2.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课题：2.1.1　倾斜角与斜率 （1） 课时教学内容 直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式. （2） 课时教学目标 1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3.掌握过两点的直线的斜率公式. （3） 教学重点与难点 1.教学重点：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系 2.教学难点：过两点的直线斜率的计算公式. （4） 教学过程设计 1.课题引入： 我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数 对象对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，实现通过 代数运算来研究几何图形性质的目的. 问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？ 师生活动：教师引导学生回顾平面几何中的研究对象、研究方法的基础上，指岀本章要用坐标法对这些对象进行再研究，并说明坐标法与综合法的异同，特别要强调坐标法实现了对图形性 质的定量化研究. 设计意图：通过回顾，明确解析几何学的研究对象，使学生对坐标法形成初步印象，并引出本节的研究内容. 2.探究新知 问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几 何要素是什么？ 师生活动：学生独立思考并回答.学生的最常见的回答是“两点确定一条直线”. 追问：还有没有其他确定一条直线的方法？ 师生活动：教师引导学生思考，得出一点和一个方向也能确定一条直线，并把两点确定一条直线归结为一点和一个方向确定 一条直线. 设计意图：引导学生在两点确定一条直线的基础上，认识到“一点和一个方向”也可以唯一确定一条直线，方向是直线的一个重要几何要素. 问题3：下面我们利用直角坐标系进一步研究确定直线位置的几何要素.观察图1中经过定点P的直线束，它们的区别是什么？你能用利用直角坐标索中的一些元素将这些直线区分开 来吗？ 师生活动：学生可能会指出这些直线的区别在于它们的方向不同，也可能会说这些直线与x轴所成的角不同.在学生充分讨论的基础上，教师可以引导学生思考，以平面直角坐标系中坐标 轴为基准规定直线的方向，并用直线与z轴形成的角刻画直线的方向，在此基础上引入倾斜角的 概念. 在上述探究过程中，学生的第一反应是与y轴的夹角.教师要做好引导，说明方向与夹角之间的关系，两者都描述了直线的倾斜程度. 设计意图：让学生通过观察过同一点的不同位置的直线，并强调以直角坐标系为参照系，探究区分不同位置直线的方法，引导学生感受在直角坐标系中利用倾斜角刻画直线方向的合理性. 问题4：你认为直线的倾斜角在什么范围内变化？ 师生活动：教师可以通过信息技术演示直线l从与x轴平行或重合时开始绕一个点旋转的过程，让学生感受直线的倾斜角的变化范围是,使学生确认范围内的角能表示所有直线的方向. 设计意图：借助信息技术的直观，引导学生讨论在直角坐标系中直线的倾斜角取值的各种情况，进一步确认用倾斜角刻画一条直线倾斜程度的合理性. 问题5：直线l的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢？我们知道，直线l可由其上任意两点，(其中)唯一确定，可以推断，直线l的倾斜角一定与两点的坐标有内在联系.到底具有怎样的联系？下面我们利用向量来研究这个问题. （1）已知直线l经过，两点，直线l的倾斜角与O, P两点的坐标有什么关系？ （2）如果直线经过两点，直线l的倾斜角与两点的坐标有什么关系？ 师生活动：教师提岀问题，引导学生体会向量法的优势，以及为什么要用正切函数来建立角与给定两点坐标之间的联系（作为比较，必要时可以引导学生分析用正弦函数或余弦函数的弊端）. 追问：你能将上述方法进行一般性的推广吗？ 师生活动：学生通过独立思考，将问题推广到一般情形，并自主探究解答.当的方向不同时，教师要引导学生讨论倾斜角与两点坐标的关系，得到计算公式后追问下面的问题. 问题6：这个公式对任何给定的两点都适用吗？这个公式的意义是什么？与我们日常生活中刻画斜面倾斜程度的坡度有联系吗？ 师生活动：学生在观察与分析中能发现公式对垂直于x轴的直线不适用，其他都适用；并能 在讨论交流中认识到该公式是通过点的坐标刻画倾斜角，也就是直线的方向，这正是我们最希望 得到的一个量,用点的坐标表示直线的方向.从而引导学生将其命名为斜率，并用字母k表示它，即k= .最后引导学生回忆日常生活中坡度的计算方法，感知直线的斜率与坡度有相似的地方. 设计意图：通过对特殊问题一般化的抽象得到倾斜角的正切值，即斜率的计算公式，并通过 师生对该公式意义的分析，发现它正是我们寻求的刻画直线方向的代数表达.这种形式能直接参 与代数运算，实现用代数方法处理几何问题的目的. 问题7：当直线的倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？当直线的倾斜角是0°或90°时，直线的斜率是多少？ 师生活动：引导学生通过正切函数的概念以及单调性回答，可以画出正切函数的图象，帮助 学生理解其中的变化情况和特殊点的取值. 设计意图：结合正切函数的概念及其单调性，帮助学生认识随着倾斜角的变化，斜率的变化 情况，理解其中斜率不存在的情况，使得学生对倾斜角和斜率的概念有更清晰的认识. 3.巩固应用 例 1 如图 2,已知 A (3, 2), B (-4, 1), C (0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 师生活动：例1由学生自己完成，可以请一位同学上讲台板书解题过程；思考题为备选题, 视学生学情而定，可以师生共同分析完成. 设计意图：通过例1帮助学生巩固掌握斜率公式，熟悉斜率大小与倾斜角的关系. 4.课堂小结： 本节课，我们在平面直角坐标系中，讨论了确定直线位置的几何要素，即两点确定一条直线以及一点和一个方向确定一条直线.并从形和数的角度利用倾斜角和斜率来刻画直线的倾斜程度，即表示了直线的方向，并探讨了倾斜角、斜率与直线上两点坐标的关系，探讨了直线的方向向量与斜率的关系.在此过程中体会到了数形结合数学思想以及将几何问题转化为代数问题的化归转化思想. 师生活动：教师提岀问题，先由学生梳理，其他同学补充，师生再一起整理岀本节课研究问题的基本流程框图.教师再结合框图，总结本节课蕴含的主要数学思想方法：类比联想、分类讨论、坐标法、数形结合思想. 设计意图：通过对本节课所学知识，特别是研究过程的梳理，培养学生反思与整理的意识与习惯，让学生了解解析几何的起源与坐标法思想，对倾斜角、斜率两个概念的发现——探究的过程与方法有清晰的认识. 5.布置作业 教科书习题2.1第1, 2, 3, 4, 7, 8题. # |普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第一册I 学科网（北京）股份有限公司 $$