为为中点，所以，， 因为，平面，所以平面， 以为原点，所在直线分别为轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 设，，，，，， 因为，所以，解得， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，， 所以，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本极差相同 C. 两组样本数据的样本中位数相同 D. 两组样本数据的样本标准差相同 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平均数、极差、中位数和标准差的定义判断. 【详解】，故A错； 设，则两组样本数据的样本极差都为，故B正确； 若原样本数据的中位数为，则新样本数据的中位数为，故C错； ，故D正确. 故选：BD. 10. 已知抛物线的焦点为F，直线与C交于M，N两点（M在第一象限），l为C的准线，若点M到l的距离为4，，则（ ） A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 点F到直线MQ的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据到的距离和抛物线定义得到，再结合抛物线和直线方程求；B选项，联立直线和抛物线方程得到的坐标，然后求弦长；C选项，根据中点坐标公式得到圆心，然后根据圆心到准线的距离判断；D选项，计算直线的方程，然后求距离. 【详解】抛物线，其准线为， 因为到的距离为，则，代入抛物线方程得，则， 所以，解得，故A错； 联立得，解得或3，则， ，故B正确； 中点坐标为，点到直线的距离为， 所以以为直径的圆与相切，故C正确； ，所以直线的方程为， 整理得，则点到直线的距离，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，为递增数列 B. ，，为等比数列 C. D. 若，的n的最小值为10 【答案】AD 【解析】 【分析】由递增数列的定义可判断A选项，由等比数列的定义及性质可判断B，由基本不等式可判断C,由等比数列的性质可判断D. 【详解】由故， 对于A, 若，则，所以为递增数列，故A正确； 对于B，若则，此时，，不是等比数列，故B错误； 对于C, ，若则，当且仅当时取等； 时，，当且仅当时取等，故C错误； 对于D, 若，则当时，，当时，， 因为， ， ， 故的n的最小值为10，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为奇函数，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得到，然后解方程求解. 【详解】因为为奇函数，所以，解得或， 当时，，成立； 当时，，，，故不成立， 所以. 故答案为：2. 13. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的周长公式得到底面圆的周长，然后利用弧长公式列方程得到圆锥的母线长，勾股定理得到圆锥的高，最后求圆锥的体积即可. 【详解】 由题意得底面圆的周长为， 设圆锥的母线长为，则，解得， 所以圆锥的体积. 故答案为：. 14. 已知，为椭圆的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，，且四边形的面积为6，则C的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和矩形的性质得到的方程，整理得，然后根据得到，即可得到椭圆方程. 【详解】 设，，由题意得，， 因为，所以四边形为矩形， 所以，，则， 解得，所以，椭圆的方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）在所在的平面内有一点D，使，，若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换得到，即可得到； （2）根据四边形内角和得到，然后利用余弦定理得到，根据等腰三角形的性质得到，最后利用三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 根据正弦定理，得，， 因为，所以. 所以，，故. 【小问2详解】 由，，可知在四边形ABDC中，， 因为，所以，则， 由，所以，是等边三角形， 所以的面积. 16 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当，时，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程； （2）求导得到在上单调递减，即可得到，构造函数，求导得到的单调性，即可得到，即可证明. 【小问1详解】 因为， 当，所以，则，且， 所以在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由，所以在上单调递减， 最大值为， 令， 则，， 所以，所以在上单调递减，， 在上最大值，所以， 所以. 17. 如图，在边长为4的正方形MBCD中，A为线段MB的中点，沿AD将翻折至，使得. （1）求证：平面平面PCD； （2）求平面PBC与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据翻折和勾股定理得到，，然后利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据等腰三角形的性质得到，利用面面垂直的判定定理得到平面平面ABCD，然后建系，利用空间向量的方法求线面角即可. 【小问1详解】 证明：连接AC，，，可得， , 所以，， 因为，平面， 所以平面PCD， 因为平面PAB， 所以平面平面PCD. 【小问2详解】 取CD的中点Q，连接PQ，AQ 由（1）知，，，，平面， 所以平面PAQ， 因为平面ABCD， 所以平面平面ABCD， 过P作，垂足为N， 因为平面，平面平面， 所以平面ABCD， 因为平面， 所以， 在中，，， 以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 可知z轴在平面PAQ内. 则，，，， ，， 设平面PBC的法向量，由， 可得，可取. 由（1）可知，为平面PCD的法向量， 则平面PCD的法向量为. 故， 所以平面PBC与平面PCD所成角的正弦值为. 18. 某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教练车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到丙练习的概率为，每次丙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，直到这天练习结束，一共练习了n（，）轮，已知练习从甲开始. （1）当时，求甲一共参与练习次数X的分布列与期望； （2）求第n轮为甲练习的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据排队系统设定分析的情况，然后计算概率求期望即可； （2）根据排队系统设定得到，，然后构造数列为等比数列，最后利用等比数列的通项公式计算. 【小问1详解】 根据题意得，X的可能取值分别为1，2，3， 则时，表示第1轮为甲，第2轮为乙，第3轮为丙，即， 时，表示第1轮为甲，第2轮为甲，第3轮为乙，或第1轮为甲，第2轮为乙，第3轮为甲， 即， 时，表示第1轮为甲，第2轮为甲，第3轮为甲，即， 所以X的分布列如下表 X 1 2 3 P . 【小问2详解】 设第n轮练习为甲，乙，丙的概率分别为，，， 由题意得 ， ① ， ② 由②得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ，则代入①中， 得，故第n轮为甲练习的概率为. 19. 设A，B分别是直线和上的动点，，O为坐标原点，动点P满足，记动点P的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）设C与x轴正半轴的交点为D，与y轴正半轴的交点为E，当点P在第一象限时，直线PD交y轴于点M，直线EP交x轴于点N. （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，，，结合，，列出等式，消参即可求解； （2）（ⅰ）设，，，通过三点共线得到，，进而得到，，代入化简即可； （ⅱ）由得到，再由基本不等式求解即可； 【小问1详解】 设，，， 由，，得 ， ① ， ② 联立①②消去，可得C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设（，），，， 由三点共线可知，得， 由三点共线可知，得， 所以，， 所以， 因为，所以代入上式得. （ⅱ）由图知，的面积为 ， 即 因，则（时等号成立） 所以，即面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：的面积可通过，将其转化成，利用（ⅰ）的结论和基本不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹东市2024~2025学年度（上）期末教学质量监测 高三数学 总分150分 时间120分钟 命题：杨晓东 孙颖 刘巍 肖扬 郁文笛 审核：杨晓东 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i是虚数单位，复数z=，则复数z虚部为（ ） A. i B. -i C. 1 D. -1 2. 设集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的顶点到其渐近线的距离为（ ） A B. C. 2 D. 1 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 5. 在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 把函数图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱锥中，D是棱PC上的点，，且，则直线BD与平面PAB所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本极差相同 C. 两组样本数据的样本中位数相同 D. 两组样本数据的样本标准差相同 10. 已知抛物线的焦点为F，直线与C交于M，N两点（M在第一象限），l为C的准线，若点M到l的距离为4，，则（ ） A B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 点F到直线MQ的距离为 11. 已知等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，为递增数列 B. ，，为等比数列 C. D. 若，的n的最小值为10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为奇函数，则__________. 13. 已知圆锥底面半径为1，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则圆锥的体积为__________. 14. 已知，为椭圆的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，，且四边形的面积为6，则C的方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）在所在的平面内有一点D，使，，若，求的面积. 16. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当，时，求证：. 17. 如图，在边长为4的正方形MBCD中，A为线段MB的中点，沿AD将翻折至，使得. （1）求证：平面平面PCD； （2）求平面PBC与平面PCD所成角的正弦值. 18. 某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教练车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到丙练习的概率为，每次丙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，直到这天练习结束，一共练习了n（，）轮，已知练习从甲开始. （1）当时，求甲一共参与练习次数X的分布列与期望； （2）求第n轮为甲练习的概率. 19. 设A，B分别是直线和上的动点，，O为坐标原点，动点P满足，记动点P的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）设C与x轴正半轴的交点为D，与y轴正半轴的交点为E，当点P在第一象限时，直线PD交y轴于点M，直线EP交x轴于点N. （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $