精品解析：广东省18校2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题

2024—2025学年度高一年级上学期期末联考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数有一个零点是1，则函数的零点是（ ） A. B. C. D. 4. 若幂函数在上是单调递增，则（ ） A B. C. 在上是单调递增函数 D. 是偶函数 5. 已知，且是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知某扇形的圆心角为，周长为10，设甲：为第二象限角；乙：该扇形的面积为6，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个质点在一个单位圆上按逆时针方向作匀速运动，其在轴上的投影到原点的位移，若初始位移为，随后一段时间内位移开始增加，又质点运动一圈的时间为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是第一象限角，则下面选项中一定为正值的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的最小正周期为，是奇函数，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 将图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 11. 已知的定义域为，，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是上增函数，则的取值范围是_____________． 13. 设光线通过一块玻璃，强度损失，如果光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为___________.（参考数据：） 14. 已知函数，若，则的取值范围为___________，若恒成立，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 计算以下的值： （1）； （2）； （3）化简：已知，求. 17. 已知. （1）将化为的形式，并求出在上的单调递增区间； （2）设，求的值. 18. 舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0. （1）请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）； （2）运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数； （3）若本次舆情不是严重，求的最小值. 19. 已知函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，其中分别为奇函数、偶函数. （1）求在上的最大值； （2）求证：； （3）求证：仅有1个零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度高一年级上学期期末联考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断即可 【详解】对于A，为元素，为集合，所以，故A错误； 对于B，为集合，为集合，且，所以，故B正确； 对于C，为集合，是有序数对，故C错误； 对于D，为集合，为集合，且，故，故D错误. 故选：B 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由特称命题的否定是改变量词，同时否定结论可得. 【详解】由特称命题的否定可得命题“”的否定为. 故选：C. 3. 若函数有一个零点是1，则函数的零点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的零点是1可得，代入令即可求得的零点. 【详解】由题意可得，可得； 可得， 令，因此， 解得或或； 因此函数的零点是. 故选：D 4. 若幂函数在上是单调递增的，则（ ） A. B. C. 在上是单调递增函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】先根据幂函数性质得到，，代入计算得到AB错误；根据的单调性和奇偶性得到C正确，D错误. 【详解】由题意得且，解得或（舍去）， 故， A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，在R上单调递增，故在上是单调递增函数，C正确； D选项，，故不是偶函数，D错误. 故选：C 5. 已知，且是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与在给定区间的正负性，结合韦达定理求出的值. 【详解】在区间内，，. 已知和是方程的两根， 根据韦达定理有，. 因为，所以. 又因为，所以.则. 所以， 又，即，解得. 故选：C. 6. 已知某扇形的圆心角为，周长为10，设甲：为第二象限角；乙：该扇形的面积为6，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由扇形的面积公式，弧长公式以及象限角的范围结合充分、必要条件判断即可； 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 则，解得或， 所以当时，（弧度），其为第二象限角；当时，（弧度），其不第二象限角， 又第二象限角的范围为， 所以甲无法推出乙，乙也无法推出甲. 故选：D. 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可； 【详解】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. 8. 已知一个质点在一个单位圆上按逆时针方向作匀速运动，其在轴上的投影到原点的位移，若初始位移为，随后一段时间内位移开始增加，又质点运动一圈的时间为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意由余弦函数的周期，特殊函数值，单调性求解即可； 【详解】由质点运动一圈的时间为可得， 由初始位移为可得，因为，所以， 因随后一段时间内位移开始增加，所以， 所以即， 由余弦函数的性质可得， 因为，所以， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是第一象限角，则下面选项中一定为正值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据是第一象限角，得到的范围判断. 【详解】解：因为是第一象限角， 所以， 则， ， 所以，不确定，，， 故选：ACD 10. 已知函数的最小正周期为，是奇函数，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 上单调递减 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用周期公式和奇偶性可得A正确，求得函数的解析式代入检验可得B正确，由整体代换法以及正弦函数单调性可判断C错误，再由平移规则以及诱导公式计算可得D正确. 【详解】由题意可知，解得， 又是奇函数，可得，即， 又，可得，即可得A正确； 对于B，因此可得， 当时，可得，取得最小值， 因此的图象关于直线对称，即B正确； 对于C，当时，， 由正弦函数的单调性可得在上不是单调递减的，即C错误； 对于D，将的图象向左平移个单位长度后得到，即D正确. 故选：ABD 11. 已知的定义域为，，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，通过赋值可判断；对于B，通过赋值可判断；对于C，通过赋值可判断；对于D，结合BC可判断. 【详解】对于A，令可得：，结合， 所以，A错误； 对于B，令，可得，由A可得： ，即，偶函数，B正确； 对于C，令，可得，可得：， 再令，可得， 所以， 所以的图象关于点中心对称，C正确； 对于D:由， 可得：结合 可得：，所以，周期为2，D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是上的增函数，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，通过解不等式组即可求出答案. 【详解】根据题意，可得，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 13. 设光线通过一块玻璃，强度损失，如果光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为___________.（参考数据：） 【答案】11 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，再利用两边取常用对数，从而转化为对数运算求解不等式即可. 【详解】由题意得：，由于，所以有， 两边取常用对数得：，因为， 所以有， 即至少通过这样的玻璃11块. 故答案为：11. 14. 已知函数，若，则的取值范围为___________，若恒成立，则的最大值为___________. 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】探讨函数的奇偶性及单调性，再利用此性质解不等式求出的范围；换元并利用基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以函数是偶函数， 当时，令， 由于函数在上单调递增，而函数是增函数， 所以函数在上单调递增， 由于， 所以， 所以，整理得，解得或， 所以的取值范围为； 又，当且仅当，即时取等号， 所以， 不等式可化为， 所以恒成立， 而， 当且仅当，即时取等号， 因此，所以的最大值为6. 故答案为：；6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由分式不等式解出集合，再由集合的运算求解即可； （2）由集合间的包含关系列不等式求解即可； 【小问1详解】 ， 解得，所以，或， 若，， 所以. 小问2详解】 因为，所以，解得. 16. 计算以下的值： （1）； （2）； （3）化简：已知，求. 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则计算可得结果； （2）根据对数运算法则直接计算即可； （3）利用诱导公式化简可得，再将其代入计算可得结果. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式. 【小问3详解】 由，得， 即， 所以. 17. 已知. （1）将化为的形式，并求出在上的单调递增区间； （2）设，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式化简，借助正弦曲线的单调性即可求； （2）由题意的范围，利用平方关系求出，，再利用差角公式即可求. 【小问1详解】 ，即， 当且仅当， 即时，单调递增， 所以在上的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，即， 所以， ， 所以 . 18. 舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0. （1）请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）； （2）运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数； （3）若本次舆情不是严重的，求的最小值. 【答案】（1）③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据以及指数爆炸模型可得结论； （2）利用待定系数法求得函数解析式，即可做出预测； （3）将问题转化为不等式恒成立再利用二次函数性质可求得结果. 【小问1详解】 ③； 根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③； 【小问2详解】 将表格数据代入，得，， 解得， 故函数为， 则第4天时的舆论场指数为. 【小问3详解】 若本次舆情不是严重的，则恒成立， 原式等于，故两边同时除以，得到， 不妨设，故原式等于，整理得， 由于在上单调递减，故只需要当时，成立即可， 代入得，解得， 故的最小值为. 19. 已知函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，其中分别为奇函数、偶函数. （1）求在上的最大值； （2）求证：； （3）求证：仅有1个零点，且. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过的单调性即可判断； （2）由函数奇偶性求得，再通过作差法，结合基本不等式即可求证； （3）由零点存在性定理确定，再通过，构造函数确定单调性进而可求解； 【小问1详解】 由已知得，，， 所以，所以， 所以在上单调递增， 所以在上的值域为，即最大值为. 【小问2详解】 因为，即①， 所以，即， 因为分别为奇函数，偶函数，所以②， 由①、②得，，所以 ， 即成立，当且仅当时取等号. 【小问3详解】 由以上得，，所以定义域为且单调递增， 因为，因为， 所以， 由零点存在定理得，存在唯一零点，使得， 所以， 要证， 令.显然函数在定义域上单调递增， 因为，所以， 因为，所以，则， 所以成立，所以成立，原式得证. 【点睛】关键点点睛：第三问：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$