精品解析：山东省聊城第三中学2024-2025学年高二上学期第四次质量检测数学试题

高二年级第四次质量检测（数学试题） 分值：150分 时间：120分钟 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（ ） A 1 B. C. D. 2 3. 正项等比数列中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 5. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 87 B. 86 C. 85 D. 84 6. 如果直线与双曲线没有公共点，的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，折纸后的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（ ） A. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则 B. 若两圆公共弦所在直线方程为，则 C. 若，与两圆都外切的圆的圆心轨迹为双曲线 D. 若直线平分圆，则 10. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当时， C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 当最小时，切线与准线的交点坐标为 11. 如图，在直四棱柱中，，，点在以线段为直径圆上运动，且三点共线，点分别是线段的中点，下列说法中正确的有（ ） A. 存在点，使得平面与平面不垂直 B. 当直四棱柱的体积最大时，直线与直线垂直 C. 当时，过点的平面截该四棱柱所得的截面周长为 D. 当时，过的平面截该四棱柱的外接球，所得截面面积的最小值为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是______. 13. 已知数列是等比数列，是其前项和.若，，则______. 14. 已知椭圆，焦点.若过的直线和圆相切，与椭圆的第一象限交于点P，且轴，则椭圆的离心率是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设圆C的圆心在直线上，圆C与直线相切于点 （1）求圆C方程； （2）过点的直线与圆C相交于A、B．若，求直线AB的方程． 16. 设数列的前项和为，已知. （1）证明：数列是等比数列； （2）若数列满足求数列的前20项的和. 17. 已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为(1，2). （1）求点A和点B的坐标； （2）过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M、N，求△MON（O为坐标原点）的面积最小值及此时直线l的方程. 18. 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线． （1）证明：平面； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值． 19. 双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． （1）求双曲线方程； （2）、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级第四次质量检测（数学试题） 分值：150分 时间：120分钟 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 2. 如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量数量符号的运算性质，结合空间向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为点为棱的中点， 所以， 因为四面体的棱长都是2， 所以， 故选：B 3. 正项等比数列中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求出即可得解. 【详解】由等比数列性质可知，解得， 所以， 故选：B 4. 已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，由抛物线的定义可得. 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离与到定直线的距离相等， 且点不在直线上， 则由抛物线定义知，动点的轨迹为抛物线. 故选：D. 5. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 87 B. 86 C. 85 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列中，若，则的性质和等差数列的前项和公式及等差中项的应用进行求解即可. 【详解】根据等差数列的性质可得， 所以． 故选：C. 6. 如果直线与双曲线没有公共点，的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程得，由题意该方程无解，进而可得. 【详解】直线方程与双曲线方程联立：，得， 由题意无解， 当时，即时，方程有一个解，直线方程与双曲线有一个公共点，舍去； 当时，则，即或，无公共点. 综上所述：或， 故选：B 7. 如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，折纸后的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建系，借助直线方向向量的夹角公式即可求解； 【详解】折起后的图形如下所示， 连接，，则，； 又平面平面，平面平面；平面； ，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立空间直角坐标系 设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标： ，，，，，，，， ；，. 故选：B 8. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（ ） A. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则 B. 若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C. 若，与两圆都外切的圆的圆心轨迹为双曲线 D. 若直线平分圆，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，设交点为，由，即可判断，对于B，两圆方程相减即可求解，对于C，由双曲线的定义即可判断；对于D，直线过圆心，代入即可判断， 【详解】 设圆为圆，圆的圆心为，半径， 设圆为圆，圆的圆心为，半径，. A选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为，根据圆的几何性质可知， 所以，，A选项正确. B选项，由两式相减并化简得， 则，，，此时，，，满足两圆相交，B选项正确； C选项，设动圆的圆心为，半径为，依题意得，，则，所以点的轨迹是双曲线的一支.错误； D选项，直线过圆心，即解得：，正确 故选：ABD 10. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当时， C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 当最小时，切线与准线的交点坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先设直线的方程为，再联立直线与抛物线方程得到关于的一元二次方程，从而得到，，再根据抛物线的定义及借助基本不等式即可判断A；先结合A得到，，再根据题意得到，，进而即可判断B；设，，在准线上的射影为，，，根据题意求得即可判断C；结合A可得，当最小时，不妨取，则可设切线的方程，再抛物线方程得到关于的一元二次方程，从而得到，从而得到切线方程，再联立准线方程即可求出交点，进而即可判断D． 【详解】对于A，依题意可设直线的方程为，，，，则，， 联立，消整理得， 则，代入得， 则，当且仅当时取等号， 所以 的最小值为，故A正确； 对于B，结合A可得，， 由，得，解得，，故B错误； 对于C，由题意得抛物线的准线方程为，焦点， 设，，在准线上的射影为，，， 则，，， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故C正确； 对于D，结合A可得，当最小时，不妨取， 则可设切线的方程为， 联立，消整理得， 则，解得，所以切线的方程为， 联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故D正确． 故选：ACD． 11. 如图，在直四棱柱中，，，点在以线段为直径的圆上运动，且三点共线，点分别是线段的中点，下列说法中正确的有（ ） A. 存在点，使得平面与平面不垂直 B. 当直四棱柱的体积最大时，直线与直线垂直 C. 当时，过点的平面截该四棱柱所得的截面周长为 D. 当时，过的平面截该四棱柱的外接球，所得截面面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】证明平面ABC可判断A；先判断四棱柱为正方体，然后转化为证明平面，即可判断B；取的中点为P，可得截面为梯形，可判断C；根据球的性质判断当小圆圆心为的中点时截面面积最小，然后求出小圆半径即可判断D. 【详解】对于A，因为AC为直径，所以， 又四棱柱为直四棱柱，所以平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为平面， 又平面，所以平面平面，A错误； 对于B，由上可知，四边形ABCD为矩形， 易知，当四边形ABCD的面积S最大时，棱柱的体积最大， 记，则， 当，即时，，此时四边形ABCD为正方形，， 所以，此时四棱柱为正方体， 连接， 因为平面，平面，所以， 由四边形为正方形，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，B正确； 对于C，由上可知，当时，四棱柱为正方体， 取的中点为P，易知，， 又，所以四边形为平行四边形，故， 所以，所以四点共面， 此时，， 所以梯形的周长为，C正确； 对于D，易知，正方体的外接球球心为正方体的中心， 由对称性可知，球心到M，N的距离相等， 记过的截面小圆半径为r，球的半径为R，球心到截面距离为d，的中点为Q， 则，故当d取得最大值时，r取得最小值， 由求得性质可知，当小圆圆心为的中点时d取最大值， 易知， 所以， 所以， 所以小圆面积为，D正确. 故答案为：BCD 【点睛】本题难点在于判断小圆圆心位于中点时，小圆面积最小，需要学生对球的性质熟悉，且具有较强的空间想象力. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案为： 13. 已知数列是等比数列，是其前项和.若，，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】由等比数列性质得，又，解得或，等比数列的公比满足或，再利用等比数列前项和公式计算即可. 【详解】解：数列为等比数列，，所以由等比数列性质可得， 又，所以，是一元二次方程的两根， 即或， 令等比数列的公比为，由，的值，易求或. 故，所以或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查等比数列性质、前项和公式等知识及运算求解能力. 14. 已知椭圆，焦点.若过的直线和圆相切，与椭圆的第一象限交于点P，且轴，则椭圆的离心率是_________. 【答案】 【解析】 【分析】当直线的斜率不存在时，不符合题意，当直线的斜率存在时，设，由圆心到直线的距离等于圆的半径，求得，再由，得到，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，焦点， 当直线的斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意； 当直线的斜率存在时，由直线过点，可设， 因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径， 可得，解得， 将代入椭圆，可得点的坐标为， 因为，即， 即，解得或， 因，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设圆C的圆心在直线上，圆C与直线相切于点 （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于A、B．若，求直线AB的方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出过点的圆的半径所在直线方程，再求出圆心坐标即可求得圆的方程. （2）由（1）结合已知，求出圆心到直线的距离，再按斜率存在与否分类求解即得. 【小问1详解】 由圆C与直线相切于点，得圆心在垂直于直线的直线上， 则直线的斜率为1，方程为，即，由，解得，即点， 圆的半径，所以圆C的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆：，由弦长为2，得圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为，显然点到此直线距离为1，符合题意， 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 由，解得，即直线方程为， 所以直线方程为或. 16. 设数列的前项和为，已知. （1）证明：数列是等比数列； （2）若数列满足求数列的前20项的和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用递推关系和构造新数列的方法，求出数列是等比数列； （2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和． 【小问1详解】 数列的前项和为，已知，①， 当时，，解得， 故，②， ②-①得：， 即， 故， 故数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得：， 整理得. 数列满足 故且， 当为偶数时，， 整理得， 故 17. 已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为(1，2). （1）求点A和点B的坐标； （2）过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M、N，求△MON（O为坐标原点）的面积最小值及此时直线l的方程. 【答案】（1），；（2）的面积最小值为4，此时直线l的方程是. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出直线AB，BC的方程，再求出交点坐标即可； （2）由题意斜率存在，设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k<0)，求出截距，表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值. 【详解】（1）因为点A在BC边上的高所在的直线x-2y+1=0上，且在∠A的平分线所在的直线y=0上，所以解方程组得A(-1，0). 因为BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0，所以kBC=-2， 因为点C的坐标为(1，2)，所以直线BC的方程为2x+y-4=0， 因为kAC=1，kAB=-kAC=-1，所以直线AB的方程为x+y+1=0， 解方程组得B(5，-6)， 故点A，点B的坐标分别为(-1，0)，(5，-6). （2）依题意得直线的斜率存在，设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k<0)， 则M，N(0，2-k)， 所以S△MON=··(2-k)=·≥=4， 当且仅当= ，即时取等号， 所以(S△MON)min=4，此时直线l的方程是2x+y-4=0. 18. 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线． （1）证明：平面； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明是平行四边形，再结合圆柱的性质得到平面； （2）利用等积转换知识结合圆柱的性质先找到体积最大值时的相对位置，再找出 二面角的平面角或利用空间向量求得二面角的大小. 【小问1详解】 证明：如图，连接，由题意知为的直径，所以．因为是圆柱的母线， 所以且，所以四边形是平行四边形． 所以，所以．因为是圆柱的母线，所以平面， 又因为平面，所以．又因为， 平面，所以平面． 【小问2详解】 由（1）知是三棱锥底面上高，由（1）知 ，所以，即底面三角形是直角三 角形．设，则 在中有：， 所以， 当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱 锥的体积最大， （另解：等积转化法： 易得当F与距离最远时取到最大值，此时E、F分别为、中点） 下面求二面角的正弦值： 法一：由（1）得平面，因为平面，所以． 又因为，所以平面． 因为平面，所以，所以是二面角的平面角， 由（1）知为直角三角形，则． 故，所以二面角的正弦值为． 法二：由（1）知两两相互垂直， 如图，以点E为原点，所在直线 为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则． 由（1）知平面，故平面的法向量可取为． 设平面的法向量为， 由， 得，即，即，取，得． 设二面角的平面角为， ， 所以二面角的正弦值为 19. 双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． （1）求双曲线的方程； （2）、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为的方程，即可求解； （2）首先设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，并根据的取值范围，求点到直线的距离的取值范围. 小问1详解】 依题意，，焦半径， 由，得，得， 解得：（其中舍去）， 所以， 故双曲线的方程为； 【小问2详解】 显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为， 联立，消去整理得， 在条件下，设，， 则，， 由，得， 即， 整理得， 代入韦达定理得，， 化简可消去所有含的项，解得：或（舍去）， 则直线的方程为，得， 又都在双曲线的右支上，故有，， 此时，， 所以点到直线的距离的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$