精品解析：山西省晋中市介休市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

介休市2024—2025学年第一学期期末质量评估试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 如图，帕特农神庙位于希腊共和国首都雅典卫城坐落的古城堡中心，是在世界艺术宝库之中具有鼎鼎大名的艺术瑰宝．神庙呈长方形，高与宽的比例为，比值接近于，这一比例能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．这所蕴含的数学知识是（ ） A. 黄金分割 B. 平移变换 C. 旋转变换 D. 位似变换 3. 瓦楞纸箱具有较高抗压强度及防震性能，能够抵挡搬运过程中的碰撞、冲击和摔跌，在商业包装中有着举足轻重的作用．如图所示，是一件正六棱柱瓦楞纸箱，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 将二次函数y＝x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是( ) A. y＝(x﹣2)2﹣1 B. y＝(x+1)(x+3) C. y＝(x﹣2)2+1 D. y＝(x+2)2﹣1 6. 如图的两幅图分别反映了两棵小树在怎样情形下的影子（ ） A. 太阳光、太阳光 B. 路灯、太阳光 C. 太阳光、路灯 D. 路灯、路灯 7. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 8. “四大古典名著”是中国文学史中的经典作品，是宝贵的世界文化遗产．小沈同学收集到中国古代四大名著卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀后，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取另一张，则抽到的两张卡片恰好是“水浒传”和“西游记”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为（   ） A. 4米 B. （2+2）米 C. （4﹣4）米 D. （4﹣4）米 10. 如图是嘉淇某次实验中的情形，左侧每个钩码的质量均为，杠杆总长．其余数据如图所示，此时杠杆处于平衡状态，则与的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知为锐角，且，那么的度数为_______． 12. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，已知，点为边的中点，点、对应的刻度分别为0、5，则_______cm． 13. 如图，已知，若，，，则的长为________． 14. 如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若点是轴上任意一点，连接、，则的面积为_________． 15. 母亲节前，小敏准备制作一个如图1所示的正方体礼品盒包装好礼物后送给妈妈．他在如图2所示正方形纸板上设计出正方体纸盒的平面展开图，再进行裁剪折叠即可完成．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长_________分米． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． （1）求关于的函数表达式． （2）若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． 18. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为． （1）菱形的边长为____________； （2）求的值． 20. 随着传统能源的日益紧缺，太阳能的应用将会越来越广泛，尤其太阳能发电领域在短短的数年时间内已发展成为成熟的朝阳产业．如图1，是一款太阳能路灯实物图；如图2，是我校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示意图，其中测倾器的高度为1.5米，点O、F、N在水平地面的同一直线上，在测点F处安置测倾器，测得电池板顶端点C的仰角，在与点F相距3米的测点N处安置测倾器，测得灯罩顶端点A的仰角，点B为灯臂与路灯立柱的连接点（点A、B与M在一条直线上），，测得米．（参考数据：，，结果精确到0.01） （1）求电池板顶端点C离地面的高度； （2）求灯臂的长度． 21. 为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷水装置的高度？ 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，为水池中心，喷头之间的距离为，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，高为． 素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置（，并从点向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，图2和图3的水柱都落在水池内，且满足以下条件： ①水柱的最高点到的水平距离为； ②不能碰到图2中的水柱； ③落水点的间距为． 问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，并求右边这条抛物线的函数表达式． 任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点的坐标． 任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置的高度． 23. 综合与实践 【问题情境】 如图，在正方形中，点在线段上，点在线段上，且始终满足．连接，，将线段绕点逆时针旋转一定角度，得到线段（点是点旋转后的对应点），并使点落在线段上，与交于点． 【初步分析】 （1）线段与的数量关系为______，位置关系为______； 【深入分析】 （2）如图②，再将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段（点是点旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由： （3）如图③，若点落在的延长线上，且当点恰好为的中点时，设与交于点，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 介休市2024—2025学年第一学期期末质量评估试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先移项，再进行提公因式，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴，， 故选：C． 2. 如图，帕特农神庙位于希腊共和国首都雅典卫城坐落的古城堡中心，是在世界艺术宝库之中具有鼎鼎大名的艺术瑰宝．神庙呈长方形，高与宽的比例为，比值接近于，这一比例能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．这所蕴含的数学知识是（ ） A. 黄金分割 B. 平移变换 C. 旋转变换 D. 位似变换 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了黄金分割，熟知黄金分割比通常取0.618是解题的关键．根据题意和给出的数据得出结论即可． 【详解】解：0.618这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．这体现了数学中的黄金分割． 故选：A． 3. 瓦楞纸箱具有较高抗压强度及防震性能，能够抵挡搬运过程中的碰撞、冲击和摔跌，在商业包装中有着举足轻重的作用．如图所示，是一件正六棱柱瓦楞纸箱，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图求解即可． 【详解】解：从正面看，可得如下图形： 故选：B． 4. 如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，据此即可求解． 此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上是解题关键． 【详解】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点A、B为对应点， ∴位似中心在A、B所在的直线上， ∵点D在直线上， ∴点D为位似中心． 故选：D． 5. 将二次函数y＝x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是( ) A. y＝(x﹣2)2﹣1 B. y＝(x+1)(x+3) C. y＝(x﹣2)2+1 D. y＝(x+2)2﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可． 【详解】解：y=x2+4x+3 =x2+4x+4-1 =（x+2）2-1， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键． 6. 如图的两幅图分别反映了两棵小树在怎样情形下的影子（ ） A. 太阳光、太阳光 B. 路灯、太阳光 C. 太阳光、路灯 D. 路灯、路灯 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行投影和中心投影的知识，物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影．然后根据平行投影和中心投影的特点及区别，即可判断． 【详解】解：如图， ∴第一幅图是太阳光形成的，第二幅图是路灯灯光形成的； 故选：C． 7. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 8. “四大古典名著”是中国文学史中的经典作品，是宝贵的世界文化遗产．小沈同学收集到中国古代四大名著卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀后，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取另一张，则抽到的两张卡片恰好是“水浒传”和“西游记”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得． 【详解】解：“红楼梦”、“三国演义”、“水浒传”、 “西游记”分别用、、、表示， 根据题意画图如下： 由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好是“水浒传”和“西游记”的有2种， 则抽到的两张卡片恰好是“水浒传”和“西游记”的概率是． 故选：D． 9. 如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为（   ） A. 4米 B. （2+2）米 C. （4﹣4）米 D. （4﹣4）米 【答案】D 【解析】 【分析】在Rt△CMB中求出CM，在Rt△ADM中求出DM即可解决问题． 【详解】在Rt△CMB中，∵∠CMB=90°，MB=AM+AB=12米，∠MBC=30°， ∴CM=MB•tan30°=12×=4， 在Rt△ADM中，∵∠AMD=90°，∠MAD=45°， ∴∠MAD=∠MDA=45°， ∴MD=AM=4米， ∴CD=CM-DM=（4-4）米， 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题中考常考题型． 10. 如图是嘉淇某次实验中的情形，左侧每个钩码的质量均为，杠杆总长．其余数据如图所示，此时杠杆处于平衡状态，则与 的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据杠杆平衡的条件确定函数解析式及自变量取值范围，然后结合选项判断即可． 【详解】解：根据题意得，即且， ∴是 的反比例函数，且经过点， 故选：C． 【点睛】题目主要考查反比例函数的应用，理解题意是解题关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知为锐角，且，那么的度数为_______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，已知，点为边的中点，点、对应的刻度分别为0、5，则_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：因为，点为边的中点， 所以是的中线， 即， 故答案为：． 13. 如图，已知，若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由于，可得，进而再由题干中的条件即可得出EF的长． 【详解】解：∵， ∴， 又，，，且 ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 14. 如图，过轴正半轴上的任意一点，作 轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若点是 轴上任意一点，连接、，则的面积为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】过点A作于点E，过点B作于点D， 则四边形，，都是矩形，利用反比例函数k的几何意义，平行线的性质解答即可． 本题考查了反比例函数k的几何意义，平行线的性质，熟练掌握几何意义是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点D， 则四边形，，都是矩形， ∵点A在反比例函数上，点B在反比例函数上， ∴，，， ∴， 故答案为：5． 15. 母亲节前，小敏准备制作一个如图1所示的正方体礼品盒包装好礼物后送给妈妈．他在如图2所示正方形纸板上设计出正方体纸盒的平面展开图，再进行裁剪折叠即可完成．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长_________分米． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，准确识图，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．依题意得EF为这个礼品盒的边长，设分米，则分米，分米，进而得分米，分米，同时分米，由此得，由此解出，进而可得 【详解】解：如图所示： 设分米， 依题意得：和均为等腰三角形，正方形的边长为分米， 分米，分米， 在中，由勾股定理得：（分米）， 在中，由勾股定理得：（分米）， 又（分米）， ， 解得：， （分米）， 即这个礼品盒的边长为分米． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程； （1）利用公式法解方程即可； （2）把右边移到左边后利用提取公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， ∴． 17. 大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离） （单位：）的反比例函数．当时，． （1）求关于 的函数表达式． （2）若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确求解函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法进行计算，即可解答； （2）把代入解析式中进行计算，即可解答； 【小问1详解】 解：设与 的函数表达式为：， 把，代入中得：， 解得：， ∴关于 的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：把代入中得：， ∴火焰的像高为． 18. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：共有4张卡片， 从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为． （1）菱形的边长为____________； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合以及反比例函数图象上点的坐标性质； （1）过点作 轴的垂线，垂足为，由点D的坐标为，得到，，再根据勾股定理即可得到结论； （2）首先得出点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标性质得出即可． 【小问1详解】 解：过点作 轴的垂线，垂足为， ∵点D的坐标为， ∴，， ∴由勾股定理得：， 即菱形的边长为， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：∵菱形的边长为5， ∴，， ∴轴， ∴在直线上， ∴ ∵， ∴点的坐标为， 将点代入，得 ∴． 20. 随着传统能源的日益紧缺，太阳能的应用将会越来越广泛，尤其太阳能发电领域在短短的数年时间内已发展成为成熟的朝阳产业．如图1，是一款太阳能路灯实物图；如图2，是我校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示意图，其中测倾器的高度为1.5米，点O、F、N在水平地面的同一直线上，在测点F处安置测倾器，测得电池板顶端点C的仰角，在与点F相距3米的测点N处安置测倾器，测得灯罩顶端点A的仰角，点B为灯臂与路灯立柱的连接点（点A、B与M在一条直线上），，测得米．（参考数据：，，结果精确到0.01） （1）求电池板顶端点C离地面的高度； （2）求灯臂的长度． 【答案】（1）7.5米 （2）1.62米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长交于点P，则四边形，为矩形，得到米，，求出，得到米，米，即可得解； （2）由矩形的性质可得米，解直角三角形可得米，求出米，得到米，证明，由相似三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：延长交于点P，则四边形，为矩形， ， ∴米，， ∵， ∴， ∴米，米， ∴． 答：电池板顶端点C离地面的高度为7.5米． 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴米， 在中，∵， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴米， 答：灯臂长为1.62米． 21. 为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 【答案】任务1，该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2，该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 任务1，设该甜品店“缤纷双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是 ，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1，设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是 ， 由题意得，整理得， 解得或（不合题意，舍去） 答：该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽快减少库存，， 答：该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷水装置的高度？ 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，为水池中心，喷头之间的距离为，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，高为． 素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置（，并从点向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，图2和图3的水柱都落在水池内，且满足以下条件： ①水柱的最高点到的水平距离为； ②不能碰到图2中的水柱； ③落水点的间距为． 问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点为坐标原点，水平方向为 轴建立直角坐标系，并求右边这条抛物线的函数表达式． 任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点的坐标． 任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置的高度． 【答案】【任务1】；【任务2】；【任务3】6米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用； 任务1：以点O为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得出结论； 任务2：令上述抛物线，得，求出，即可得出结论； 任务3：根据平移可得图3抛物线表达式为，令，即可求解． 【详解】任务1：建立如图所示坐标系： 由题意得：右边抛物线的顶点为，设，代入点，得到回代求得右边抛物线表达式为 任务2：当时，， 解得（舍） ， 任务3：图3和图2的抛物线形状相同，水柱的最高点到的水平距离为 设抛物线的表达式为， 代入，可得 ∴图3抛物线表达式为 当时，， 解得 23. 综合与实践 【问题情境】 如图，在正方形中，点在线段上，点在线段上，且始终满足．连接，，将线段绕点逆时针旋转一定角度，得到线段（点是点旋转后的对应点），并使点落在线段上，与交于点． 【初步分析】 （1）线段与的数量关系为______，位置关系为______； 【深入分析】 （2）如图②，再将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段（点是点旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由： （3）如图③，若点落在的延长线上，且当点恰好为的中点时，设与交于点，，求的长． 【答案】（1）； （2）四边形为菱形，理由如下： 由旋转的性质，得， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质，得出，再证明，结合旋转性质，得出，进行角的等量代换，即可作答； （2）根据旋转性质，得出，得出四边形是平行四边形，结合一组邻边相等，得证四边形是菱形； （3）先得出是的垂直平分线，进行角的等量代换以及直角三角形的两个锐角互补，得出，因为正方形的性质，得出，结合，进而求得,根据即可求解． 【详解】解：（1）；理由如下： ∵四边形是正方形 ∴， 又∵， ∴， ∴． 由旋转的性质，得， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即 （2）略 （3）∵点是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关性质，菱形的判定，旋转性质等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $