专题05江苏省2025年九年级中考数学一轮复习讲义——三角形（等腰、等边三角形）

一轮复习——三角形 题型01 等腰三角形 1．（2024·江苏镇江·二模）如图，在中，，，点D是平面上一点，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，如图，过作，且，连接，，证明，可得，可得当取最大值，则取最大值，结合，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，过作，且，连接，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴当取最大值，则取最大值， ∵， ∴当时，的最大值为， 故选C 2．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，和都是等边三角形，点在的延长线上．，若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质．过点作，垂足为点，设，时而可表示出相关线段长，再根据列出方程求得，最后根据可得答案． 【详解】解：过点作，垂足为点， 设， ， ，， ， 和都是等边三角形， ，，， ，， ， 3．（2024·江苏泰州·三模）如图，在等边中，点F为边上的中点，以F为顶点作一个的角交边于D、E两点，连接，则知道下列哪个条件就可以计算的周长（　　） A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．的周长 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握这些性质和判定是解答的关键．取的中点G，连接，在截取，连接，分别证明，得到，再证明得到，，，证明是等边三角形，得到，，证明得到，进而推导出，即可得出答案． 【详解】解：取的中点G，连接，在截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F为边上的中点， ∴，则，即，又， ∴， ∴，又，， ∴， ∴，， 则， ∵点F为边上的中点，点G是的中点， ∴，又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，，又， ∴， ∴， ∴ ， 则， 故知道的周长就可以计算的周长． 故选：D． 题型02 等腰三角形的性质——“三线合一” 1．（2024·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点E在上（端点除外），，作，垂足为F．当时，的长是 ；当时，m的取值范围是 ． 【答案】 / 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．当时，利用勾股定理结合等积法求得，，利用等腰三角形的性质求得，据此求解即可；当，时，同理求得，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， 当时， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 同理求得，， ∴， 当时，则， 解得（负值已舍）， ∵， ∴， 故答案为：；． 2．（2024·江苏无锡·三模）如图，内接于，的平分线交于点G，过G作∥BC分别交，的延长线于点D，E． (1)求证：是的切线； (2)已知，，点I为的内心，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三线合一、证明某直线是圆的切线、三角形内心有关应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，，，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形三线合一得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接， ，根据角平分线定义得到，，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，，， ∵的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，， ∵点I为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，点I为的内心，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握． 3．（2024·江苏连云港·二模）如图，中，，交于D点，E点是的中点，分别过D，E两点作线段的垂线，垂足分别为G，F两点．    (1)求的长； (2)求证：四边形为矩形． 【答案】(1)5 (2)见解析 【知识点】三线合一、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是矩形 【分析】（1）根据题意可得是三角形中线，即可求解； （2）欲证明四边形为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可． 【详解】（1）∵， ∴D点是的中点， ∵E点是的中点， ∴ （2）证明：∵， ∴D点是的中点， ∵E点是的中点， ∴ ∵， ∴ ∴四边形为平行四边形 ∵ ∴四边形为矩形 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质，灵活运用所学知识是关键． 题型03 找（画）等腰三角形 1．（2023·江苏盐城·模拟预测）我们把有一组邻边相等，一组对边平行但不相等的四边形称作“仿菱形” (1)证明“仿菱形”性质：“仿菱形”的一条对角线平分一个内角．（要求：根据图1补全已知，写出求证，并写出完整的证明过程） 已知：如图，在“仿菱形”中，______． 求证：______ ． 证明： (2)如图2，在中，，，，若点D，E分别在边上，且四边形为“仿菱形”． ①尺规作图：作出当时的“仿菱形”；保留作图痕迹，不写作法 ②求出此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的定义 【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“仿菱形”，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，正确理解“仿菱形”的定义是解题的关键． （1）由“仿菱形”的定义写出已知，求证，由等腰三角形的性质得出由平行线的性质得出则可证出结论； （2）①由题意作出图形即可； ②证出，则可得出答案． 【详解】（1）解：已知：如图，在“仿菱形”中，，， 求证：平分 证明：， 又， 即平分； 故答案为：，，平分 （2）①作法一：如图，四边形即为所求作“仿菱形”． 作法二：如图， ②时，， ， ，，， ， ． 2．（2024·江苏淮安·一模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段两端点、都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中完成画图． (1)在图中，画出，使，； (2)在（1）条件下，在边上画出点，使； (3)在（2）条件下，的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】格点图中画等腰三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰直角三角形，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰直角三角形的定义画出图形； （2）取格点，，，连接，交于点，连接交于点，点即为所求（由，推出，推出）； （3）利用平行线等分线段定理解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：∵， ∴， ， ． 故答案为：． 题型04 等腰三角形的判定——“等角对等边” 1．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且平分，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，先证四边形是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】证明：∵ 四边形是平行四边形, ， 又 ， ∴四边形是平行四边形. ∵ 平分 ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形． 题型05 等腰三角形的性质与判定 1．（2022·江苏泰州·一模）如图，在中，点D在边上，平分，经过点B、C的交于点E，连接交于点F，． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5 【知识点】等腰三角形的性质和判定、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，然后利用外角性质及切线的判定方法可得结论 （2）根据等腰三角形的性质可得，再根据解直角三角形及勾股定理可得的长，进而得到答案． 【详解】（1）连接，如图， ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是半径 ∴是的切线； （2）∵，平分， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 令 ∴ ∵ ∴ ，即 ∴ ∴的半径为5 【点睛】此题考查的是外角的性质，切线的定义，等腰三角形的性质，解直角三角形和勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 题型06 等边三角形的性质与判定 1．（2024·江苏扬州·三模）如图，等边的边长是4，D，E分别为的中点，延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形中位线定理得出，，结合得出，即可得证； （2）由平行四边形的性质得出，由等边三角形的性质结合勾股定理得出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可得：四边形是平行四边形 ∴， ∵等边的边长是4，为的中点， ∴，，， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一轮复习——三角形 题型01 等腰三角形 1．（2024·江苏镇江·二模）如图，在中，，，点D是平面上一点，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，和都是等边三角形，点在的延长线上．，若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．2 3．（2024·江苏泰州·三模）如图，在等边中，点F为边上的中点，以F为顶点作一个的角交边于D、E两点，连接，则知道下列哪个条件就可以计算的周长（　　） A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．的周长 题型02 等腰三角形的性质——“三线合一” 1．（2024·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点E在上（端点除外），，作，垂足为F．当时，的长是 ；当时，m的取值范围是 ． 2．（2024·江苏无锡·三模）如图，内接于，的平分线交于点G，过G作∥BC分别交，的延长线于点D，E． (1)求证：是的切线； (2)已知，，点I为的内心，求的长． 3．（2024·江苏连云港·二模）如图，中，，交于D点，E点是的中点，分别过D，E两点作线段的垂线，垂足分别为G，F两点．    (1)求的长； (2)求证：四边形为矩形． 题型03 找（画）等腰三角形 1．（2023·江苏盐城·模拟预测）我们把有一组邻边相等，一组对边平行但不相等的四边形称作“仿菱形” (1)证明“仿菱形”性质：“仿菱形”的一条对角线平分一个内角．（要求：根据图1补全已知，写出求证，并写出完整的证明过程） 已知：如图，在“仿菱形”中，______． 求证：______ ． 证明： (2)如图2，在中，，，，若点D，E分别在边上，且四边形为“仿菱形”． ①尺规作图：作出当时的“仿菱形”；保留作图痕迹，不写作法 ②求出此时的长． 2．（2024·江苏淮安·一模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段两端点、都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中完成画图． (1)在图中，画出，使，； (2)在（1）条件下，在边上画出点，使； (3)在（2）条件下，的面积是________． 题型04 等腰三角形的判定——“等角对等边” 1．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且平分，．求证：四边形是菱形． 题型05 等腰三角形的性质与判定 1．（2022·江苏泰州·一模）如图，在中，点D在边上，平分，经过点B、C的交于点E，连接交于点F，． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的半径． 题型06 等边三角形的性质与判定 1．（2024·江苏扬州·三模）如图，等边的边长是4，D，E分别为的中点，延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$