精品解析：黑龙江省哈尔滨市通河县2024-2025学年九年级上学期期末学情质量监测数学试卷

学情质量监测九年级数学试题 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式，直接可以写出对称轴即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 3. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D、既轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意． 故选：B． 4. 某超市十月份的营业额为20万元，十二月份的营业额为28.8万元，则平均每月的增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 设平均每月的增长率为，那么十二月份的营业额表示为，即可建立方程求解． 【详解】解：设平均每月的增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 故选：B． 5. 如图是一个正六棱柱，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示． 【详解】解：从上面看可得到一个正六边形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 6. 如图，在中，是直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，先求解，再利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴． 故选：C． 7. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦的定义列式计算即可． 【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，sinA=， ∵BC=h，∠A=α， ∴sinα=， ∴AB=， 故选：D． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦是解题的关键． 8. 反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数中，当时函数图象在二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，故反比例函数中，得出，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握根据反比例函数的增减性求参数范围是解题的关键． 9. 定义新运算：，例如： ，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据新运算的法则，列出一元二次方程，根据判别式的符号，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选B． 10. 如图，是的边上一点，射线交的延长线于点，则下列式子一定错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形和平行线的性质，对选项逐个判断即可； 【详解】解：∵四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴，A正确，不符合题意； 又∵ ∴ ∴，B正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴，，C错误，符合题意； ∴ 又∵ ∴， D正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】此题考查了平行四边形和平行线的对应线段成比例的性质，熟练掌握相关知识和性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查自变量得取值范围的知识点．当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式，解得答案． 【详解】解：根据题意得， 解得：； 故答案为：． 12. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先把代数式中的二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可. 【详解】= 故答案： 【点睛】此题主要考了二次根式的减法，关键是掌握计算法则:二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变. 13. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，图形的旋转的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得，由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】解：∵， ∴， 又， 由旋转的性质得：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：． 14. 如图，将一些小圆按一定规律摆放，则第8个图形共有________个小圆． 【答案】76 【解析】 【分析】本题考查图形的变化规律，解题关键是明确题意，找出题目中小圆个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．根据题目中的图形，可以写出前三个图形中小圆的个数，发现小圆个数的变化规律，从而求得第8个图形中小圆的个数． 【详解】解：由图知： 第1个图形中小圆的个数是：， 第2个图形中小圆的个数是：， 第3图形中小圆的个数是：， 所以，第8个图形中小圆的个数是：． 故答案为：76． 15. 抛物线的顶点的横坐标为______． 【答案】0 【解析】 【分析】由抛物线顶点坐标公式即可求得． 【详解】∵抛物线， ∴， 故答案：0． 【点睛】此题考查了二次函数的顶点坐标公式的运用，解题的关键是熟记二次函数的顶点坐标公式． 16. 一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的弧长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的应用，牢记弧长公式是解题的关键．直接利用弧长公式代入求值即可． 【详解】解：这个扇形的弧长为， 故答案：． 17. 如图，在中，，以上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，若，则的半径为________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，正确得出的度数是解题关键．直接利用切线的性质得出，进而利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出的半径． 【详解】解：连接， 为半径的圆与相切于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 故， 解得：， 则的半径为：． 故答案为：． 18. 在一个不透明的口袋中装有除颜色外其它都相同的2个红球和1个白球，任意从口袋中摸出一个球放回，再摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知直接列出树状图即可，注意摸出一个球再放回袋中，搅匀后再摸出一个球； 【详解】解：树状图如图所示， 如图表示所有可能的情况，共有9种等可能的结果，而二次都摸到红球的结果有4次， 可知其概率为， 故答案为 【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，根据已知注意摸出一个球再放回袋中，搅匀后再摸出一个球不要漏解． 19. 在中，， ，，则线段的长为___________． 【答案】4或2##2或4 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确作出高是解题的关键． 此题分两种情况：过作于，在中，由已知条件，设，，根据勾股定理求出值，从而得出，，在中，根据勾股定理得出，于是得到的长度． 【详解】解：如图1，过作于， 在中， ， 设，， ， ， ， ，， 在中，， ； 同理可求 故答案为：4或2． 20. 如图，在正方形中，是上一点，连接，将绕点逆时针旋转至（与对应，与B对应），连接、，若，平分，则长为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点E作交于点M，与交于点N，设，由旋转和正方形的性质可得是等腰直角三角形，则，于是，，由△可得，进而可得，再由列方程求得x即可． 【详解】解：如图，过点E作交于点M，与交于点N， 设， 由旋转的性质可得， ∵是正方形，则， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵，则， ∵平分， ∴， ∴在和中：， ∴， ∴， ∵是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： ， ∵，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题（第21-22题各7分，第23-24题各8分，第25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简，再根据特殊角三角函数值求出，最后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，特殊角三角函数值，二次根式的混合运算等知识点．解题的关键是掌握相应的运算法则，运算顺序及熟记特殊角三角函数值． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段，线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画，点在小正方形的格点上，使，且； （2）在图中画面积为6的，点在小正方形的格点上，连接，，且，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析，． 【解析】 【分析】（1）以AB为腰作等腰直角△ABC即可； （2）以EF为边，底为4，高为3的△DEF即可，然后利用勾股定理求出BD． 【详解】解：（1）如图△ABC即为所求； （2）如图△DEF即为所求； ． 【点睛】本题主要考查了基本作图、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，灵活利用数形结合的思想解决问题成为解答本题的关键． 23. 考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题： （1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生? （2）通过计算补全条形统计图； （3）根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压的人数． 【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）120名 【解析】 【分析】（1）由“其他”来减压的人数和所占的百分比即可求得． （2）根据总人数和其他4类减压方式的人数即可求出采用“体育活动”来减压的人数． （3）根据样本中“听音乐”来减压的人数所占得百分比即可求得该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压的人数． 【详解】解：（1）（名） 答：这次抽样调查中，一共抽查了50名学生． （2）（人）． ∴采用“体育活动”来减压的人数为15人． 画图如下． （3）（人）． 答：估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压的人数为120名． 【点睛】此题考查了统计图的相关知识，用样本估计总体的方法，解题的关键是熟练掌握样本估计总体的方法． 24. 如图，将矩形沿折叠，使点A与点C重合，（点D的对应点为点G），连接． （1）如图1，求证：四边形为菱形； （2）如图2，若，连接交于点，连接，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形． 【答案】（1）见解析 （2）、、、 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等边三角形的判定、平行四边形和菱形的判定；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由折叠性质得，，，由矩形性质得出，，证出，得出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）先证出，得出，证出和是等边三角形；再证出，，得出是等边三角形；证出，得出是等边三角形． 【小问1详解】 证明：由折叠性质得，，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． 【小问2详解】 解：等边三角形为：、、、；理由如下： ， ，， 四边形是菱形， ，，，， 和是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 是等边三角形． 25. 怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份； （2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少． 【答案】（1）60；（2）316． 【解析】 【分析】(1)、首先设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份，然后根据总营业额和总利润得出二元一次方程组，从而求出答案；(2)、设A种菜品售价降0.5a元，则每天卖（20+a）份，根据每天销售总份数不变，则B种菜品卖（40﹣a）份，每份售价提高0.5a元，然后根据总利润=单件利润×数量得出函数解析式，然后根据二次函数的性质得出最大值． 【详解】解：(1)、设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份， 根据题意得：， 解得：， 答：该店每天卖出这两种菜品共60份； (2)、设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖（20+a）份，总利润为w元， 因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品卖（40﹣a）份，每份售价提高0.5a元． 则w=（20﹣14﹣0.5a）（20+a）+（18﹣14+0.5a）（40﹣a） =（6﹣0.5a）（20+a）+（4+0.5a）（40﹣a）=（﹣0.5a2﹣4a+120）+（﹣0.5a2+16a+160） =﹣a2+12a+280=﹣（a﹣6）2+316， 当a=6，w最大，w=316 答：这两种菜品每天的总利润最多是316元． 26. 如图，为的直径，弦交于点E，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点F在上，连接，延长交于点G，交于点N，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点M，连接，若， ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）30 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理推论得到，由等腰三角形的性质得到，，而，故； （2）连接，先导角证明，由圆周角定理得，那么，再证明即可； （3）连接，设，则，则，，解得：，故，在中，由勾股定理得，而，可得，则，那么，，，过点作于点，连接，则，，则，在中，由勾股定理得，那么由即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如下图， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 证明：连接，如下图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接， ∵在中，， ∴设， 则由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ 过点作于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及圆周角定理，勾股定理，垂径定理的推论，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，综合性很强，难度较大． 27. 如图，抛物线交x轴于A、B两点，经过点B的直线交y轴于点C，交抛物线于点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点E在第二象限抛物线上，连接交x轴于点F，，求直线的解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，点P为第一象限抛物线上一点，连接，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，求得，将代入求得，再由待定系数法求解即可； （3）过点作交延长线于点，过点作轴的垂线，过点分别作直线的垂线，垂足为，证明，则，，那么，同上可求直线表达式为：，与抛物线解析式联立得：即可求解点坐标． 【小问1详解】 解：由题意得，将代入得，， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式：； 【小问2详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将代入， 得：， 解得：，（舍）， ∴， 设直线表达式为：， ∴， 解得：， ∴直线表达式为：； 【小问3详解】 解：过点作交延长线于点，过点作轴的垂线，过点分别作直线的垂线，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上可求直线表达式为：， 与抛物线解析式联立得：， 解得：，（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与角度的存在性问题，涉及待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直线与抛物线的交点问题等知识点，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学情质量监测九年级数学试题 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 2025相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 某超市十月份营业额为20万元，十二月份的营业额为28.8万元，则平均每月的增长率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个正六棱柱，它俯视图是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是直径，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 定义新运算：，例如： ，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 10. 如图，是的边上一点，射线交的延长线于点，则下列式子一定错误的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_________． 12. 计算的结果为______． 13. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长是_______________． 14. 如图，将一些小圆按一定规律摆放，则第8个图形共有________个小圆． 15. 抛物线的顶点的横坐标为______． 16. 一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的弧长为_______． 17. 如图，在中，，以上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，若，则的半径为________． 18. 在一个不透明的口袋中装有除颜色外其它都相同的2个红球和1个白球，任意从口袋中摸出一个球放回，再摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为_____． 19. 在中，， ，，则线段的长为___________． 20. 如图，在正方形中，是上一点，连接，将绕点逆时针旋转至（与对应，与B对应），连接、，若，平分，则长为_____________． 三、解答题（第21-22题各7分，第23-24题各8分，第25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值的值，其中． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段，线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画，点在小正方形的格点上，使，且； （2）在图中画面积为6的，点在小正方形的格点上，连接，，且，请直接写出线段的长． 23. 考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题： （1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生? （2）通过计算补全条形统计图； （3）根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压的人数． 24. 如图，将矩形沿折叠，使点A与点C重合，（点D的对应点为点G），连接． （1）如图1，求证：四边形为菱形； （2）如图2，若，连接交于点，连接，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形． 25. 怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份； （2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少． 26. 如图，为的直径，弦交于点E，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点F在上，连接，延长交于点G，交于点N，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点M，连接，若， ，求的长． 27. 如图，抛物线交x轴于A、B两点，经过点B的直线交y轴于点C，交抛物线于点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点E在第二象限抛物线上，连接交x轴于点F，，求直线解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，点P为第一象限抛物线上一点，连接，若，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $