精品解析：江苏省扬州市宝应县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025年学年度第一学期期中测试试题 九年级数学 （满分：150分 测试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一次考试中，某题（满分10分）的得分情况如下： 得分 0 2 4 6 8 10 百分率 则该题平均得分（　　） A. 5.5分 B. 5.7分 C. 5.9分 D. 6.1分 3. 如图，⊙O中，点、、在圆上，且弧长等于弧长的2倍，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 以上结论都不对 4. 眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 10. 已知一组数据8、12、10、10、6、14、10、10的平均数是10，则这组数据的方差是_______． 11. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 12. 已知的半径为，如果在所在平面内有一点且，则点在_______． 13. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 14. 直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为_____． 15. 将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则______． 16. 如图，对折边长为2的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交，于，两点，则的长度为______（结果保留）． 17. 若一元二次方程的两根为、，则的值为_______． 18. 对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，求方程解； （2）当方程无实数根时，求的取值范围． 21. 为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下： 操作规范性和书写准确性的得分统计表： 项目 统计量 学生 操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数 小青 4 1.8 小海 4 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 ，比较和的大小： ； （2）计算表格中的值； （3）综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由． 22. 在实施“三乡思政”活动中，某校组织开展以“红色家乡”为主题研学活动，策划了四个基地供学生选择参观：A红枫园党性教育基地，B《苏中报》报社旧址，C忆思园，D吴运铎暨新四军华中军械处第一总厂纪念馆，每名学生只能任意选择一个基地参观且每个基地被选到机会均为等可能的． （1）小亮选择参观基地的概率为 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求小亮和小华选择同一基地参观的概率． 23. 如图，△内接于，是上一点，．是外一点，，，连接． （1）求证：； （2）求证：． 24. 某童装店销售某种童装，进货价为每件60元，销售价为每件100元，平均每天可售出20件． （1）该童装店每天的利润是多少元？ （2）“双11”活动期间，该童装店决定采取适当降价促销，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．如果该童装店在促销期间达到每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？ 25. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 26. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 27. 阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，容易发现，三角点阵中前3行的点数之和为6． （1）尝试：前15行的点数之和为 ； （2）思考：三角点阵中前行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500．请说明理由； （3）拓展：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 28. 【初步感知】如图1，点、、在上，，则锐角的大小为________． 【深度探究】小明遇到这样一个问题：如图2，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：． 小明的思路是延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．请你按此思路写出完整的证明过程． 【迁移应用】如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连结、、．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年学年度第一学期期中测试试题 九年级数学 （满分：150分 测试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 2. 在一次考试中，某题（满分10分）的得分情况如下： 得分 0 2 4 6 8 10 百分率 则该题的平均得分（　　） A. 5.5分 B. 5.7分 C. 5.9分 D. 6.1分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数；理解定义，根据求加权平均数的方法求解即可． 【详解】解：由题意得： (分)； 故选：B． 3. 如图，⊙O中，点、、在圆上，且弧长等于弧长的2倍，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 以上结论都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了弧和弦的关系、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题关键．取的中点，连接，易得，进而可得，在中，根据三角形三边关系可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，取的中点，连接， ∵弧长等于弧长的2倍， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系可得， ∴． 故选：C． 4. 眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 5. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，连接， ∵为中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 6. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为， 故选：B． 7. 如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，是切线，根据切线长定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 10. 已知一组数据8、12、10、10、6、14、10、10的平均数是10，则这组数据的方差是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算，理解并掌握方差公式是解题关键．根据方差公式进行计算即可． 【详解】解：这组数据的方差为： ． 故答案为：5． 11. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 12. 已知的半径为，如果在所在平面内有一点且，则点在_______． 【答案】外 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，若圆的半径为r，点与圆心的距离为d，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外．由题意可得，再根据点与圆的位置关系可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点P在外． 故答案为：外． 13. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】∵是圆的直径， ∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， ∵、、、所对的弧的和为半圆， ∴， 故答案为：90． 14. 直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为_____． 【答案】cm 【解析】 【分析】利用勾股定理解得直角三角形的斜边，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，得出其外接圆的半径． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm， 直角三角形的斜边为： cm， 这个直角三角形的外接圆半径为： cm， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 15. 将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：2 16. 如图，对折边长为2的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交，于，两点，则的长度为______（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟知正方形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键． 由对折可知，，过点E作垂线，进而可求出的度数，则可得出的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【详解】解：∵折叠，且四边形是正方形 四边形是矩形，， 则，． 过点E作于P， 则， ， 在中，， ， 则， 的长度为：， 故答案为： 17. 若一元二次方程的两根为、，则的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解．根据根与系数的关系得，，则，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：3． 18. 对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有， 解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）,； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法和配方法解一元二次方程， 利用配方法解方程； 利用因式分解法把方程化为或,然后解两个一次方程即可； 熟练掌握这两种解一元二次方程的方法是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：, , , , , ,； 【小问2详解】 解：， , 或, ． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，求方程的解； （2）当方程无实数根时，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）的取值范围是． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，原方程可化为， 因式分解得， 解得，； 【小问2详解】 解：∵该方程无实数根， ∴， 解得， 即若该方程有无数根，的取值范围是． 21. 为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下： 操作规范性和书写准确性的得分统计表： 项目 统计量 学生 操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数 小青 4 1.8 小海 4 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 ，比较和的大小： ； （2）计算表格中的值； （3）综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由． 【答案】（1）2，> （2）2 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析． （1）根据中位数的求法求解即可，根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小； （2）利用加权平均数的求法即可求解； （3）从平均分和方差进行判断即可． 【小问1详解】 解：小青书写准确性从小到大重新排列为1，1，1，1，2，2，2，2，3，3， 中位数为， 观察折线图，知小青得分的比小海的波动大，则， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：小海书写准确性的平均数为（分）； 【小问3详解】 从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差， 所以小海在物理实验操作中发挥稳定． 22. 在实施“三乡思政”活动中，某校组织开展以“红色家乡”为主题研学活动，策划了四个基地供学生选择参观：A红枫园党性教育基地，B《苏中报》报社旧址，C忆思园，D吴运铎暨新四军华中军械处第一总厂纪念馆，每名学生只能任意选择一个基地参观且每个基地被选到的机会均为等可能的． （1）小亮选择参观基地的概率为 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求小亮和小华选择同一基地参观的概率． 【答案】（1） （2）小亮和小华选择同一线路的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了简单概率公式的计算，列表或树状图求概率，熟悉概率公式和列表或树状图求概率是解题的关键，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数． （1）根据简单概率的公式计算即可，概率=所求情况数与总情况数之比； （2）根据列表法即可求得概率． 【小问1详解】 解：依题意，共四条研学线路，每条线路被选择的可能性相同． 小亮选择线路A的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意，列表可得 小亮\小华 A B C D A AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD 由列表可得，共有16种等可能性结果，其中相同线路的可能结果有4种， 小亮和小华选择同一线路的概率为． 23. 如图，△内接于，是上一点，．是外一点，，，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理． （1）根据可得，然后证明即可； （2）由，推出，求得，利用平行线的判定定理即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 某童装店销售某种童装，进货价为每件60元，销售价为每件100元，平均每天可售出20件． （1）该童装店每天的利润是多少元？ （2）“双11”活动期间，该童装店决定采取适当的降价促销，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．如果该童装店在促销期间达到每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】（1）该童装店每天的利润是800元； （2）童装店应该降价元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）用每件利润×销售量列式计算即可； （2）设每件童装降价元，利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可； 正确找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：童装店降价前每天销售该童装可盈利：(元)， 答：该童装店每天的利润是800元； 【小问2详解】 解：设每件童装降价元， 根据题意，得：， 解得：， 要使顾客得到更多的实惠， 取， 答：童装店应该降价元． 25. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，矩形的判定和性质等知识点，熟练地掌握切线的判定方法是解决本题的关键． （1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接、，交于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为． 27. 阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，容易发现，三角点阵中前3行的点数之和为6． （1）尝试：前15行的点数之和为 ； （2）思考：三角点阵中前行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500．请说明理由； （3）拓展：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1）120 （2）不能．理由见解析 （3）一共能摆20排． 【解析】 【分析】本题考查实际问题与一元二次方程：与图形有关问题，图形变化的规律及列代数式，能根据所给点阵发现前行点数之和的变化规律是解题的关键． （1）依次求出前（为正整数）行点数之和，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）同（1）理，发现规律，利用规律即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题知， 三角点阵中前1行的点数之和为：1； 三角点阵中前2行的点数之和为：； 三角点阵中前3行的点数之和为：； 三角点阵中前4行的点数之和为：； ， ∴三角点阵中前行的点数之和为：． ∴前15行的点数之和为． 故答案为：120； 【小问2详解】 解：不能． 依题意，令得， 解得， ∵为正整数， ∴三角点阵中前行的点数之和不能为500． 故答案为：不能； 【小问3详解】 解：同理，三角点阵中前行的点数之和为：． 令得， 解得，． ∵为正整数， ∴， 即一共能摆20排． 28. 【初步感知】如图1，点、、在上，，则锐角的大小为________． 【深度探究】小明遇到这样一个问题：如图2，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：． 小明的思路是延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．请你按此思路写出完整的证明过程． 【迁移应用】如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连结、、．若，求的值． 【答案】初步感知：；深度探究：详见解析；迁移应用： 【解析】 【分析】初步感知：根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得； 深度探究：先根据圆周角定理可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得证； 迁移应用：延长至点，使，连接，先证出，由全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再证出，设，则，利用勾股定理可得，根据线段和差可得，由此即可得解． 【详解】初步感知：解：∵点，，均在上，， ∴， 故答案为：； 深度探究：证明：延长至点，使，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴，， 由圆周角定理得：，， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴； 迁移应用：解：如图，延长至点，使，连接， 四边形是的内接四边形， ， 在和中， , , , , 由圆周角定理得：, , , 设, , , , , ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、圆内接四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握其性质并能通过作辅助线，构造全等三角形是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$