精品解析：广东省河源市源城区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年广东省河源市源城区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下面四个几何体中，从上面看得到的图形是三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的根，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 3. 在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球约有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 反比例函数的图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 5. 若＝，则的值是（ ） A B. C. D. 6. 如图，已知菱形ABCD的周长为8，∠A＝60°，则对角线BD的长是( ) A. 1 B. C. 2 D. 2 7. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是 ( ) A. B. C. D. 9. 函数和在同一平面直角坐标系中大致图象可能是（ ） A B. C. D. 10. 如图，边长分别为1和2的两个正方形和并排放在一起，点B、C、E共线，连接并延长交于点T，交于点P，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若x1，x2是方程x2﹣6x+8=0的两根，则x1+x2的值__． 12. 如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高________． 13. 某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 _______．（参考数据：） 14. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为______ ．（结果保留根号） 15. 如图，A．B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为_____． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：x2﹣7x﹣1＝0 17. 计算：． 18. 如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱形成的影子分别为与． （1）通过作图判断此光源下形成的投影是中心投影还是平行投影： （2）作出立柱在此光源下所形成的影子． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为了解考体育科目训练的效果，九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是_______； （2）把图2条形统计图补充完整；若学校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______； （3）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 20. 《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）学校想要围成一个面积为的养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 21. （1）用等号或“”、“”填空，探究规律并解决问题：比较与的大小． ①当，时， ； ②当，时， ； ③当，时， ． （2）通过上面的填空，猜想与的大小关系，并证明你的猜想； （3）如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD，BEFG，连接CG．设两个正方形的面积分别为，．若的面积为2保持不变，请直接写出的最小值． 四、解答题（二）本大题共2小题，每小题13分，共27分． 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 23. 【项目学习】配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中并结合非负数的意义解决某些问题． 例1：把代数式进行配方． 解：原式 ． 例2：求代数式的最大值． 解：原式 ． ， ． ． 代数式的最大值为． 【问题解决】 （1）若，，满足，求的值． （2）若的三边长，，均为整数，，，满足，求的周长． 【迁移应用】 （3）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积； ②运用“配方法”求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省河源市源城区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下面四个几何体中，从上面看得到的图形是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，目的在考查学生的空间想象能力． 【详解】解：A、从上面看得到的图形是长方形，不符合题意； B、从上面看得到的图形是圆，不符合题意； C、从上面看得到的图形是圆，不符合题意； D、从上面看得到的图形是三角形，符合题意； 故选：D． 2. 若是一元二次方程的根，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解方程的解的含义是解本题的关键，直接把代入方程即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 故选C 3. 在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球约有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，再根据概率进行计算即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在， ∴摸到黑球的概率为， ∴袋中黑球约有（个）， 故选：C． 4. 反比例函数的图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质作答． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象在第一、三象限． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的性质，解题的关键是熟记反比例函数图像的性质：当时，反比例函数图象在二、四象限；当时，反比例函数图象在第一、三象限． 5. 若＝，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，然后用k表示a和b，进而求得的值． 【详解】解：设， 则有，， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是利用设k法，用k表示a和b即可． 6. 如图，已知菱形ABCD的周长为8，∠A＝60°，则对角线BD的长是( ) A. 1 B. C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形ABCD的周长，求出菱形ABCD的边长，再由∠A＝60°，断定△ABD是等边三角形，从而求解． 【详解】∵菱形ABCD的周长为8， ∴菱形ABCD的边长＝8÷4＝2， ∵∠A＝60°，AD＝AB， ∴△ABD等边三角形， ∴AB＝BD， ∴BD＝2， 故选C． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、解题的关键是证明△ABD是等边三角形，属于中考常考题型． 7. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 解得：． 故选：C． 8. 在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是 ( ) A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：正弦 由题意得， 故选D. 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质． 【详解】若，则反比例函数的图象分别在第二、四象限，一次函数的图像经过一、二、四象限； 若，则反比例函数的图象分别在第一、三象限，一次函数的图像经过一、三、四象限； 符合的为选项D， 故选D． 10. 如图，边长分别为1和2的两个正方形和并排放在一起，点B、C、E共线，连接并延长交于点T，交于点P，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质．根据正方形的对角线平分一组对角可得，再求出，从而得到是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可． 【详解】解：∵分别是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵两正方形的边长分别为1，2， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若x1，x2是方程x2﹣6x+8=0的两根，则x1+x2的值__． 【答案】6 【解析】 【详解】试题解析：根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=6. 12. 如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握同一时刻物体与影长成正比例是解题的关键． 【详解】解：设树高是x米，则， 解得：． 故答案为：． 13. 某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 _______．（参考数据：） 【答案】51 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键． 延长交距水平地面的水平线于点，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点，如图， 由题可知，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 14. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为______ ．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，.， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15. 如图，A．B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线,根据中位线的性质得到CD=BE,表示出A.B的坐标,利用△ADO的面积为1求出k的值即可. 【详解】 解：过点B作BE⊥x轴于点E, ∵D为OB的中点, ∴CD是△OBE的中位线,即CD=BE. 设A(x, ),则B(2x, ),CD=,AD=−, ∵△ADO的面积为1, ∴AD⋅OC=1， (−)⋅x=1，解得k=. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,属于简单题,表示出△ADO的面积是解题关键. 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：x2﹣7x﹣1＝0 【答案】，． 【解析】 【分析】根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：x2﹣7x﹣1＝0 ，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂等计算，先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和乘方，最后计算加减法即可得到答案，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱形成的影子分别为与． （1）通过作图判断此光源下形成的投影是中心投影还是平行投影： （2）作出立柱在此光源下所形成的影子． 【答案】（1）图见解析，是中心投影 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据在同一时刻同一光源下立柱形成的影子为与，连接并延长交于点，据此判断即可； （2）连接并延长交直线于，于是得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，光线相交于点， ∴此光源下形成的投影是中心投影， ∴应该是中心投影； 【小问2详解】 解：如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为了解考体育科目训练的效果，九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是_______； （2）把图2条形统计图补充完整；若学校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______； （3）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 【答案】（1）人 （2）216人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．也考查了统计图． （1）用等级的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数； （2）用总人数分别减去、、等级的人数得到等级人数，再补全条形统计图，利用样本估计总体，用1800乘以等级所占百分比即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中的两人刚好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 本次抽样测试的学生人数为（人）； 【小问2详解】 D等级的人数为， 条形统计图补充为：    （人）， 所以估计不及格的人数为216人； 【小问3详解】 画树状图为：    共有12种等可能结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为6， 所以选中的两人刚好是一男一女的概率． 20. 《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）学校想要围成一个面积为的养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）养鸡场的长为，宽为； （2）这一想法不能实现，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设，则，根据养鸡场的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长为，即可确定结论； （2）假设这一想法能实现，设，则，根据养鸡场的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长为，即可得出假设不成立，即这一想法不能实现． 【小问1详解】 解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：养鸡场的长为，宽为； 【小问2详解】 解：这一想法不能实现，理由如下： 假设这一想法能实现，设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即这一想法不能实现． 21. （1）用等号或“”、“”填空，探究规律并解决问题：比较与的大小． ①当，时， ； ②当，时， ； ③当，时， ． （2）通过上面的填空，猜想与的大小关系，并证明你的猜想； （3）如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD，BEFG，连接CG．设两个正方形的面积分别为，．若的面积为2保持不变，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①；②；③；（2），见解析；（3）8 【解析】 【分析】（1）通过计算，即可求解； （2）根据完全平方根式进行转化，即可求解； （3）由的面积为2保持不变，得到，根据，进行求解． 【详解】（1）①当，时，，， ∴当，时，； ②当，时，， ∴当，时，； ③当，时，， ∴当，时，； （2）猜想：．理由如下： ∵， ∴， ∴． （3） ∵的面积为2保持不变； ∴ ∴ 故的最小值为8 【点睛】本题考查数字类规律的探索，解题的关键是掌握从特殊到一般的探究方法． 四、解答题（二）本大题共2小题，每小题13分，共27分． 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】（1）； （2）4 （3）点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解. 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积 ； ； 【小问3详解】 解：设点，又， 由旋转知：为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键． 23. 【项目学习】配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中并结合非负数的意义解决某些问题． 例1：把代数式进行配方． 解：原式 ． 例2：求代数式的最大值． 解：原式 ． ， ． ． 代数式的最大值为． 【问题解决】 （1）若，，满足，求的值． （2）若的三边长，，均为整数，，，满足，求的周长． 【迁移应用】 （3）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积； ②运用“配方法”求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②最大面积为平方厘米 【解析】 【分析】（1）将所给式子配方求出，的值，即可求解； （2）将所给式子通过配方得到，利用非负数的性质求出、，即可求解； （3）①设的长度是厘米，的长度是厘米，根据矩形的性质可证明，根据相似三角形的性质求出与之间的函数关系式为，最后根据矩形的面积公式求解即可；②将配方，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1） ， ，， ； （2）， ， ， ，， ，， ， ， 即的周长为； （3）①设长度是厘米，的长度是厘米， 四边形为矩形， ， ， ， ， 与之间的函数关系式为， 矩形面积； ② ， 故当的长度是厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为平方厘米． 【点睛】本题考查了配方法的应用，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，非负数的性质，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$