精品解析： 北京市顺义区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的基本性质，把每一个选项中的比例式化成等积式即可解答． 【详解】解：A．因为，所以，故符合题意； B．因为，所以，故不符合题意； C．因为，所以，故不符合题意； D．因为，所以，故不符合题意； 故选：A． 2. 将抛物线向上平移个单位后得到新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位后得到新抛物线表达式为， 故选：． 3. 将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式． 配方后转化即可． 【详解】， 故选：D． 4. 如图，在中，，为上两点，为的直径．如果，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 由，根据圆周角定理得出，再利用邻补角的性质即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象经过点 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式的方法是解题的关键．先代入求出的值，再根据反比例函数的性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：代入得，， 反比例函数为， A、，故此选项说法不正确，不符合题意； B、因为，所以函数图象经过点，故此选项说法正确，符合题意； C、当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，不符合题意； D、当时，，故此选项说法不正确，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点A作于点D，解直角三角形得，根据即可求解． 【详解】解：过点A作于点D， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：D． 7. 二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上， ∴， 故A选项错误，不符合题意； ∵二次函数图象与y轴的正半轴相交， ∴， 故B选项错误，不符合题意； 根据二次函数图象与x轴的交点为， ∴，， 两式相减，得， ∴， 故C选项正确，符合题意； 当时，， 即， 故D选项错误，不符合题意， 故选：C． 8. 如图，一块正方形的木板，边长为，将该木板在同一平面内沿水平线无滑动翻滚两次，则点从开始到结束所经过的路径长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算：弧长 ， （为正整数）为弧所对的圆心角的度数，为圆的半径）．也考查了正方形和旋转的性质． 由题意得到B点经过的路径有两段，其中一段以为半径，圆心角为的弧长，另一段是以为半径，圆心角为的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：点经过的路径如图， 因为正方形的边长为， ∴， 所以B点所经过的路径长． 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此可得答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式： ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据开口向下和过点（0，2），可知二次项系数小于0，与y轴交于（0，2），即可写出解析式； 【详解】根据函数开口向下且过点（0，2）可得：； 故答案是； 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解，准确判断是解题的关键． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则______． 【答案】0 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：0． 12. 物理课中同学们观察了小孔成像现象．如图，电子蜡烛的火焰高度为、倒立的像的高度为，小孔到火焰的距离为，则小孔到火焰的像的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，设与交于点，过作于点，延长，交于点，由题意得，，，，则，，然后由相似三角形的性质即可求解，解题的关键掌握相似三角形的判定与性质． 【详解】解：如图，设与交于点，过作于点，延长，交于点， 由题意得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴小孔到火焰的像的距离为， 故答案为：． 13. 如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正弦函数，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．设每个网格正方形的边长为1，且，交的延长线于点D，利用勾股定理，正弦函数的定义解答即可． 【详解】解：设每个网格正方形的边长为1，且，交的延长线于点D，根据题意，得， 故， 故， 故答案为：． 14. 如图，直线，相交于点，．若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， 故答案为：． 15. 《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合解答即可． 【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上， ∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是②③． 故答案为：②③． 16. 在平面直角坐标系中，若无论为何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，依据题意，由直线（k是常数，）过点，抛物线开口向下，对称轴为直线，则时，满足题意． 【详解】解：∵直线， ∴直线过定点， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵无论k为何值时，直线与抛物线总有公共点， ∴时，，即， ∴无论为何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值．根据零指数幂运算法则、特殊角的三角函数值、二次根式的化简、绝对值的化简等知识，进行计算即可． 【详解】解： 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把代入化简后的式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：， ． ． 20. 如图，在四边形中，，，，． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质， （1）根据“两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”即可得证； （2）根据三角形相似的性质，对应边成比例即可求解； 【小问1详解】 证明：，，， ．． ． 又， ． 【小问2详解】 解：， ． ， ． ． 21. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数的表达式； （2）直接写出时，的最大值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的最值、 （1）利用待定系数法求出二次函数的表达式即可； （2）把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：将，代入二次函数得 解得 所以二次函数的表达式为 【小问2详解】 ， ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， 当时，∵ ∴当时，取得最大值，最大值为 22. 数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图，是的直径，射线交于点． 求作：的中点． 小华的作法： ①在射线上截取，使； ②连接，交于点． 所以点就是所求作的点． （1）按照小华的作法，补全图形； （2）补全下面的证明． 证明：连接， 是的直径， ______（ ）（填推理依据）． ， ． ______． 点为的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．也考查了圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）连接，根据圆周角定理的推论，再根据等腰三角形的性质得到，所以． 【小问1详解】 解：如图，点为所作； 【小问2详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点． 故答案为：90°，直径所对圆周角为直角，． 23. 某校九年级数学兴趣小组开展测量“学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取，两处（，，在同一条直线上），测得地面上，两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和．请根据他们的测量数据，求旗杆的高大约是多少？（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【答案】旗杆的高度大约是 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用锐角三角函数的定义解直角三角形是解题的关键．设为，分别在和表示出、，再利用列出方程，代入三角函数值的数据解出的值即可解答． 【详解】解：设为， 在中，， ， ， ． 在中，， ， ， ． 又， ， 解得：， 答：旗杆的高度大约是． 24. 篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． （1）小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； （2）小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②；③能，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与投球的运用，理解并掌握抛物线的性质，顶点坐标，图形开口，水平距离与垂直高度的关系是解题的关键． （1）①根据表格信息得到值的变化与值的变化情况即可求解；②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入计算即可；③把代入计算得到小华投球的高度与篮筐高度进行比较即可求解； （2）根据篮球出手时竖直高度满足，分类讨论：当经过函数关系的图象上时；当经过函数关系的图象上时；代入计算即可． 【小问1详解】 解：①根据题意，顶点坐标为， ∴篮球的竖直高度的最大值为； ②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入二次函数中得， ， 解得，； ③能，理由如下， 根据上述计算可得，， ∴当时，， ∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐； 【小问2详解】 解：篮球出手时竖直高度满足，篮筐中心水平距离的位置，篮筐距离地面的高度为， ∴当经过函数关系的图象上时， ， 解得， 当经过函数关系的图象上时， ， 解得，； ∴小明将篮球投进篮筐中心，的取值范围为． 25. 如图，点P为外一点，过点P作的切线和，切点分别是点A和点B，连接，直线与交于点C和点E，交于点D，连接，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线长的性质可证，得到，由等腰三角形的定义即可求解； （2）连接，可得，由全等三角形的性质可得，则，可得，根据同弧所对圆周角相等可得，则有，设，则，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：，是的切线， ， ∴平分， ． 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， ， ． ， 又， ， ，平分， ， ， ， 设，则，有， 即， 解得：（负根舍去），即． 【点睛】本题主要考查切线的性质，切线长的性质，直径对的圆周角是直角，等腰三角形的判定和性质，三角函数的计算，勾股定理等知识的综合运用，掌握切线及切线长的性质，三角函数的计算方法是解题的关键． 26. 已知抛物线，若点，在抛物线上． （1）求抛物线的对称轴（用含的字母表示）； （2）若对于时，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的解析式，得到对称轴为； （2）根据题意，得到，变形为，结合m的范围，得到． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴对称轴为：直线, 即； 【小问2详解】 解：，， ， ， ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 27. 如图，在中，点在边上，作点关于对称点，连接交于点，连接，作（点在右侧），且，连接，，，交于点． （1）①依题意补全图形； ②若，用含有的式子表示的度数； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；② （2）（或或） 【解析】 【分析】（1）①正确画图即可； ②根据轴对称的性质和等腰三角形的性质即可解答； （2）如图2，过点F作于H，证明是等腰直角三角形，证明，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形中斜边是直角边的倍即可解答． 【小问1详解】 解：①如图1所示， ②∵点D关于的对称点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图2，过点F作于H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由②知：， ∴， ∵， ∴， ∵点D关于的对称点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质，正确作辅助线解决问题是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫做关于点的“关联点” （1）①点，，点关于点A的“关联点”的坐标是______； ②若点关于点的“关联点”的坐标是，则点的坐标是______； （2）直线分别与轴，轴相交于点，，是线段上的点． ①点，若直线上存在着点关于点的“关联点”，直接写出的取值范围； ②点是以为圆心，1为半径的圆上的点，点关于点的所有“关联点”组成图形．若图形与坐标轴有公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形-轴对称和平移变换、一次函数的性质、解一元一次不等式，理解题中新定义，正确求出变换后的点的坐标是解答的关键． （1）①根据题中定义，先确定翻折后的横坐标，再确定平移后的纵坐标即可； ②根据定义求解即可； （2）①先求出点，，设点，根据题中定义得到点关于点的“关联点”的坐标为，由点在直线上得到，利用一次函数性质求解即可； ②设点，点为圆上任意一点，则，，，，，根据题中定义得到点关于点的“关联点”的坐标为，分图形G与x轴有公共点和图形G与轴有公共点，则两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点，，点关于点A的“关联点”， ∴点关于直线翻折，横坐标变为，纵坐标不变，即， 再向上平移1个单位，横坐标不变，纵坐标变为， ∴点关于点A的“关联点”的坐标是； 故答案为: ； ②∵点关于直线翻折后的横坐标为4，纵坐标不变为，再向上平移1个单位长度后坐标为， 所以点C的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①对于，当时，，当时，由得， ∴直线与x轴交点，与y轴交点为． 设点， ∵， ∴点P关于直线翻折后横坐标为，纵坐标为，再向上或向下平移个单位后，得到点关于点的“关联点”的坐标为， ∵点在直线上， ∴，即， ∵是线段上的点， ∴， ∴； ②设点，点圆上任意一点， 则，，，， ∴， 点关于直线翻折后横坐标为，纵坐标为，再向上平移个单位，得到点关于点的“关联点”的坐标为，这些点组成图形． 若图形G与x轴有公共点，则有解，即， 因为，所以，解得， 又，所以； 若图形G与轴有公共点，则有解，，因为，所以，又，所以． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，那么下列比例式中正确是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向上平移个单位后得到新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，在中，，为上两点，为的直径．如果，那么为（ ） A. B. C. D. 5. 若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A B. 函数图象经过点 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时， 6. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一块正方形的木板，边长为，将该木板在同一平面内沿水平线无滑动翻滚两次，则点从开始到结束所经过的路径长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 10. 请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式： ______ ． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则______． 12. 物理课中同学们观察了小孔成像现象．如图，电子蜡烛的火焰高度为、倒立的像的高度为，小孔到火焰的距离为，则小孔到火焰的像的距离为______． 13. 如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为______ 14. 如图，直线，相交于点，．若，，，则______． 15. 《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． 16. 在平面直角坐标系中，若无论为何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是______． 三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形中，，，，． （1）求证：； （2）若，求的周长． 21. 已知二次函数图象经过点，． （1）求二次函数的表达式； （2）直接写出时，的最大值． 22. 数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图，是的直径，射线交于点． 求作：的中点． 小华的作法： ①在射线上截取，使； ②连接，交于点． 所以点就是所求作的点． （1）按照小华的作法，补全图形； （2）补全下面的证明． 证明：连接， 是的直径， ______（ ）（填推理依据）． ， ． ______． 点为的中点． 23. 某校九年级数学兴趣小组开展测量“学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取，两处（，，在同一条直线上），测得地面上，两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和．请根据他们的测量数据，求旗杆的高大约是多少？（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 24. 篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． （1）小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； （2）小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 25. 如图，点P为外一点，过点P作的切线和，切点分别是点A和点B，连接，直线与交于点C和点E，交于点D，连接，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 26. 已知抛物线，若点，在抛物线上． （1）求抛物线的对称轴（用含的字母表示）； （2）若对于时，都有，求的取值范围． 27. 如图，在中，点在边上，作点关于的对称点，连接交于点，连接，作（点在右侧），且，连接，，，交于点． （1）①依题意补全图形； ②若，用含有的式子表示的度数； （2）用等式表示线段与数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫做关于点的“关联点” （1）①点，，点关于点A的“关联点”的坐标是______； ②若点关于点的“关联点”的坐标是，则点的坐标是______； （2）直线分别与轴，轴相交于点，，是线段上的点． ①点，若直线上存在着点关于点的“关联点”，直接写出的取值范围； ②点是以为圆心，1为半径的圆上的点，点关于点的所有“关联点”组成图形．若图形与坐标轴有公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $