专题08江苏省2025年九年级中考数学一轮复习讲义——平行四边形

一轮复习——平行四边形 要点一、旋转的定义及性质 旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 旋转性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等 要点二、中心对称与中心对称图形 1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) . 2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形； （2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 要点三、平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等（邻角互补）； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积： 4．判定： 边： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角： （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角： （6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线： （7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 特别说明：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点四、矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1)有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 特别说明：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点五、菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 要点六、正方形 1. 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. （7）一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 要点七、三角形的中位线 1.三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 2.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 例1．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为 ． 例1-1．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N． (1)求证：四边形是平行四边形；(2)若的面积为4，求的面积． 例1-2．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，平分，点E是的中点，且于点D．若，，则的长为 ． 例2．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知矩形的一边长为12，点P为边上一动点，连接，且满足，则的值可能是（　　） A．6 B．6.8 C． D． 例2-1．（2024·江苏扬州·一模）如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且． (1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求四边形的面积． 练习 1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．1或 D．1或2 3．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，在ABCD中，，，点E在AD上，，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江苏泰州·中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，平分交于点，连接交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2022·江苏南京·中考真题）如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则 ． 7．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 ． 8．（2022·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是 ．    9．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ ． 10．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形，，点E在BC上，，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一轮复习——平行四边形 要点一、旋转的定义及性质 旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 旋转性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等 要点二、中心对称与中心对称图形 1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) . 2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形； （2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 要点三、平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等（邻角互补）； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积： 4．判定： 边： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角： （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角： （6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线： （7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 特别说明：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点四、矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1)有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 特别说明：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点五、菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 要点六、正方形 1. 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. （7）一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 要点七、三角形的中位线 1.三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 2.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 例1．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长． 【详解】解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，∴∠ABH=∠CBH， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴， ∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，∴∠CBH=∠CHB， ∴，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键． 例1-1．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N． (1)求证：四边形是平行四边形；(2)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)见解析(2)12 【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形，四边形均为平行四边形，进而得到：，即可得证；（2）连接，推出，，进而得到，求出，再根据，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E、F、G、H分别是各边的中点，∴， ∴四边形为平行四边形，同理可得：四边形为平行四边形， ∴，∴四边形是平行四边形； （2）解：连接，    ∵为的中点，∴，∴， ∴，∴，同理可得： ∴，∴， ∵，∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键． 例1-2．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，平分，点E是的中点，且于点D．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，延长交AB于点 ，先证明，得出，然后利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴， ∵，，∴是的中位线，∴，故答案为：． 例2．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知矩形的一边长为12，点P为边上一动点，连接，且满足，则的值可能是（　　） A．6 B．6.8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，矩形的性质，三角形的面积等知识，考虑的两个临界点，①如图1，当点P与点A重合时，最小，此时的值最大；②如图2，当点P是的中点时，最大，此时最小；分别计算的值，确定的最大值和最小值，可得结论． 【详解】解：①如图1，当点P与点A重合时， ∵四边形是矩形，∴，∵， ∴此时是满足题意的最大值； ②如图2，当点P是的中点时，此时最小， 此时，过点B作于E，设，则 ∵，∴，， ∴，解得：（舍）或， ∴，综上，，即．故选：B． 例2-1．（2024·江苏扬州·一模）如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且． (1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）如图，连接交于，则，证明，则，证明，则，进而结论得证；（2）由，可得，即，由菱形的性质可知，，，由勾股定理得，，可求，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接交于， ∵平行四边形，∴， ∵，，，∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴四边形是菱形； （2）解：∵，∴，即， ∵四边形是菱形；∴，， 由勾股定理得，，解得，， ∴，∴，∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正切，菱形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正切，菱形的判定与性质，勾股定理是解题的关键 练习 1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，交于点，根据矩形的性质以及以点，为圆心，线段，长为半径画弧得到，，设，故，在中求出的值，从而得到，从而得到，即可求得答案． 【详解】解：设，交于点， 由题意得，，， 四边形是矩形，，， ，，设，故， 在中，，即，解得，， ，，， ．故选：C．    【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及正切值的求法，本题中得到是解题的关键． 2．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．1或 D．1或2 【答案】D 【分析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解． 【详解】解：∵，∴， ∵点D为的中点，∴，∵，∴， ①当点E为的中点时，如图，∴，       ②当点E为的四等分点时，如图所示：∴，综上所述：或2；故选D． 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键． 3．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，在ABCD中，，，点E在AD上，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作BF⊥AD于F，由平行四边形性质求得∠A=75°，从而求得∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，则△BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，设BF=EF=x，则BD=2x，DF=，DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，继而求得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+X2=（8-4）x2，从而求得，再由AB=CD，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点B作BF⊥AD于F， ∵ABCD，∴CD=AB，CDAB，∴∠ADC+∠BAD=180°， ∵∴∠A=75°，∵∠ABE=60°，∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°， ∵BF⊥AD，∴∠BFD=90°，∴∠EBF=∠AEB=45°，∴BF=FE， ∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=75°，∴∠ADB=30°，设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF=， ∴DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x， 由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+x2=（8-4）x2， ∴∴，∵AB=CD，∴，故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，过点B作BF⊥AD于F，构建直角三角形与等腰直角三角形是解题的关键． 4．（2023·江苏泰州·中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积． 【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°， 连接，相交于点O，与交于点E，    ∵四边形是菱形，，∴， ∵，∴，，∴， ∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，∴， ∴A，，C三点共线，∴， 又∵，∴，， ∵重叠部分的面积，∴重叠部分的面积； ②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积，故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键． 5．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，平分交于点，连接交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，延长交延长线于点，过点作于点，由矩形的性质可得 ，，，根据全等三角形的判定与性质可得，，然后利用相似三角形的判定与性质可得答案，熟练掌握以上知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交延长线于点，过点作于点， 在矩形中，，，， ∵平分，，，∴，设，则， ∵点是的中点，∴，∵， 在和中，，∴， ∴，，在中，，∴ ， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，故选：． 6．（2022·江苏南京·中考真题）如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则 ． 【答案】/32度 【分析】根据平行四边形的性质得到，再用平行线的性质得到即可解答． 【详解】解：过点作，∴ ∵，∴，∴，∴，∵在中，∴， ∵，∴，∵，∴，答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 7．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 ． 【答案】10 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：如图，设与的交点为， 根据作图可得，且平分，， 四边形是平行四边形，，， 又， ，，， ，四边形是平行四边形， 垂直平分，，四边形是菱形， ，，，，为的中点， 中， ，，， ，四边形AECF的周长为．故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 8．（2022·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】由全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性质得到即可解答． 【详解】解：作轴，轴于点，与交于点， ∵点的坐标，点的坐标是，∴，，， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴点，故答案为．    【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正确添加辅助线是解题的关键． 9．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ ． 【答案】1 【分析】连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可． 【详解】解：连接AG，EG，如图， ∵HG垂直平分AE，∴AG=EG， ∵正方形ABCD的边长为8，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8， ∵点E是CD的中点，∴CE=4，设BG=x，则CG=8-x， 由勾股定理，得EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2， ∴（8-x）2+42=82+x2，解得：x=1，故答案为：1． 【点睛】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键． 10．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形，，点E在BC上，，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值． 【答案】(1)(2) 【分析】(1)先由可求得的长度，再由角度关系可得，即可求得的长; (2)过F作于，利用勾股定理列方程，即可求出的长度，同时求出的长度，得出答案. 【详解】（1）设，则，∴， 在中，，∴，∴，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，由折叠可知， ∴，，∴，∴， 在中，. （2）过F作FM⊥BC于M，∴∠FME=∠FMC=90°， 设EM=a,则EC=3-a，在中， ， 在中，，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴ . 【点睛】此题考查锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$