2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（教学设计）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 教学设计 1.教学内容 本节课是人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定，内容包括：本节课学习直线的倾斜角与斜率.先明确倾斜角定义：本节课聚焦两条直线平行与垂直的判定定理.先回顾直线倾斜角与斜率的概念，进而探究斜率与两直线位置关系的关联：不重合且斜率存在的两直线，平行等价于斜率相等，垂直等价于斜率之积为 - 1；若有直线斜率不存在，平行需另一直线斜率也不存在，垂直则另一直线斜率必为 0.通过推导验证定理，结合实例练习，掌握用斜率判定的方法，体会代数方法解决几何问题的思想，为后续学习直线方程的应用奠定基础，深化对平面内直线位置关系的理解. 2.内容解析 本节课是在直线倾斜角与斜率基础上，探究两直线平行与垂直的判定.其核心是建立斜率与位置关系的联系，体现代数法解几何问题的思想.对斜率存在与不存在的情况分类讨论，培养严谨思维.通过推导验证和实例练习，既巩固旧知，又为后续直线方程应用铺垫，是平面解析几何的重要过渡，能深化学生对直线位置关系的理解，提升转化与推理能力. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握斜率存在与不存在时两直线平行和垂直的判定方法. 1.教学目标 （1）掌握直理解两条直线平行与垂直的条件，培养数学抽象的核心素养. （2）能根据斜率判定两条直线平行或垂直，强化数学运算的核心素养. （3）能利用两直线平行或垂直的条件解决问题，培养逻辑推理的核心素养. 2.目标解析 （1）该目标聚焦于理解两直线平行与垂直的条件，需从具体实例抽象出本质规律，将位置关系转化为数量关系，此过程能有效锻炼数学抽象能力，是掌握判定定理的基础.​ （2）此目标要求运用斜率判定位置关系，需准确计算斜率及相关数值，规范推理步骤，在实践中强化数学运算素养，是定理应用的关键环节.​ （3）该目标强调运用定理解决实际问题，需分析题意、构建模型、选择方法，通过逻辑推理得出结论，提升综合应用能力，体现知识的实用价值. 学生已学直线倾斜角和斜率，能计算简单直线斜率，对平行、垂直有直观认知，但缺乏用斜率刻画的理性认识.多数学生能理解斜率与倾斜角的关系，但对 “斜率不存在” 的特殊情况易忽视，分类讨论意识薄弱.​ 预估困难： 一是难以理解斜率相等与平行、斜率之积为 - 1 与垂直的推导逻辑； 二是易忽略两直线重合与平行的区别，以及斜率不存在时的判定； 三是应用定理解决问题时，难以准确转化条件.​ 解决方法：通过几何画板动态演示，直观呈现斜率与位置关系的联系；设置对比练习，强化对特殊情况的关注；结合实例分步引导，梳理转化思路. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解斜率与平行、垂直的关联，掌握特殊情况判定，准确运用定理解决问题. 情境引入 数学来源于生活，请同学们想想，生活中的哪些场景中既包含两条直线平行，也包含两条直线垂直的情形？ 场景一：过山车 场景二：脚手架 场景三：马路标线 思考：如何利用新学的斜率来判断两条直线的平行与垂直呢? 设计意图：联系生活场景，激发学习兴趣，引导学生思考斜率与平行、垂直的关联，为新课学习铺垫. 教学建议：展示场景实物图，让学生指认平行与垂直，结合问题引导猜想，自然过渡到定理探究. 作图：在平面直角坐标系中，作两条不重合直线l1，l2，它们的倾斜角均为α 学生：根据要求做出两条直线的图. 预设： 观察：观察小组各成员画两直线l1，l2，它们的位置关系是什么？ 学生：观察图像，得出结论 预设：倾斜角相等的两条不重合直线平行 思考：两条直线的斜率满足什么条件，这两条不重合直线平行？ 学生：回顾倾斜角定义，以及和斜率的关系，得出结论 预设：根据倾斜角与斜率的关系可得：因为倾斜角相等，所以斜率相等，因此，斜率相等的两条不重合直线平行. 思考：如何用数学语言表达以上结论？ 学生：小组讨论，尝试用数学语言表达以上结论，体会用数学语言区描述结论 预设：结论1：倾斜角相等的两条不重合直线平行，符号语言： 结论2：斜率相等的两条不重合直线平行，符号语言： 辨析：若两直线倾斜角相等（斜率相等），则它们的位置关系可能是什么？ 学生：先独立思考，学会辨析的看待问题 预设：平行或重合 思考：两直线平行，那么它们的倾斜角相等吗？ 预设：两条直线平行，则直线的方向相同，由倾斜角定义可知，直线方向相同的直线倾斜角相等,即 ’ 追问：两直线平行，那么它们的斜率一定相等吗？为什么？ 预设：不一定，直线的斜率可能不存在 归纳总结： 1、任意两条不重合的直线平行的充要条件是两直线的倾斜角相等： 2、任意两条斜率存在且不重合的直线平行的充要条件是两直线的斜率相等： 问题：当时，直线与直线的斜率均不存在时，两直线是什么位置关系？ 学生：画图，利用数形结合得到答案： 由数形结合可得，当时，直线的斜率不存在，此时． 若直线，重合，此时仍然有． 师生：共同讨论总结，两直线平行的判定的知识： 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 对应关系 两直线的斜率都不存在 图示 牛刀小试： 练1：（多选）下列说法错误的有（    ） A．若两直线斜率相等，则两直线平行； B．若，则； C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行. 学生：思考并独立完成，得出答案，做好分享准备 解析：当时，与平行或重合，故A错误； 当斜率不存在时，与也平行，故B错误； 一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则它们必然相交，故C正确； 两直线斜率都不存在，与平行或重合，故D错误. 练2：（多选）若为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为，斜率分别为，则下列命题正确的是（     ） A．若，则斜率 B．若斜率，则 C．若，则倾斜角 D．若倾斜角，则 学生：思考并独立完成，得出答案，做好分享准备 解析：因为为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为，斜率分别为， 若，则斜率相等，即；又斜率是倾斜角的正切值，所以， 故AC正确； 若，则，所以，故BD正确 练3：已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（    ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 学生：思考并独立完成，得出答案，做好分享准备 解析：依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 练4：判断下列各组直线的位置关系，并说明理由． (1) 经过点，经过点； (2) 的斜率为，经过点. 学生：思考并独立完成，得出答案，做好分享准备 解析：（1）设直线，的斜率分别为，，所以，， 所以，所以与不平行； （2）设直线，的斜率分别为，，则，以， 所以，所以或与重合 例2 已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论． 学生：思考并与同桌交流，得出答案，做好分享准备， 预设：如图2.1-8，由已知可得直线的斜率， 直线的斜率，因为， 所以直线． 跟踪练习：已知l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过C(3，－3)，D(8，－7)，判断直线l1与直线l2是否平行． 师生：自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：由题意知，直线l1 的斜率k1＝＝－， 直线l2 的斜率k2＝＝－， 因为k1＝k2，且直线l1与l2不共点，所以l1∥l2. 例3 已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明． 学生：思考并与同桌交流，记录下问题，得出答案，做好分享准备， 预设：如图，由已知可得边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率． 因为，，所以，． 因此四边形是平行四边形． 问题：如何利用斜率证明两条直线平行？ 师生：共同研讨交流，并得出利用斜率证明两条直线平行的具体步骤. 第一步：求斜率：分别求两条直线的斜率； 第二步：确定斜率关系：两个斜率相等或两个斜率均不存在； 第三步：明确不共点：说明两条直线没有公共点； 第四步：下结论：所以两直线平行. 设计意图：通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用直线斜率判断两直线平行和垂直的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。 引言：显然，当两条直线相交时，它们斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形. 思考：如何当直线垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？ 提示：利用向量工具，考虑两条直线的方向向量垂直时，数量积是多少？ 学生：回顾知识并思考，得出结论 问题1：如何设两条直线的斜率分别为，方向向量分别为，试用斜率写出向量的坐标． 学生：回顾知识，并回答： 问题2：如果，那么方向向量有什么关系？你会得出怎样的关系式？ 学生：回顾知识，并回答：， 思考：如图，任意两条垂直直线的倾斜角是什么关系？ 学生：观察图形，得出结论 预设：不妨设，由图可知 结论：① 任意两条斜率存在的直线垂直的充要条件是：两直线的斜率之积等于−1，即 ② 任意两条直线垂直的充要条件是：大倾斜角－小倾斜角=90°，即 问题3：当直线的倾斜角为0°时，若直线，则的斜率应满足什么条件？ 学生：做图，并回答问题：如图，当直线的倾斜角为0°时， 若，则的倾斜角为90°，此时直线的斜率不存在． 师生：归纳总结两条垂直直线斜率之间的关系 类型 斜率都存在 （或）的斜率不存在 前提条件 对应关系 图示 牛刀小试 练1：（多选）下列说法中，正确的有（      ） A．斜率均不存在的两条直线可能重合 B．若直线，则这两条直线的斜率的乘积为 C．若两条直线的斜率的乘积为，则这两条直线垂直 D．两条直线，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则 解析：若，则斜率均不存在，但两者重合，故A正确； 若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则这两条直线互相垂直，但此时乘积不为，故B错误；D正确； 两直线的斜率存在，且乘积为时，这两条直线垂直，故C正确. 练2：判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 解析：（1）因为，，所以，所以． （2） 因为A、B两点横坐标相同，直线的斜率不存在，又，所以． （3）因为法向量为，所以；因为法向量为，所以， 所以1，所以． 例4 已知，，，，试判断直线与的位置关系． 学生：思考并与同桌交流，得出答案，做好分享准备， 预设：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以． 例5 已知，，三点，试判断的形状． 学生：思考并与同桌交流，得出答案，做好分享准备， 师生：一起分析该题的解题思路，得出：一画图、二猜想、三证明的解题思路，学生根据此思路自主作答，并做答案分享准备； 分析：如图，猜测，是直角三角形， 预设：边所在的直线的斜率为，边所在的直线的斜率为， 由，得，即，所以是直角三角形． 归纳总结：如何利用斜率证明两条直线垂直？ 师生共同总结：第①步，求斜率：分别求两条直线的斜率； 第②步；确定斜率关系：两个斜率乘积等于-1 或 一个斜率不存在、一个斜率为0； 第③步；下结论：所以两直线垂直. 设计意图：通过典例解析，进一步让理解运用直线斜率判断直线平行与垂直的方法，提升推理论证能力，进一步体会坐标法解决问题的基本思想. 题型一：斜率法判断直线平行或垂直 例题1：经过两点，的直线，与经过点且斜率为的直线；判断直线与的位置关系 解析：由题意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k2＝1，， 又直线l1，l2不重合，所以两直线平行； 方法总结：先求两直线的斜率，若斜率相等，且直线不重合，则它们平行 例题2：经过两点的直线，与经过点M（1，﹣4）且斜率为﹣5的直线；判断直线与的位置关系. 解析：由题意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k2＝﹣5，k1•k2＝﹣1，故两直线垂直. 方法总结：先求两直线的斜率，若k1k2=−1(或一个斜率为0，一个斜率不存在)，则两直线垂直. 题型二：已知直线平行关系求参数值 例题：已知过和的直线与斜率为－2的直线平行，则的______ 解析： 方法总结：由直线平行，得到两直线的斜率相等，利用该等式关系建立关于参数的方程，解方程即可得解. 注意斜率都不存在的情况. 题型三：已知直线垂直关系求参数值 例题 过点，的直线与过点，的直线垂直，则的值为_________. 解析： 方法总结：由直线垂直，得到两直线的斜率乘积等于-1，利用该等式关系建立关于参数的方程，解方程即可得解. 注意斜率一个为0、一个不存在的情况. 题型四：斜率法证明三点共线 例题：已知，，三点，求证这三点共线. 解析：由题意可知直线的斜率，直线的斜率. 因为，并且它们过同一点，因此，，三点共线． 方法总结：斜率法证明三点共线的步骤： 第一步：求斜率：用三点中任意两点求斜率，求两个，比如求； 第二步：斜率相等：说明求的两个斜率相等； 第三步：平行且共点：说明两条直线平行且共点； 第四步：下结论：所以三点共线. 题型五：利用斜率判断平面图形的形状 例题：已知点，，，，试判定四边形的形状． 预设：， ， 故四边形ABCD是直角梯形． 方法总结：可以先用点的坐标试着画出图形，预猜是什么图形，然后用斜率证明平行和垂直， 证明图形的形状的猜想. 1．（21-22高二上·浙江丽水·阶段练习）（多选）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则斜率 B．若斜率，则 C．若倾斜角，则 D．若，则倾斜角 解析：A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误. B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确. C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确. D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确. 故选：BCD 2．（22-23高二上·广东广州·期中）已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 解析：因为直线的倾斜角为，所以， 又，所以. 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线，若直线过点，则 ． 解析：因为直线的倾斜角为，所以． 又直线，则，解得． 故答案为： 4．（23-24高二上·江苏扬州·期末）（多选）已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（   ） A．若斜率相等，则平行 B．若平行，则的斜率相等 C．若的斜率乘积等于，则垂直 D．若垂直，则的斜率乘积等于． 解析：根据两直线的位置关系可知若斜率相等，则平行； 若平行，当都与轴平行时，的斜率不存在，即可得A正确，B错误； 易知若的斜率乘积等于，则垂直； 若垂直,当与轴平行，与轴平行时，直线的斜率为，的斜率不存在，即可得C正确，D错误； 故选：AC 5．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 解析：由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交． 故选：B． 6．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知过点和的直线与斜率为的直线平行，则的值为 ． 解析：由题意可知，，解得． 故答案为：. 7．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）（多选）若直线的斜率，直线经过点，且，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．0 D．4 解析：因，且，则的斜率必存在，故， 即，化简得， 解得或. 故选：AB. 8．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 解析：直线的倾斜角为，斜率， 因为，所以，即. 故选：C. 9．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 解析：（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 1. 设两条不重合的直线，，斜率分别为，，倾斜角分别为，则对应关系如下： 斜率存在 斜率不存在 平行与倾斜角对应关系 图示       平行与斜率对应关系 ________ 两直线斜率都不存在 答案： 2．设两条直线，的斜率分别为，，则对应关系如下： 斜率都存在 存在一个斜率不存在 垂直与倾斜角 对应关系 图示       垂直与斜率 对应关系 与的斜率都存在，分别为，，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 答案： 作业1：完成教材：第57页 练习 第1，2题 作业2：完成教材：第57 页 习题2.1 第5,6,9,10题 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 1. 两条直线平行的判定： 2. 两条直线垂直的判定： 3. 三点共线的证明 4. 例题区：（学生板演区域） 本节课基本达成教学目标，通过生活情境引入，激发了学生兴趣.多数学生能掌握斜率存在时平行与垂直的判定方法，但对斜率不存在的特殊情况，部分学生仍易疏漏，分类讨论意识需加强.推导过程中，学生参与度较高，但逻辑表达不够清晰，需多给学生展示机会.练习环节发现，部分学生应用定理时条件转化不熟练，后续应增加变式练习，强化知识应用，同时注重培养学生严谨的思维习惯，提升数学核心素养. 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$