精品解析：江苏省泰州市靖江市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024－2025学年江苏省泰州市靖江市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的立方根为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据立方根的性质解答，即可求解． 【详解】解：的立方根为． 故选：B 2. 下列图案不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； C选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：C． 3. 平面直角坐标系是法国数学家笛卡尔将代数与几何连接起来的桥梁，它使得平面图形中的点与有序数对建立了一一对应关系，从而能把形象的几何图形和运动过程变成代数的形式，使得用代数方法研究几何问题成为现实．这种研究方法体现的数学思想是（　　） A. 数形结合思想 B. 类比思想 C. 特殊到一般思想 D. 分类讨论思想 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数学思想与方法，弄清楚每种方法思想的定义是解题的关键．根据各种思想的定义即可判断． 【详解】解：数形结合是指把数字和图形结合起来，符合笛卡尔的方法，故A选项符合题意， 故选：A． 4. 下列各组数中，是勾股数的是（    ） A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. ，， D. 4，6，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、，错误，不勾股数，不符合题意； B、，正确，是勾股数，符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； D、，错误，不是勾股数，不符合题意 故选：B． 5. 若直线轴，M点的坐标为，且线段，点N在点M的左侧，则点N的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标的差的绝对值，能够求解即可． 【详解】解：∵直线轴，M点的坐标为，且线段，点N在点M的左侧， ∴，即：； 故选A． 6. 如图，直线经过和两点，则不等式组的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考出来一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 先找出两条直线的交点，再根据数形结合思想求解． 【详解】解：当时，， 与相交于点， 由图象得： 不等式组的解集为：， 故选：A． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 7. 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 8. 2024年3月8日，我国在南海珠江口盆地发现首个深水深层大油田——开平南油田，探明油气地质储量1.02亿吨油当量．该油田是全球核杂岩型凹陷最大的商业发现．数据“1.02亿”精确到的数位是______位． 【答案】百万 【解析】 【分析】本题考查了学生对精确度的掌握情况，精确到哪一位就是看这个近似数的最后一位的数字在什么位，掌握“精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中的位置决定”是解题的关键． 【详解】解：1.02亿， 故精确到百万位， 故答案为：百万． 9. 在中，，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据“等角对等边”可得，进而可得答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， 故答案为：3． 10. 若点与点B关于y轴对称，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键．根据“点关于y轴的对称点的坐标是”，即可得出答案． 【详解】解：点与点B关于y轴对称， 点B的坐标为 故答案为： 11. 若，为实数，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，能够根据非负数的性质正确得出a、b的值是解题关键．非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 12. 将直线沿y轴向上平移3个单位，所得图象对应的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移法则是关键．根据一次函数图象的平移法则解答即可． 【详解】解：将直线沿y轴向上平移3个单位，所得图象对应的函数表达式为． 故答案为：． 13. 已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，．若这两个三角形全等，则x的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点，根据全等三角形的对应边相等即可得到答案，熟练掌握全等三角形对应边相等是解决此题的关键． 【详解】解：两个三角形全等， ，， 解得：， 故答案为：． 14. 已知，其中m，n为任意数，是直线上的两点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数关系、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数性质是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征及一次函数性质解答即可． 【详解】解：，， 随x的增大而增大， ，即 故答案为： 15. 如图，在中，是边上的高，，，，E为上一点，将沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重合，折痕交于点H，连接，则______． 【答案】 【解析】 分析】本题考查了折叠问题，勾股定理； 连接，由折叠的性质可得，设，由勾股定理得到，求出，得到，再由三角形面积公式即可求出． 【详解】解：连接， 将沿过点E的直线折叠，点A与点B重合，是折痕， 垂直平分， ， 设，则， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形．最少只需要剪_________刀． 【答案】2 【解析】 【分析】利用使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，结合图形得出即可． 【详解】解：如图所示：由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，正方形的边长为：．最少只需剪2刀．　 　 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，勾股定理及无理数的计算，结合利用勾股定理得到四边形四条边相等是解题关键． 三、解答题：本题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）2；（2）或 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的运算，零指数幂，利用平方根求方程的解，正确计算是解题的关键． （1）根据二次根式的性质、零指数幂法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）根据平方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴， ∴， ∴或． 18. 如图，在与中，于点E，于点D，，．证明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 19. 已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）已知点在此函数图象上，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义、待定系数法求函数解析式、整体代入求代数式的值，熟练掌握以上知识点是关键． 待定系数法求出一次函数解析式即可； 根据一次函数图象上点的坐标特征解答后得到，再整体代入所求代数式求值即可． 【小问1详解】 解：根据题意设， 当时，， ，解得， 与x的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：点在函数图象上， ，整理得， ． 20. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12． ①求BD的长度； ②求四边形ABCD的面积． 【答案】①5；②36 【解析】 【分析】①根据勾股定理求解即可； ②先根据勾股定理的逆定理判断∠DBC=90°，再根据S四边形ABCD=S△ABD+S△DBC解答即可． 【详解】解：①△ABC中，∵∠A＝90°，AB＝3，AD＝4， ∴； ②在△BDC中，∵，， ∴， ∴∠DBC=90°， ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△DBC=． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，属于常考题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为． （1）试判断点P是否在直线上，并说明理由； （2）若点A是直线与y轴的交点，且的面积为．求点P的坐标． 【答案】（1）在，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可； （2）根据条件列出方程，即可得到点P坐标． 【小问1详解】 解：点P在直线上，理由如下： 当时，， 点P在直线上． 【小问2详解】 解：点A是直线与y轴的交点， ， 点P的坐标为， ，即， 解得：或2， 点P的坐标为或． 22. 已知：如图，，M，N分别是，的中点．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【详解】证明：连接、，如图 ∵，且M为的中点， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵N为中点， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键． 23. 如图，在中，，． （1）用无刻度直尺与圆规在边上作出D，E两点（点D在点E的左侧），使得为等边三角形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据你的作法，证明（1）中结论成立并求出的边长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）分别作，的垂直平分线即可； （2）根据“三个角相等的三角形是等边三角形”进行判断，再根据勾股定理求解． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求； 【小问2详解】 解：，， ， 由作图得：D、E分别在，的垂直平分线上， ，， ，， ， 同理：， ， 为等边三角形， 过A作于点H， 则，， ，即， 解得：， 的边长为 【点睛】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 如图，在四边形中，点E，F分别在边，上，连接． （1）从①；②；③平分这三个信息中，选择两个作为条件，剩余的一个作为结论构成一个命题．试写出你所构造的命题，判断命题是否正确，并说明理由； 你选择的条件是______，______；结论是______．（只要填写序号） （2）在（1）的条件下，若，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）①，②，③，或①，③；②；（答案不唯一）命题正确，理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，命题与定理，及三角形的外角性质， ①选择的条件是①，②；利用即可证明≌，则，即有平分；②选择的条件是①，③；结论是②；根据角平分线得，利用证明≌，则有； 由知≌，有，则和，即有，结合三角形外角得，那么 【小问1详解】 解：①选择的条件是①，②；结论是③；或①，③；②；（答案不唯一）命题正确；理由如下： 和中， ， ≌， ， 平分， ②选择的条件是①，③；结论是②；命题正确；理由如下： 平分， 在和中， ， ≌， ∴ 故答案为：①，②；③；或①，③；②；（答案不唯一） 【小问2详解】 ，理由如下： 由知， ， ， ， ∴， ， ， 25. 近年来，某市加大了公共充电站的建设力度，综合实践小组的同学对某一充电站A、B两种型号充电桩的每月营收情况进行了调查，调查结果如表所示． 名称 成本（含电费、场地租金、设备维护等） 充电费 充电桩A 元/度 元/度 充电桩B 充电量小于等于2000度时，成本为元/度 元/度 充电量大于2000度时，超过部分的成本为a元/度 问题解决： （1）若汽车充电的电量为x度． ①充电桩A的成本（元）与x的关系表达式为______； ②根据表格和图象信息，请分别写出当和时，在B型充电桩的成本（元）与x的关系表达式； （2）若该充电站站点A、B两种类型的充电桩共充电6000度，其中B型充电桩充电量不低于1600度，且不高于A型充电桩充电量的2倍．设A、B两种类型的充电桩所获总利润为（元），请求出w与B型充电桩充电量x之间的函数表达式，并为该充电站站点设计出获得最大总利润的供电方案． 【答案】（1）①；② （2）在A型充电桩充电2000度、在B型充电桩充电4000度时获得的总利润最大 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一元一次不等式组的解法、一次函数的增减性是解题的关键． （1）①②根据表格中充电桩A和B的成本分别计算即可； （2）根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集；按照x的取值范围，根据“总利润在充电桩A充电的收入在充电桩B充电的收入在充电桩A充电的成本在充电桩B充电的成本”写出w与B型充电桩充电量x之间的函数表达式，根据一次函数的增减性和对应x的取值范围，确定当x取何值时w的值最大，求出其最大值并比较最大值的大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：①充电桩A的成本与x的关系表达式为； ②当时，， 当时，； 当时，设、b为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得 当时，， 型充电桩的成本与x的关系表达式为． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得：， 当时， ； 当时， ； 与B型充电桩充电量x之间的函数表达式为： ； 当时，， ， 随x的减小而增大， ， 当时，w值最大， ，度； 当时，， ， 随x的增大而增大， ， 当时，w值最大， ，度； ， 在A型充电桩充电2000度、在B型充电桩充电4000度时获得的总利润最大． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线与y轴交于点P，与交于点点D为x轴上正半轴一动点，过点D作x轴的垂线与直线，分别相交于E，F两点，过点E作轴的直线交于点． （1）求a的值及的函数表达式； （2）当，求D点的坐标； （3）平面内存在一直线，对于的任意一个数值均可以满足，请直接写出k的取值范围； （4）以，为边作长方形，当点D在运动过程中，试探究M的运动轨迹是否为一条直线中的一部分？若是，求出该直线解析式；若不是，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或 （4）是， 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的图象及性质的应用等知识，熟练掌握其性质并能灵活运用数形结合分析问题是解决此题的关键． 根据直线过点得出a的值，将B，C两点坐标代入，进一步得出结果； 设点，则，，根据列出，进一步得出结果； 变形可得，从而得出过点，进而根据图象得出结果； 设点，则，，可得出，，根据得出，从而，进一步得出结果； 【小问1详解】 解：直线过点， ， 直线与x轴交于点A，与y轴交于点，与交于点， ， ， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设点，则，， 由得，， 舍去或， ； 【小问3详解】 解：， 当时，， 过点， ，对于的任意一个数值均可以满足， 直线在直线和直线之间， 或； 【小问4详解】 解：M的运动轨迹是一条直线中的一部分，理由如下， 设点，则，， 四边形是长方形， ，， 由得，， ， 由得，， 点M在直线上运动． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年江苏省泰州市靖江市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的立方根为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 4 2. 下列图案不是轴对称图形的是（　　） A. B. C D. 3. 平面直角坐标系是法国数学家笛卡尔将代数与几何连接起来的桥梁，它使得平面图形中的点与有序数对建立了一一对应关系，从而能把形象的几何图形和运动过程变成代数的形式，使得用代数方法研究几何问题成为现实．这种研究方法体现的数学思想是（　　） A. 数形结合思想 B. 类比思想 C. 特殊到一般思想 D. 分类讨论思想 4. 下列各组数中，是勾股数的是（    ） A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. ，， D. 4，6，8 5. 若直线轴，M点的坐标为，且线段，点N在点M的左侧，则点N的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，直线经过和两点，则不等式组的解集为（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 7. 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）． 8. 2024年3月8日，我国在南海珠江口盆地发现首个深水深层大油田——开平南油田，探明油气地质储量1.02亿吨油当量．该油田是全球核杂岩型凹陷最大的商业发现．数据“1.02亿”精确到的数位是______位． 9. 在中，，，则______． 10. 若点与点B关于y轴对称，则点B的坐标为______． 11. 若，为实数，且，则_________． 12. 将直线沿y轴向上平移3个单位，所得图象对应函数表达式为______． 13. 已知一个三角形三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，．若这两个三角形全等，则x的值是______． 14. 已知，其中m，n为任意数，是直线上的两点，则k的取值范围是______． 15. 如图，在中，是边上的高，，，，E为上一点，将沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重合，折痕交于点H，连接，则______． 16. 把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形．最少只需要剪_________刀． 三、解答题：本题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在与中，于点E，于点D，，．证明：． 19. 已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）已知点在此函数图象上，求代数式的值． 20. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12． ①求BD的长度； ②求四边形ABCD的面积． 21. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为． （1）试判断点P是否在直线上，并说明理由； （2）若点A是直线与y轴的交点，且的面积为．求点P的坐标． 22. 已知：如图，，M，N分别是，的中点．求证：． 23. 如图，在中，，． （1）用无刻度直尺与圆规在边上作出D，E两点（点D在点E的左侧），使得为等边三角形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据你的作法，证明（1）中结论成立并求出的边长． 24. 如图，在四边形中，点E，F分别在边，上，连接． （1）从①；②；③平分这三个信息中，选择两个作为条件，剩余的一个作为结论构成一个命题．试写出你所构造的命题，判断命题是否正确，并说明理由； 你选择的条件是______，______；结论是______．（只要填写序号） （2）在（1）的条件下，若，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 25. 近年来，某市加大了公共充电站的建设力度，综合实践小组的同学对某一充电站A、B两种型号充电桩的每月营收情况进行了调查，调查结果如表所示． 名称 成本（含电费、场地租金、设备维护等） 充电费 充电桩A 元/度 元/度 充电桩B 充电量小于等于2000度时，成本元/度 元/度 充电量大于2000度时，超过部分的成本为a元/度 问题解决： （1）若汽车充电的电量为x度． ①充电桩A的成本（元）与x的关系表达式为______； ②根据表格和图象信息，请分别写出当和时，在B型充电桩的成本（元）与x的关系表达式； （2）若该充电站站点A、B两种类型的充电桩共充电6000度，其中B型充电桩充电量不低于1600度，且不高于A型充电桩充电量的2倍．设A、B两种类型的充电桩所获总利润为（元），请求出w与B型充电桩充电量x之间的函数表达式，并为该充电站站点设计出获得最大总利润的供电方案． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线与y轴交于点P，与交于点点D为x轴上正半轴一动点，过点D作x轴的垂线与直线，分别相交于E，F两点，过点E作轴的直线交于点． （1）求a的值及的函数表达式； （2）当，求D点的坐标； （3）平面内存在一直线，对于的任意一个数值均可以满足，请直接写出k的取值范围； （4）以，为边作长方形，当点D在运动过程中，试探究M运动轨迹是否为一条直线中的一部分？若是，求出该直线解析式；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$