精品解析：内蒙古赤峰市巴林左旗2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年第一学期末学业质量监测试题九年级数学 温馨提示： 1．本试卷卷面分值150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、座位号、考生号填写在试卷和答题卡的对应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”． 3．答题时，请将答案填涂在答题卡，写在本试卷上无效． 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题4分，共56分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 方程2x2﹣3=0的一次项系数是( ) A. ﹣3 B. 2 C. 0 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】一次项系数是0.选C. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：的顶点坐标是， 故选：． 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程根的判别式得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 故选：D． 5. 若一个正六边形的边心距为，则该正六边形的周长为（ ） A. B. 24 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得边长AB，从而求出周长． 【详解】 解：如图，过O作OG⊥AB与G， ∵OA=OG, ∴AB=2AG 在Rt△AOG中，OG=，∠AOG=30°， ∴AG=OGtan30°=． ∴AB=2AG=4 这个正六边形的周长=24． 故选B． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，锐角三角函数以及等腰三角形的性质，掌握∠AOG=30°是解本题的关键． 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 图象与轴交点的坐标是 D. 图象在轴上截得的线段长度是4 【答案】D 【解析】 【分析】根据得顶点坐标是， ，判定抛物线开口向下；令，得，图象与轴交点的坐标是；令，得，求得交点坐标，后计算距离解答即可． 本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的计算是解题的关键． 【详解】解：根据得顶点坐标是， ， ∴抛物线开口向下； 故A，B错误； 令，得， ∴图象与轴交点的坐标是； 故C错误； 令，得， 解得， ∴， 故D正确， 故选D． 7. 如图，将绕点逆时针旋转至，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质即可得到，熟练掌握旋转的性质是解决此题的关键． 【详解】解： ∵绕点逆时针旋转至， ∴， ∵ ， ∴， 故选：D． 8. 如图，圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为（　　） A. 30π B. 60π C. 65π D. 90π 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理可求出圆锥侧面母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】∵圆锥的底面半径是5，高为12， ∴侧面母线长为． ∴圆锥的侧面积． 故选C． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算．掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键． 9. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 方程是一元二次方程 B. 等边三角形是中心对称图形 C. 直径是圆中最长的弦 D. 二次函数的最小值为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件的定义逐项判断即可求解，掌握一元二次方程的定义、等边三角形的性质、圆的性质和二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，方程是一元二次方程；当时，方程为，是一元一次方程， ∴该选项事件是随机事件，符合题意； 、等边三角形是中心对称图形，是必然事件，该选项事件不合题意； 、直径是圆中最长的弦，是必然事件，该选项事件不合题意； 、二次函数的最小值为，是必然事件，该选项事件不合题意； 故选：． 10. 在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（ ）粒 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，设瓶子中有豆子粒，根据取出粒刚好有记号的粒列出方程，再解方程即可，掌握利用样本中的数据对整体进行估算是解题的关键． 【详解】解：设瓶子中有豆子粒， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 故选：． 11. 在中，，以为圆心3为半径作圆．下列结论中正确的是（ ） A. 直线与⊙相切 B. 直线与⊙相交 C. 直线与⊙相离 D. 点在圆上 【答案】A 【解析】 【分析】作于，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，再逐项分析即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点C在外，故D错误； ∵，， ∴， ∴直线与相切，故A正确，B、C错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 12. 如图，是一张三角形纸片，是它的内切圆，点D、E是其中的两个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的一条直线剪下一块三角形，则剪下的的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线长定理，得到，，，再利用三角形周长公式即可得到答案． 【详解】解：、、都是的切线， ，，， 的周长， 故选B． 【点睛】本题考查了内切圆的性质，切线长定理，解题关键是熟练掌握切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 13. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意可得正五边形的每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴正五边形的每个内角的度数为，即， ∴， ∴，即每个正五边形所对圆心角为， ∵， ∴共需要正五边形的个数是10个， 故选：D． 14. 用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值 【详解】设窗框的长为， 根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为， 即 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图形与性质，理解顶点的意义是解题的关键． 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题4分，共16分） 15. 已知是方程的根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是______． 【答案】线段的中点 【解析】 【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键． 【详解】解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点， ∴线段中点即为对称中心， 故答案为：线段中点． 17. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键． 18. 如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y轴，交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为___ 【答案】 【解析】 【分析】由点C在抛物线y＝（x−1）2−1=x2−2x上，可设点C的坐标为(x，x2−2x)，点B在直线y＝x上，且BC∥y轴，可得点B的坐标为(x，x)，而线段BC的长就是两点纵坐标差，从而得出关于BC长与自变量x的函数关系式，根据函数的最值，即可求出BC最大值． 【详解】解：∵点C在抛物线y=（x-1）2-1=x2−2x上， ∴设点C的坐标为(x，x2−2x)． ∵点B在直线y＝x上，BC∥y轴， ∴点B的坐标为(x，x)． ∵点B在点C的上方，设BC的长为L， ∴L= x−（x2−2x）=−x2＋3x＝−(x−)2＋， ∵a＝−1＜0， ∴L有最大值， ∴线段BC长度的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、函数的最值问题，掌握二次函数的图象和性质并能根据函数关系式求出最值是解题的关键． 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共8题，满分78分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）利用因式分解法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 20. 学校计划举行“文明环保，从我做起”征文比赛．甲班的2名同学A和B与乙班的2名同学C和D在预赛中成绩优秀． （1）若从4名同学中选取1名同学参加学校决赛，则同学C被选中的概率是 　 　； （2）学校决定从4名同学中随机选取2名同学参加决赛，请用画树状图或列表的方法，求选中的2名同学恰好来自同一个班级的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用概率公式直接计算即可； （2）先列表，求解所有的等可能的结果数，2名同学恰好来自同一个班级的结果数，再利用概率公式进行计算即可. 【详解】解：（1）从4名同学中选取1名同学参加学校决赛，则同学C被选中的概率是； （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 所有的等可能的结果有12种，2名同学恰好来自同一个班级的结果数为：4种， 所以选中的2名同学恰好来自同一个班级的概率为： 【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，利用列表的方法求解概率，掌握“列表的方法求解等可能事件的概率”是解题的关键. 21. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是．将绕点逆时针旋转后得到． （1）画出旋转后的，点的坐标为_______； （2）在线段上有点，写出旋转后的对应点的坐标是_______； （3）在旋转过程中，求点经过的路径的长．（结果保留） 【答案】（1） 如图，即为所求作； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等知识，掌握旋转的性质和弧长公式是解题关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）连接、，过点、分别作轴，轴，证明，得到，，即可写出的坐标； （3）由勾股定理得，再利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，点旋转后的对应点，连接、，过点、分别作轴，轴， ， ， 由旋转的性质可知，， ， ， ， ，， 点在第二象限， 的坐标是； 【小问3详解】 解：由勾股定理得，， 弧长． 22. 如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． （1）写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； （2）经过几秒，的面积为； （3）出发几秒后，的长度等于？ 【答案】（1）， （2）2秒或4秒 （3）2.4秒 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间，可得、的长，从而得出的面积，可得答案； （2）由（1）得，列方程为，解一元二次方程即可，注意本题x的取值范围． （3）根据勾股定理可列方程为： ，解出x即可 【小问1详解】 解：关于的函数解析式为：； 所以的取值范围是：． 对于，当时，有最大值； 【小问2详解】 设经过秒，的面积为． 列方程为 解得： 答：设经过2秒或4秒，的面积为． 【小问3详解】 设秒后，的长度等于12mm，列方程为：， 解得（舍去），， 答：出发2.4秒后，的长度等于． 23. 如图，已知中，平分，交于点，以上某一点为圆心作⊙，使⊙经过点和点，交于点，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求阴影面积． 【答案】（1） 直线与相切， 理由如下：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义及等腰三角形的性质证明，进而推出，可得出，可证直线与相切； （2）先证为等边三角形，推出，再根据计算可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， 又， ，， 为等边三角形， ， ，， ． 【点睛】本题考查切线的判定，扇形面积公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等，难度一般，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 24. 小亮同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表，描点，连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： （1）观察探究： ①写出该函数的一条性质：_______； ②方程的解为：_______； ③若方程有四个实数根，则的取值范围是_______． （2）延伸思考： 将函数的图象经过平移可得到函数的图象，画出平移后的大致图象，并写出平移过程，再通过图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】（1）①关于轴对称（答案不唯一）；②或；③ （2）图见解析；平移过程为：将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数的图象；且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当y=-1时，自变量x的值，则可看作直线与函数的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律写出平移的过程，画出函数的图象，根据图象即可得到结论． 【小问1详解】 解：①由图象可得：关于轴对称；函数有最大值为0等；（答案不唯一）． ②由图象可得：或； ③由图象可得：当时，方程有四个实数根， 故答案为：①关于轴对称（答案不唯一）；②或；③； 【小问2详解】 解：图象如图所示， 平移过程为：将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数的图象， 由图象可得：当时， 自变量的取值范围为且． 25. 在中． （1）如图1，是的直径，求证：直径是中最长的弦． （2）如图2，点是内一点，，的半径是5，若过点的弦的长度为，且为整数，求的值． （3）如图3，为的直径，为上两动点（不与重合），且为定长，于点是的中点，求的最大值． 【答案】（1） 证明：如图，作一条非直径的弦，连， ， ， 即， ∴直径是最长的弦． （2）取6，7，8，9，10 （3）2 【解析】 【分析】(1)如图，作一条非直径的弦，连，利用三角形的三边关系即可得证； (2)如图，过点作，利用垂径定理和勾股定理得最短的弦长为6，最长的弦长为10，进而即可得出的值； (3)延长交于点，连接，利用垂径定理和中位线定理得出，再由的最大值为直径即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作， ∴， ∵，的半径是5， ∴最短的弦与垂直是， 而由(1)知最长的弦长为， ∴， ∴取6，7，8，9，10； 【小问3详解】 解：延长交于点，连接， ， 点为中点， 点是中点， 为中位线，即， 的最大值为直径，长度为4， 的最大值为2． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期末学业质量监测试题九年级数学 温馨提示： 1．本试卷卷面分值150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、座位号、考生号填写在试卷和答题卡的对应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”． 3．答题时，请将答案填涂在答题卡，写在本试卷上无效． 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题4分，共56分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程2x2﹣3=0的一次项系数是( ) A. ﹣3 B. 2 C. 0 D. 3 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个正六边形的边心距为，则该正六边形的周长为（ ） A. B. 24 C. D. 4 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 图象与轴交点的坐标是 D. 图象在轴上截得的线段长度是4 7. 如图，将绕点逆时针旋转至，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为（　　） A. 30π B. 60π C. 65π D. 90π 9. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 方程是一元二次方程 B. 等边三角形是中心对称图形 C. 直径是圆中最长的弦 D. 二次函数的最小值为 10. 在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（ ）粒 A. B. C. D. 11. 在中，，以为圆心3为半径作圆．下列结论中正确的是（ ） A. 直线与⊙相切 B. 直线与⊙相交 C. 直线与⊙相离 D. 点在圆上 12. 如图，是一张三角形纸片，是它的内切圆，点D、E是其中的两个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的一条直线剪下一块三角形，则剪下的的周长是（　　） A. B. C. D. 13. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 14. 用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 不能确定 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题4分，共16分） 15. 已知是方程的根，则m的值为______． 16. 如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是______． 17. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为______． 18. 如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y轴，交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为___ 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共8题，满分78分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 学校计划举行“文明环保，从我做起”征文比赛．甲班的2名同学A和B与乙班的2名同学C和D在预赛中成绩优秀． （1）若从4名同学中选取1名同学参加学校决赛，则同学C被选中的概率是 　 　； （2）学校决定从4名同学中随机选取2名同学参加决赛，请用画树状图或列表的方法，求选中的2名同学恰好来自同一个班级的概率． 21. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是．将绕点逆时针旋转后得到． （1）画出旋转后的，点的坐标为_______； （2）在线段上有点，写出旋转后的对应点的坐标是_______； （3）在旋转过程中，求点经过的路径的长．（结果保留） 22. 如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． （1）写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； （2）经过几秒，的面积为； （3）出发几秒后，的长度等于？ 23. 如图，已知中，平分，交于点，以上某一点为圆心作⊙，使⊙经过点和点，交于点，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求阴影面积． 24. 小亮同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表，描点，连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： （1）观察探究： ①写出该函数的一条性质：_______； ②方程的解为：_______； ③若方程有四个实数根，则的取值范围是_______． （2）延伸思考： 将函数的图象经过平移可得到函数的图象，画出平移后的大致图象，并写出平移过程，再通过图象直接写出当时，自变量的取值范围． 25. 在中． （1）如图1，是的直径，求证：直径是中最长的弦． （2）如图2，点是内一点，，的半径是5，若过点的弦的长度为，且为整数，求的值． （3）如图3，为的直径，为上两动点（不与重合），且为定长，于点是的中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $