精品解析： 山东省济宁市泗水县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

《课程标准》达标测试 八年级数学试题 （时间：120分钟） 同学们, 你们好! 一转眼一个学期飞快地过去了. 在这个学期里, 我们学到了许多新的数学知识, 也提高了我们的数学思维能力. 现在让我们在这里展示一下自己的真实水平吧! 祝大家成功! 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意, 请把正确选项前的字母填在答题纸上）注意可以用各种不同的方法来解决你面前的选择题哦! 1. 下列四个著名图案中，其中是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 七巧板 C. 斐波那契螺线 D. 谢尔宾斯基三角形 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，分别以顶点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，分别交，于点，，连接，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如果展开后不含的一次项，且常数项为，那么的值为（ ） A. B. 4 C. 0 D. 7. 若为正整数，则化简的结果可以是（ ） A. 0 B. C. D. 2 8. 根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A B. C. D. 9. 如图，在等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于（ ） A. 18° B. 20° C. 30° D. 15° 10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 二、开动脑筋，耐心填一填! 13. 若点与点关于y轴对称，则___． 14. 如图，在中，是上一点，，，，三点共线，请添加一个条件：__________________，使得．（只添一种情况即可） 15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝42°，将其折叠使点A落在BC边上的 处，折痕为CD，则＝_________ 16. 如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为______． 17. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是_______． 18. 如图，直角三角形中，，，则的值是_______． 三、解答题(解答题要求写出必要的计算步骤或证明过程) 19. 计算题： （1）； （2）．（用简便方法计算） 20. 先化简，再求值：，其中满足． 21. 如图，某市有一块长为米，宽为米，规划部门计划在中间留一块边长为米正方形空地修建雕像（阴影部分）． （1）求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示） （2）若a、b满足时，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 22. 如图，D、E是的边上的点，连接，． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）； （2）在（1）的条件下，若，求证：． 23. 如图，平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（4，1），点C（4，5）． （1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1，并写出点C的对称点C1的坐标； （2）在x轴上画出点P，使PA1＋PB1最小； （3）直线MN∥y轴，与线段AB，AC分别交于点M，N（点M不与点A，C重合），若将△AMN沿直线MN翻折，点A的对称点为点A′，当点A′落在△ABC的内部时，点M的横坐标m的取值范围是 ． 24. 项目学习方案： 项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材 一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍 任务 一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：①； 小组成员乙设②，由题意得方程： 素材 二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务 二 求的值 （1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______． （2）完成任务二． 25. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式． 例2 若，利用配方法求最小值； ； ，， 当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：； （2）若，求的最小值； （3）已知是三边长，且满足，求的周长． 26. 【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《课程标准》达标测试 八年级数学试题 （时间：120分钟） 同学们, 你们好! 一转眼一个学期飞快地过去了. 在这个学期里, 我们学到了许多新的数学知识, 也提高了我们的数学思维能力. 现在让我们在这里展示一下自己的真实水平吧! 祝大家成功! 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意, 请把正确选项前的字母填在答题纸上）注意可以用各种不同的方法来解决你面前的选择题哦! 1. 下列四个著名图案中，其中是轴对称图形的是（ ） A 赵爽弦图 B. 七巧板 C. 斐波那契螺线 D. 谢尔宾斯基三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法计算法则，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 3. 下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断． 【详解】解：①结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； ②结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； ③是因式分解，选项正确； ④是因式分解，选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变． 4. 下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质和倒数的概念，掌握分式的基本性质和倒数概念的区别是解题关键．利用分式的基本性质，分子分母都乘以或除以同一个不为零的数分式的值不变，分式与其倒数不相等，对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、，故A项变形错误，不符合题意； B、，故B项变形错误，不符合题意； C、，故C项变形错误，不符合题意； D、，故D项变形正确，符合题意． 故选：D． 5. 如图，在中，分别以顶点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，分别交，于点，，连接，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：先利用基本作图得到垂直平分，，从而可求出． 【详解】解：由基本作图得到垂直平分， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 6. 如果展开后不含的一次项，且常数项为，那么的值为（ ） A. B. 4 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将（x+b）（ax-1）展开，即可得出-b=2，ab-1=0，求出a、b的值，代入后求出即可． 【详解】解：∵（x+b）（ax-1）=ax2+（ab-1）x-b， 又∵展开式中不含x的一次项，且常数项为-2， ∴， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，能根据多项式乘多项式法则展开是解此题的关键． 7. 若为正整数，则化简的结果可以是（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简与分式的值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据为正整数，得出原式的结果即可求解． 【详解】解：原式 ， ， 且且， 又为正整数， ， 即且， 选项A、C、D均不符合题意， 当时， 原式，故选项B符合题意， 故选：B． 8. 根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0是条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件、分式为0是条件解答． 【详解】解：当时，分式无意义， 分式的分母可能是． 当时，分式的值为0， 分式的分子可能是． 分式可能是． 故选：C． 9. 如图，在等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于（ ） A. 18° B. 20° C. 30° D. 15° 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合等边三角形的性质，得出，再根据题意，得出∠EDB＝∠EDC＝90°，再利用SAS，得出，再利用全等三角形的性质，得出∠EBC＝∠ECB＝45°，再根据角的关系计算，即可得出结论． 【详解】解：∵三角形是等边三角形， 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， 又∵三角形是等边三角形， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解本题的关键在熟练掌握相关的性质． 10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 11. 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，连接，证明，得到，证明，得到，进而得到，求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵，，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 12. 观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法运算及数字的变化规律，解题的关键是将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出规律． 根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴． ∴ ， 因为，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 二、开动脑筋，耐心填一填! 13. 若点与点关于y轴对称，则___． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称点横坐标互为相反数，纵坐标相同列式求解即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 如图，在中，是上一点，，，，三点共线，请添加一个条件：__________________，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】， ，． 添加条件，可以使得，可得； 添加条件，可以使得，可得． 故答案为或（答案不唯一）． 15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝42°，将其折叠使点A落在BC边上的 处，折痕为CD，则＝_________ 【答案】6° 【解析】 【分析】先求出∠A=48°，由折叠的性质可得，再由三角形外角的性质得到． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝42°， ∴∠A=90°-∠B=48°， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，折叠的性质，熟知相关知识是解题的关键． 16. 如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角，根据多边形内角和公式，分别求出正五边形和正六边形的内角度数，即可得和的度数，再根据三角形的内角和定理即可得出答案，熟练掌握多边形的内角和定理和是解题的关键． 【详解】∵五边形是正五边形， ∴每个内角度数为， ∴，， 同理可得正六边形每个内角度数为， ∴，， ∴， 故答案为：． 17. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则并注意不要漏掉分母不为0的情况是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可． 【详解】解∶解方程， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 关于的分式方程的解为负数， 且． 且． 故答案为∶ 且． 18. 如图，直角三角形中，，，则的值是_______． 【答案】19 【解析】 【分析】运用完全平方公式变形计算即可． 【详解】∵直角三角形中，，， ∴AC×BC=3， ∴ = = =19， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了直角三角形的面积公式，完全平方公式的变形，熟练掌握公式变形是解题的关键． 三、解答题(解答题要求写出必要的计算步骤或证明过程) 19. 计算题： （1）； （2）．（用简便方法计算） 【答案】（1） （2）36 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式，准确计算． （1）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行简便计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再整体代入计算即可求出值． 【详解】原式， ， ， ∵， ∴， ∴原式． 21. 如图，某市有一块长为米，宽为米，规划部门计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像（阴影部分）． （1）求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示） （2）若a、b满足时，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 【答案】（1）平方米 （2）10750元 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式以及代数式求值，掌握多项式乘多项式的计算方法，完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图形中面积之间的关系进行计算即可； （2）求出a、b的值，代入求出草坪的面积，再根据单价×数量=总价进行计算即可． 【小问1详解】 解： 平方米； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴草坪的面积为（平方米）， ∴购买草坪所需要的总费用为（元）． 22. 如图，D、E是的边上的点，连接，． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）； （2）在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据尺规作角平分线步骤作图即可； （2）根据题意证明出，即可得到． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：在中，180°， 在中，， 且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（4，1），点C（4，5）． （1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1，并写出点C的对称点C1的坐标； （2）在x轴上画出点P，使PA1＋PB1最小； （3）直线MN∥y轴，与线段AB，AC分别交于点M，N（点M不与点A，C重合），若将△AMN沿直线MN翻折，点A的对称点为点A′，当点A′落在△ABC的内部时，点M的横坐标m的取值范围是 ． 【答案】（1）见解析，C1 （﹣4，5） （2）见解析 （3）1＜m＜2.5 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1，并写出点C的对称点C1的坐标； （2）连接B1A1′交x轴于点P即可； （3）根据轴对称的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，△A1B1C1，即为所求；C1（﹣4，5）； 【小问2详解】 如图，点P即为所作； 【小问3详解】 当点A的对称点落在BC上时，点的坐标为（4，2）， 此时m=（1+4）=2.5， ∵点M不与点A重合，点A′落在△ABC的内部， ∴点M的横坐标m的取值范围是 1＜m＜2.5 ； 故答案为：1＜m＜2.5． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 24. 项目学习方案： 项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材 一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍 任务 一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：①； 小组成员乙设②，由题意得方程： 素材 二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务 二 求的值 （1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______． （2）完成任务二． 【答案】（1）；每枝种花卉单价为元 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式方程解应用题，读懂题意，找准等量关系准确列出方程是解决问题的关键． （1）设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元，根据用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍，即可列方程；结合可知表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量，即可得到答案； （2）由题意，得到完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，再由完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，可得方程，解分式方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元， 每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元， 每枝种花卉单价为元， 用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍， ； ， 表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量， 即小组成员乙设每枝种花卉单价为元； 故答案为：；每枝种花卉单价为元； 【小问2详解】 解：单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务， 完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为， 完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同， ，解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 25. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式． 例2 若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：； （2）若，求的最小值； （3）已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）原式常数项35化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可； （3）分别对用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定的值即可求出结果． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ， 当时，有最小值． 【小问3详解】 ， ， 即， ， ， ， 的周长为12． 【点睛】本题考查了整数的混合运算、非负数的性质、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． 26. 【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积为10；（4）和之间的数量关系为；证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． （1）首先由角平分线得到，然后由垂直得到，然后证明出； （2）同（1）可得，，得到，然后根据结合三角形外角的性质得到，进而求解即可； （3）如图所示，延长交于点E，同（1）可得，，得到，，然后求出，然后得到，然后根据面积为30得到，进而求解即可； （4）如图：延长交延长线于F，证明，推出，再证明，进而完成解答． 【详解】解：（1）∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； （2）同（1）可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，延长交于点E 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵的面积为30 ∴ ∴ ∵ ∴的面积； （4），理由如下： 如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$