精品解析：河南省南阳市镇平县2024–2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024年秋期九年级调研测试数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意； B、是最简二次根式，此项符合题意； C、，则不是最简二次根式，此项不符题意； D、，则不是最简二次根式，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键． 2. 如图，在电线杆离地面8米高的点处向地面拉一根缆绳，缆绳和地面成角，则该缆绳的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：根据，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，，而， ∴， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．利用二次根式的乘除法和加减法法则进行计算，逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是同类二次根式不能合并，故本选项不符合题意； B、，原式错误，故本选项不符合题意； C、，原式错误，故本选项不符合题意； D、，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若量得的长度，便可知的长度．本题依据的主要数学原理是（　　 ） A. 三边成比例的两个三角形相似 B. 两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等 C. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 D. 平行线分线段成比例 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据题意可得，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证得，得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． ∴，， ∴若量得的长度，便可知的长度． 故选：C 5. 若关于的方程配方后得到方程，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 根据完全平方式的特征对配方可得，，则，即可求出答案． 【详解】解：∵对配方可得到，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，若在坡比为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水离）为，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，由坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为，则上升的高度为米，根据勾股定理即可求解，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】∵坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为， ∴铅直高度为米， 由勾股定理得，斜坡上相邻两树间的坡面距离为， 故选：C． 7. 如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 8. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ） A. 9 B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系和代数式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数关系即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：A． 9. 如图，将的按图摆放在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数约为（ ） （结果精确到，参考数据：，， A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，作于，作于，解得到，再证明，即可解求出的长，即可得到答案． 【详解】解：作于，作于，如图： 依题意得：， 在中，，，， ， ，，且， ， 在中，，，， ，即：， 解得：， 点C在尺上的读数约为， 故选：C． 10. 如图①，在，，点为边的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间变化的函数关系如图②所示，则边的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用函数图象解决问题、勾股定理和锐角三角函数，过点C作，垂足为，先从函数的图象获取数据求得的长度，再根据勾股定理求，最后通过建立等式，最后在运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：由图②可得，当时，，时的最小值， ∴ 如下图所示，过点C作，垂足为， ∵垂线段最短， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，在,, ∴， ∴， ∴ 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 12. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，， 所以． 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键． 根据方程有两个相等的实数根得到，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，边长为10的正方形的边在轴上，点在边上．将沿折叠，点落在轴上的点处．若，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】记与轴交于点，可得四边形为矩形，那么，由翻折得，可证明，则设，则，由得：，求出即可求出点坐标． 【详解】解：记与轴交于点， ∵，正方形边长为10， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∴由得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，把握折叠的不变性是解题的关键． 15. 我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 分两种情况：①边为矩形的长时，则矩形的宽为，求出矩形的周长即可； ②边为矩形的宽时，则矩形的长为，求出矩形的周长即可． 【详解】解：分两种情况： ①边为矩形的长时，则矩形的宽为， 矩形的周长为：； ②边为矩形的宽时，则矩形的长为：， 矩形的周长为； 综上所述，该矩形的周长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式、平方差公式，零指数幂是解题的关键． （1）分别计算零指数幂和二次根式的乘法，再进行加减计算； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1）．（用公式法） （2）．（用适当方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先整理成一般形式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 或， 解得：． 18. 如图，在中，是斜边上的中线，延长到，使，连接．点为上一点，若，请判断四边形的形状，并进行证明． 【答案】菱形 【解析】 【分析】先根据直角三角形的性质得到，可证明，继而，那么先证明四边形为平行四边形，再由邻边相等即可证明为菱形． 【详解】解：四边形为菱形， 证明：由题意得，，则 在中，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边的中线的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题． （1）画出关于轴的轴对称图形； （2）以原点为位似中心，在第一象限内出画出，使得与位似，且位似比为．并写出与的而积之比为______； （3）在（1）、（2）的条件下，设内一点的坐标为，则内与点对应的对应点的坐标为______． 【答案】（1） 关于轴的轴对称图形，作图如下， ∴即为所求图形； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握轴对称图形的定义和作图，位似图形的定义及作图，位似比的性质等知识是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义和性质作图即可； （2）根据位似图形的定义作图即可作图，再根据位似比的平方等于面积比即可求解； （3）根据位似比的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以原点为位似中心，在第一象限内出画出，使得与位似，且位似比为，作图如下， ∴即为所求图形， ∵与位似，且位似比为, ∴， ∵与关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题意，与的相似比为， ∵内一点的坐标为在第二象限， ∴，， ∵在第一象限， ∴， 故答案为：． 20. 某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件．第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，______，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7500元？ 解：设…… 根据题意，得 …… 根据上面所列方程，完成下列任务： （1）数学问题中横线处短缺的条件是______； （2）所列方程中未知数的实际意义是______； （3）请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程． 【答案】（1）单价每降低元，月销售量可增加件 （2）单价降低了元 （3） 设单价降低了元， 根据题意得， 解得，， 第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠， ， （元）， 答：单价定为元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据所列方程即可得到结论； （2）根据所列方程即可得到结论； （3）设单价降低了元，根据题意列一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 数学问题中横线处短缺的条件是单价每降低元，月销售量可增加件， 故答案为：单价每降低元，月销售量可增加件； 【小问2详解】 解：， 所列方程中未知数的实际意义是单价降低了元， 故答案为：单价降低了元； 【小问3详解】 略 21. 某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动． 如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪、在两侧，，点与点相距（点，，在同一条直线上），在处测得筒尖顶点的仰角为，在处测得筒尖顶点的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，可得． 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴ ∴； 在中，， ∴ ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 22. 郑州黄河风景名胜区，又称郑州黄河水利风景区，位于河南省省会郑州市西北20千米处黄河之滨，南依岳山，北邻黄河，历经四十年的开发建设，现已开放面积20多平方千米，形成了融观光旅游、休闲度假、科普教育、寻根祭祖、弘扬华夏文明为一体的大型风景名胜区，吸引大批市民前来游玩休闲，2020年受新冠疫情的影响，游玩市民在逐年下降．据统计，该风景区游玩人数从2019年的每周1.44万下降到2021年的每周0.81万． （1）求2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率； （2）为吸引客流，风景区今年准备在如图的墙，周围用篱笆围成一个跑马场，墙长为36米，无限长，篱笆，，把跑马场隔成跑马区（矩形）和饲养区（等腰直角三角形）两个区域，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为米．设的长为x米．当x为多少时，跑马区的面积为600平方米？ 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系列方程求解， （1）设2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率为y，利用2021年郑州黄河水利风景区游玩人数＝2019年郑州黄河水利风景区游玩人数×（1﹣2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率）的平方，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据各边之间的关系，可得出米，结合跑马区的面积为600平方米，可列出关于x的一元二次方程解的x，再结合墙长为36米，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率为y， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率为； 【小问2详解】 ∵篱笆总长为84米，且米，四边形为矩形，为等腰直角三角形， ∴， ∴． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当x为20米时，跑马区的面积为600平方米． 23. 综合与实践 垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． （1）操作判断 如图（1）所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则______，______． （2）性质探究 如图（2），若四边形为“垂中平行四边形”，且，求的长； （3）知识迁移 如图（3）所示，在中，，，交于点E，请画出以为边的垂中平行四边形．（温馨提示：不限作图工具） 要求： ①点在垂中平行四边形的一条边上； ②画出图形，标上字母，写出垂中平行四边形的名称． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得：为中点，，由平行四边形的性质得到，继而，则求出，然后在和中，利用勾股定理求解； （2）由题意得，为中点，，同理可得：，则，在中，，那么，故； （3）分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线，在延长线上取点F，使，连接． 【小问1详解】 解：由题意得：为中点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴在中，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，为中点，， 同理可得：， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：第一种情况： 作的平行线，使，连接， 则四边形为平行四边形； 延长交于点， ， ， ， ，， ，即， 为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形； 第二种情况： 作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接， 故为的中点； 同理可证明：， 则， 则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形； 第三种情况： 作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线； 在延长线上取点F，使，连接， 则为的中点， 同理可证明，从而， 故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形． 【点睛】本题考查了新定义，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期九年级调研测试数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在电线杆离地面8米高的点处向地面拉一根缆绳，缆绳和地面成角，则该缆绳的长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若量得的长度，便可知的长度．本题依据的主要数学原理是（　　 ） A. 三边成比例的两个三角形相似 B. 两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等 C. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 D. 平行线分线段成比例 5. 若关于的方程配方后得到方程，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 6. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，若在坡比为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水离）为，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 8. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ） A. 9 B. C. 7 D. 9. 如图，将的按图摆放在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数约为（ ） （结果精确到，参考数据：，， A. B. C. D. 10. 如图①，在，，点为边的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间变化的函数关系如图②所示，则边的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段______． 13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，边长为10的正方形的边在轴上，点在边上．将沿折叠，点落在轴上的点处．若，则点的坐标为______． 15. 我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 解方程： （1）．（用公式法） （2）．（用适当方法） 18. 如图，在中，是斜边上的中线，延长到，使，连接．点为上一点，若，请判断四边形的形状，并进行证明． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题． （1）画出关于轴的轴对称图形； （2）以原点为位似中心，在第一象限内出画出，使得与位似，且位似比为．并写出与的而积之比为______； （3）在（1）、（2）的条件下，设内一点的坐标为，则内与点对应的对应点的坐标为______． 20. 某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件．第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，______，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7500元？ 解：设…… 根据题意，得 …… 根据上面所列方程，完成下列任务： （1）数学问题中横线处短缺的条件是______； （2）所列方程中未知数的实际意义是______； （3）请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程． 21. 某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动． 如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪、在两侧，，点与点相距（点，，在同一条直线上），在处测得筒尖顶点的仰角为，在处测得筒尖顶点的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，） 22. 郑州黄河风景名胜区，又称郑州黄河水利风景区，位于河南省省会郑州市西北20千米处黄河之滨，南依岳山，北邻黄河，历经四十年的开发建设，现已开放面积20多平方千米，形成了融观光旅游、休闲度假、科普教育、寻根祭祖、弘扬华夏文明为一体的大型风景名胜区，吸引大批市民前来游玩休闲，2020年受新冠疫情的影响，游玩市民在逐年下降．据统计，该风景区游玩人数从2019年的每周1.44万下降到2021年的每周0.81万． （1）求2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率； （2）为吸引客流，风景区今年准备在如图的墙，周围用篱笆围成一个跑马场，墙长为36米，无限长，篱笆，，把跑马场隔成跑马区（矩形）和饲养区（等腰直角三角形）两个区域，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为米．设的长为x米．当x为多少时，跑马区的面积为600平方米？ 23. 综合与实践 垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． （1）操作判断 如图（1）所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则______，______． （2）性质探究 如图（2），若四边形为“垂中平行四边形”，且，求的长； （3）知识迁移 如图（3）所示，在中，，，交于点E，请画出以为边的垂中平行四边形．（温馨提示：不限作图工具） 要求： ①点在垂中平行四边形的一条边上； ②画出图形，标上字母，写出垂中平行四边形的名称． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $