精品解析：山西省吕梁市交城县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年第一学期期末质量监测试题 八年级数学 (满分120分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷 选择题(共30分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1. 有两边长为4和8的等腰三角形周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 16或20 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系的应用，根据等腰三角形的性质和三边关系的知识点求解即可． 【详解】解：①若腰长为，则等腰三角形的三边长为，，，，不符合三角形的三边关系，故腰长不能为； ②若腰长为，则等腰三角形的三边长为，，，符合三角形的三边关系，此时等腰三角形的周长为． 综上所述，这个等腰三角形的周长为． 故选D． 2. 下列各式运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘，合并同类项，幂的乘方，负整指数幂，积的乘方，熟练掌握同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方、负整指数幂、积的乘方运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘运算法则计算并判定A；根据合并同类项运算法则计算并判定B；根据负整指数幂运算法则计算并判定C；根据积的乘方、幂的乘方运算法则计算并判定D． 【详解】解：A、，计算正确，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项符合题意； C、，计算正确，故此选项不符合题意； D、，计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，两直线平行内错角相等，根据两直线平行内错角相等求出的度数，再由三角形外角性质求出结果即可． 【详解】解：， ，， ， 故选：B． 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：x=1， 故选B． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键. 5. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ∴当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，无法证明； 故选：D． 6. 把分解因式得，则常数的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式；根据多项式乘以多项式法则计算，再对比原多项式即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 7. 山西省图书馆创始于清宣统元年（1909年），是国内为数不多的百年老馆之一．小聪和小宇作为省图书馆的志愿者，负责整理读者阅览后的图书．已知小聪平均每小时整理图书的数量是小宇平均每小时整理图书的数量的倍，小聪整理156本图书所用的时间比小宇整理100本图书所用的时间多15分钟．问小宇平均每小时整理多少本图书？设小宇平均每小时整理本图书，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小宇平均每小时整理本图书，则小聪每小时可以整理册图书，根据“小聪整理156本图书所用的时间比小宇整理100本图书所用的时间多15分钟”可列出方程． 【详解】解：设小宇平均每小时整理本图书，则小聪每小时可以整理册图书， 由题意得，， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系． 8. 如图，在中，，点D是的中点，点E是的中点，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定，三线合一，含30度角的直角三角形的性质，先证明是等边三角形，再根据三线合一得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点D为直线上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键．连接，则，，若要的周长最小，则三点共线，即为与的交点，的周长为，问题可解． 【详解】解：连接，如图， 依题意， 为边的垂直平分线， 的周长， 故选：C． 10. 如图，的面积为6，平分，于点P，连接，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积．延长交于点，根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，，推出． 【详解】解：延长交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题(共90分) 二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11. 计算：______________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 先进行括号内运算，再计算乘除即可． 【详解】解： ． 12. 某种微粒的直径为米，该微粒的直径用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 一个多边形的内角和比它的外角和的倍少，则这个多边形的边数是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】多边形的外角和为，再结合题意利用多边形内角和公式即可求解． 【详解】多边形的外角和为，根据题意可求出该多边形的内角和为．根据多边形内角和公式，可求出边数． 故答案为：5． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，知道多边形的外角和为是解答本题的关键． 14. 如图，在长方形中，点E是的中点，将沿着折叠得到，延长交于点G，若，，则的长为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，直角三角形全等的判定和性质，连接，证明，结合折叠前后对应边相等，可得，由此可解． 【详解】解：如图，连接， 在长方形中，点E是的中点， ，， 将沿着折叠得到， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，是的外角，是的平分线，是的平分线，与交于点E，连接．若，则______________． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义以及性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 延长，作，，，设，则，进而根据三角形的外角的性质得出，证明，即可求解． 【详解】解：延长，作，，， 设， 平分， ，， 平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：55． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据整式的运算法则计算即可求解； （）根据整式的运算法则和乘法公式计算即可求解； 本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 = ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. （1）因式分解：． （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解分式方程． （1）先提取公因式y，再用平方差公式分解； （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】解：（1） = = （2） 两边都乘以，得 检验：当时， ∴原分式方程的解是 18. 如图，． （1）尺规作图：作边上的中线，并延长，在延长线上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1） 如图所示： （2） 证明：由（1）可知， ∵为中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，全等三角形的判定与性质． （1）作线段的垂直平分线交于点O，连接，并延长，在延长线上截取，连接； （2）根据证明得，再根据即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 习总书记说：青山绿水就是金山银山．我县随着环境建设的持续推进，雾霾天气的天数已经降到近十年的最低．为了减少雾霾天气对身体的影响，班主任王老师决定为班上的学生每人购买一个口罩．在结算时，商家说：“一共元，但是如果您再多买一个，那么可以打九折，价钱比现在还便宜元．”王老师说：“那好吧．”于是就给自己也买了一个．请你求出这个班有多少名学生？ 【答案】名 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设这个班有名生，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这个班有名学生， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，并且符合题意， 答：这个班有名学生． 20. 如图，点D是外一点，连接，与交于点O，下列三个等式：①；②；③．请从这三个等式中，任意选择两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，写出所有成立的情况，并进行证明． 【答案】 第一种情况：条件：①② 结论：③ 证明：在和中 ∴ ∴； 第二种情况：条件：①③ 结论：② 证明：在和中 ∴； ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，分条件：①②，结论：③；条件：①③，结论：②两种情况，证明，即可得出结论． 【详解】略 21. 定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． （1）求的值； （2）计算． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，分式的混合运算，解分式方程： （1）根据列式计算即可； （2）根据及分式的混合运算法则计算； （3）将变形为分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 22. 下面是小宇同学的数学小论文，请你仔细阅读并完成相应的任务． 折叠正方形 在数学活动时折叠的本质是图形的轴对称，通过轴对称进行图形的变换可以构造形式多样的几何图形，利用轴对称的知识研究问题也是常用的方法．如图1，四边形是正方形，点是边上的一点，，将沿着折叠得到，连接交于点，过点作于点．则有．理由如下： 方法一：由折叠可知： 是的垂直平分线（依据1）， ∴， ∵，∴，∴ ∵四边形是正方形，∴ ∴，∴ ∵， ∴（依据2） ∴ 方法二： 任务： （1）材料中的依据1是指 ；依据2是指 ； （2）请你帮助小宇同学写出方法二； （3）如图2，把材料中的图形延长交的延长线于点，其余条件保持不变，若，求的长度． 【答案】（1）轴对称的性质；角平分线的性质 （2） 方法二： ∵将沿着折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质可得是的垂直平分线，根据角的平分线的性质可推出，即可得出答案； （2）根据轴对称的性质得，，推出，证明为等边三角形，得，根据正方形的性质推出，再根据含角的直角三角形的性质得，即可推出结论； （3）根据正方形的性质得，，再根据可得出，，根据轴对称的性质得，证明是等边三角形，得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：材料中的依据1是指轴对称的性质；依据2是指角平分线的性质； 故答案为：轴对称的性质；角平分线的性质；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∵将沿着折叠得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等知识点．掌握轴对称的性质是解题的关键． 23. 综合与实践 问题情境： 在数学课上，老师让同学们利用两个等腰直角三角形与研究数学问题．老师首先给出如下问题：等腰直角三角形与如图1所示放置，点A与点D重合，，，，连接，．求证． 初步探究： （1）请你解答老师给出的问题； 深入探究： （2）深思小组的同学把等腰直角三角形与按图2所示放置，点D在边上，与交于点M，与交于点N．当点D为的中点时，请你判断与有怎样的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）勤思小组的同学按照图3的方式放置两个等腰直角三角形与，在小组讨论后提出如下问题：点H是的中点，过点A，H的直线交于点G．若，，求的面积（直接写出问题的答案）． 【答案】 （1）∵，， 又∵，即， ∴， ，即 在与中， ， ∴， ∴． （2）， 理由：连接，如图2， ∵，，点D为的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （3）75 【解析】 【分析】（1）证明，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）连接，证明，即可由全等三角形的性质得出结论； （3）过点F作于N，过点B作交延长线于M，过点C作于P，过点E作于Q，先证明，得，，再证明，得，，然后证明得，，从而可证得 ，得到点P、Q与点G重合，所以，求得，，最后利用求解． 【详解】解：（1）略 （2） 略 （3）过点F作于N，过点B作交延长线于M，过点C作于P，过点E作于Q，如图， ∵，， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴点P、Q与点G重合， ∴， 设，则， ∵ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，余角的性质，此题属全等三角形综合应用题目，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期末质量监测试题 八年级数学 (满分120分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷 选择题(共30分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1. 有两边长为4和8的等腰三角形周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 16或20 D. 20 2. 下列各式运算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 5. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 6. 把分解因式得，则常数的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 7. 山西省图书馆创始于清宣统元年（1909年），是国内为数不多的百年老馆之一．小聪和小宇作为省图书馆的志愿者，负责整理读者阅览后的图书．已知小聪平均每小时整理图书的数量是小宇平均每小时整理图书的数量的倍，小聪整理156本图书所用的时间比小宇整理100本图书所用的时间多15分钟．问小宇平均每小时整理多少本图书？设小宇平均每小时整理本图书，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点D是的中点，点E是的中点，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点D为直线上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 10. 如图，的面积为6，平分，于点P，连接，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷 非选择题(共90分) 二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11. 计算：______________________． 12. 某种微粒的直径为米，该微粒的直径用科学记数法表示为______米． 13. 一个多边形的内角和比它的外角和的倍少，则这个多边形的边数是_______． 14. 如图，在长方形中，点E是的中点，将沿着折叠得到，延长交于点G，若，，则的长为___________________． 15. 如图，是的外角，是的平分线，是的平分线，与交于点E，连接．若，则______________． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. 计算： （1）； （2）． 17. （1）因式分解：． （2）解分式方程：． 18. 如图，． （1）尺规作图：作边上的中线，并延长，在延长线上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 19. 习总书记说：青山绿水就是金山银山．我县随着环境建设的持续推进，雾霾天气的天数已经降到近十年的最低．为了减少雾霾天气对身体的影响，班主任王老师决定为班上的学生每人购买一个口罩．在结算时，商家说：“一共元，但是如果您再多买一个，那么可以打九折，价钱比现在还便宜元．”王老师说：“那好吧．”于是就给自己也买了一个．请你求出这个班有多少名学生？ 20. 如图，点D是外一点，连接，与交于点O，下列三个等式：①；②；③．请从这三个等式中，任意选择两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，写出所有成立的情况，并进行证明． 21. 定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． （1）求的值； （2）计算． （3）若，求的值． 22. 下面是小宇同学的数学小论文，请你仔细阅读并完成相应的任务． 折叠正方形 在数学活动时折叠的本质是图形的轴对称，通过轴对称进行图形的变换可以构造形式多样的几何图形，利用轴对称的知识研究问题也是常用的方法．如图1，四边形是正方形，点是边上的一点，，将沿着折叠得到，连接交于点，过点作于点．则有．理由如下： 方法一：由折叠可知： 是的垂直平分线（依据1）， ∴， ∵，∴，∴ ∵四边形是正方形，∴ ∴，∴ ∵， ∴（依据2） ∴ 方法二： 任务： （1）材料中的依据1是指 ；依据2是指 ； （2）请你帮助小宇同学写出方法二； （3）如图2，把材料中的图形延长交的延长线于点，其余条件保持不变，若，求的长度． 23. 综合与实践 问题情境： 在数学课上，老师让同学们利用两个等腰直角三角形与研究数学问题．老师首先给出如下问题：等腰直角三角形与如图1所示放置，点A与点D重合，，，，连接，．求证． 初步探究： （1）请你解答老师给出的问题； 深入探究： （2）深思小组的同学把等腰直角三角形与按图2所示放置，点D在边上，与交于点M，与交于点N．当点D为的中点时，请你判断与有怎样的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）勤思小组的同学按照图3的方式放置两个等腰直角三角形与，在小组讨论后提出如下问题：点H是的中点，过点A，H的直线交于点G．若，，求的面积（直接写出问题的答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $