精品解析：河南省新高中创新联盟2025届高三高考模拟卷一数学试题

绝密★启用前 普通高等学校招生考试模拟卷一 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知正数满足，则当取得最大值时，（ ） A. B. 4 C. D. 5. 已知双曲线的左焦点为，点、分别在的两条渐近线上，若四边形（为坐标原点）为正方形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 设为数列的前项和，若，则（ ） A. 520 B. 521 C. 1033 D. 1034 7. 函数的极值点为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 8. 已知、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（ ） A. 若，则平行或相交 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则平行或相交 10. 坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试．为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一．已知某地区进行体育达标测试统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记不在区间的人数为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知为坐标原点，点是抛物线的焦点，过点的直线交于两点，为上的动点（与均不重合），且点位于第一象限，过点向轴作垂线，垂足记为点，点，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. △OMN面积的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设（其中、），则_______． 13. 已知底面圆半径为，母线长为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的体积等于_______． 14. 在棱长为3的正方体中，为线段的三等分点（在之间），一动点满足，则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角、、的对边分别为、、，． （1）求； （2）设，． ①求； ②求的值． 16. 某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计了年月至月对该家服装店不满意的客户人数如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 （1）通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数与月份之间存在线性相关关系，求其之间的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数； （2）工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，试根据小概率值的独立性检验，判断能否认为满意度与性别有关联？ 满意 不满意 女客户 48 12 男客户 22 18 附：经验回归方程为，其中，. ，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知项数为的数列满足：且． （1）若为等比数列，求的值； （2）若是等差数列，求公差的值． 18. 已知椭圆的离心率为，菱形的四个顶点都在上．当菱形的四个顶点恰为的四个顶点时，菱形的面积是． （1）求的方程； （2）证明：与的交点为坐标原点； （3）求菱形周长的取值范围． 19. 若函数满足：、，均有成立，则称函数为“绝对平方根函数”． （1）判断是否为绝对平方根函数，并说明理由； （2）证明：为绝对平方根函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 普通高等学校招生考试模拟卷一 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得结论. 【详解】因为， 所以， ， 则， 解得． 故选：D． 2. （ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及复数的模厂计算公式求解即可. 【详解】， 故. 故选:B. 3. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系列不等式，解不等式可得结论. 【详解】由，得， 解得且， 故实数的取值范围是． 故选：C． 4. 已知正数满足，则当取得最大值时，（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得得，代入可得，设对右侧进行换元，再结合基本不等式求目标函数的最值，并确定取最值的条件. 【详解】由，得， ， ，， 令， 则， 当且仅当，即时取等号，此时． 故选：D． 5. 已知双曲线的左焦点为，点、分别在的两条渐近线上，若四边形（为坐标原点）为正方形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，双曲线的两条渐近线互相垂直，可求出的值，由此可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】由题意知四边形为正方形，点、分别在的两条渐近线上， 得双曲线的两条渐近线互相垂直，故，所以， 故的离心率为． 故选：C． 6. 设为数列的前项和，若，则（ ） A. 520 B. 521 C. 1033 D. 1034 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用求出，进而求出即可得解. 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，于是，所以． 故选：C 7. 函数的极值点为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，利用，解得即可判断． 【详解】解： ， 由， 即， 解得：． 由，得， 由，得， 函数在处取得极大值， 故选：A． 8. 已知、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简、、，求出的取值范围，可得出、的取值范围，逐项判断即可. 【详解】由题可得，， ， 因为、，则， 故，， 所以，，，，所以． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（ ） A. 若，则平行或相交 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则平行或相交 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间中的线线、线面、面面关系逐项判断即可得结论. 【详解】若，则平行或相交或异面，故A错误； 若，则，故B正确； 若，则平行或相交，故C错误； 若，则平行或相交，故D正确. 故选：BD. 10. 坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试．为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一．已知某地区进行体育达标测试统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记不在区间的人数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正态分布的性质计算判断A；利用二项分布的期望、方差公式计算判断BC；利用对立事件的概率公式计算判断D. 【详解】对于A，由，得， 则，A错误； 对于B，由A知，不在区间的概率为，，， 因此，B正确； 对于C，由B知，，因此，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 11. 已知为坐标原点，点是抛物线的焦点，过点的直线交于两点，为上的动点（与均不重合），且点位于第一象限，过点向轴作垂线，垂足记为点，点，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. △OMN面积的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用焦点坐标可判定A，利用平行线性质化两角和为一个角可判定B，利用抛物线的定义化折线段和为直线段可判定C，设的方程利用点到直线的距离公式及弦长公式计算面积，并根据二次函数的性质求最值即可. 【详解】对于A选项，由题意知，故，所以，故A正确； 对于B选项，由题意知轴，所以， 所以， 又，即，故B正确； 对于C选项，由抛物线的性质知，， 因此当三点共线时，取得最小值， 此时， 即，故C错误； 对于D选项，设直线的方程为， 与抛物线的方程联立得， 故，， 因此 ， 又因为点到直线的距离为， 所以△OMN的面积为， 当时，△OMN的面积取最小值2，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设（其中、），则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式计算的值，即可得出的值. 【详解】因为 ，其中、， 故. 故答案为：. 13. 已知底面圆半径为，母线长为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的体积等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】取圆锥的轴截面，分析可知，球心在直线上，设球的半径为，根据圆锥的几何性质可得出关于的等式，解出的值，再利用球体的体积公式可求得结果. 【详解】取圆锥的轴截面，则为的中点，如下图所示： 由圆锥的几何性质可知，球心在直线上，设球的半径为， 由题意可知，，，且， 所以， 由勾股定理可得，即，即， 解得， 所以球的体积为. 故答案为：. 14. 在棱长为3的正方体中，为线段的三等分点（在之间），一动点满足，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】建系，根据空间间距离公式分析可知点的轨迹为以为圆心，半径的球，根据数量积可得，结合球的性质可得的范围即可得结果. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，设， 因为，则， 整理可得， 可知点的轨迹为以为球心，半径的球， 取的中点分别为，的中点为， 则， 可得 ， 又因为，则在球外， 则，即， 可得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.利用空间直角坐标系求点点的轨迹； 2.根据数量积的性质可得，进而可求范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角、、的对边分别为、、，． （1）求； （2）设，． ①求； ②求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合切化弦、正弦定理以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）①利用余弦定理可得出关于的等式，即可解得的值； ②由结合所求数据可求得的值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，即， 所以， 因为，，所以，，所以， 又，所以． 【小问2详解】 ①因为，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 即，而，所以． ②由知． 16. 某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计了年月至月对该家服装店不满意的客户人数如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 （1）通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数与月份之间存在线性相关关系，求其之间的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数； （2）工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，试根据小概率值的独立性检验，判断能否认为满意度与性别有关联？ 满意 不满意 女客户 48 12 男客户 22 18 附：经验回归方程为，其中，. ，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数为 （2）能认为满意度与性别有关联 【解析】 【分析】（1）计算出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法，计算出、的值，可得出经验回归方程，再将代入经验回归直线方程，可求得结果； （2）提出零假设服务满意度与性别无关联，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 由表中的数据可知， ，， ，， ，， 不满意人数与月份之间的经验回归方程为． 当时，， 故预测年月对该大型服装店服务不满意的客户人数为． 【小问2详解】 零假设服务满意度与性别无关联， 由表中的数据可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故能认为满意度与性别有关联． 17. 已知项数为的数列满足：且． （1）若为等比数列，求的值； （2）若是等差数列，求公差的值． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，由题设结合等比数列前n项和公式求出，再由题设即可求出. （2）先由等差数列前n项和公式求得，即，接着分、和三种情况结合题设列出关于首项和公差列出不等式组即可求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，显然． 由，得，解得． 由，得，所以或． 【小问2详解】 由，得，所以，即． 当时，，此时（舍去）； 当时，则且， 即解得； 当时，则且，即解得． 综上所述，公差的值为或． 18. 已知椭圆的离心率为，菱形的四个顶点都在上．当菱形的四个顶点恰为的四个顶点时，菱形的面积是． （1）求的方程； （2）证明：与的交点为坐标原点； （3）求菱形周长的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率可得出，再结合菱形的面积可求出、的值，由此可得出椭圆的方程； （2）分三种情况讨论：①直线的斜率不存在；②直线的斜率为；③直线的斜率存在且不为零；在前两种情况下，直接验证结论成立；在第三中情况下，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，求出线段的中点坐标，并求出直线的方程，同理可求出的中点坐标，根据两对角线的中点重合可求出的值，即可证得结论成立； （3）分情况讨论：①当的斜率不存在或斜率为时，直接求出菱形的周长；②当的斜率存在且不为零时，根据（2）中的结论可得出、的表达式，结合勾股定理与基本不等式可求得的取值范围，综合可得出菱形周长的取值范围. 【小问1详解】 设的半焦距为，依题意，，所以，所以， 又因为菱形的面积为，所以， 所以，所以，所以的方程为． 【小问2详解】 当的斜率不存在时，则的斜率为，此时菱形的顶点为椭圆的四个顶点，故与的交点为； 当的斜率为时，则的斜率不存在，此时菱形的顶点为椭圆的四个顶点，故与的交点为； 当的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 设点、，的中点为． 联立得， 所以， 且，所以，， 即． 因为菱形的对角线互相垂直平分，故直线的方程为， 化简，得， 同理可得中点的横坐标， 因为且，所以，即点，即与的交点为坐标原点． 综上所述，与的交点为坐标原点. 【小问3详解】 当的斜率不存在或斜率为时，易得菱形的边长为，故其周长为． 当的斜率存在且不为时，由（1）知联立所得的方程为， 所以． 同理，由勾股定理可得， 所以 ， 令，则，所以， 即周长的取值范围为. 综上所述，菱形周长的取值范围是． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19. 若函数满足：、，均有成立，则称函数为“绝对平方根函数”． （1）判断是否为绝对平方根函数，并说明理由； （2）证明：为绝对平方根函数． 【答案】（1）是绝对平方根函数，理由：是绝对平方根函数．理由如下： 设、，则， 令，函数，所以，故， 即， 故函数是绝对平方根函数． （2）证明：先证明一个结论：对，有． 令，则，易得时，时，， 故在上单调递增，在上单调递减，所以， 故（当且仅当时等号成立），所以， 且， 所以，即． 由，可知当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论． 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有． 对任意的，设，则， 显然在上单调递增，且有 ， 且当，且时，， 所以． 所以在上存在零点，再结合在上单调递增， 得当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增． ①当时，有； ②当时，由于，取． 当时，， ． 再根据在上单调递减，即知当时，都有； 综合①②可知对任意，都有，即． 根据和的任意性，取，就得到． 所以． 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论， 可得， 而根据的单调性，知或， 故一定有成立． 综上所述，对恒成立，故为绝对平方根函数． 【解析】 【分析】（1）根据“绝对值平方根”函数的定义验证即可得出结论； （2）先证明结论：对，有，然后分三种情况：、、讨论，利用导数结合“绝对值平方根函数”的定义可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $