精品解析：江西省九江市永修县2024-2025学年九年级上学期11月期中联考数学试题

2024-2025学年度上学期阶段（二）质量检测试卷 九年级数学 考生须知： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟；2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3、请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项． 1. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单地概率计算公式，列式计算即可． 本题考查了简单地概率公式计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币，有向上和向下2种等可能性， 根据题意，正面朝上的概率为， 故选：A． 2. 下列方程中，一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解： A. ，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，不一定是一元二次方程，不符合题意； C. ，不是一个未知数，不符合题意； D. ，是一元二次方程，符合题意； 故选D． 3. 如图，在中，，若，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可；本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴. 将，，代入，得. 解得 ． 故选：C． 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5. 若，且一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，利用非负性求出的值，根据方程有实数根，得到，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴转化为， ∵一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 解得：且； 故选B． 6. 如图，△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，△BCD是直角三角形，且∠D=30°，则两个三角形重叠部分（△OBC）的面积是（　　） A. 3﹣ B. 2﹣ C. 1 D. 1+ 【答案】A 【解析】 【分析】过O作OE⊥BC于E，设BE=x，求出OE和DC，根据相似得出比例式求出x，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：∵在Rt△DCB中，∠DCB=90°，∠D=30°，BC=2， ∴DC=BC=2， 过O作OE⊥BC于E， ∵∠ABC=90°， ∴OE∥AB， ∴∠BOE=30°，△OEC∽△ABC， ∴设BE=x，则OE=BE=x，， ∴， 解得：x=﹣1， 即OE=x=3﹣， ∴阴影部分的面积S=（3﹣）=3﹣， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形、相似三角形的性质和判定等知识点，能求出OE的长是解此题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比是______． 【答案】1:4 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比即可求得. 【详解】∵两相似三角形的相似比为1：2， ∴它们的面积比是1：4， 故答案为：1：4. 【点睛】本题考查了相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是解题的关键. 8. 已知关于x的方程a-3）x2-4x-5=0是一元二次方程，那么a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零，列不等式即可 【详解】解：根据题意可知，， 解得，． 故答案是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程二次项系数不为0，列出不等式是解题关键． 9. 如图，四边形是正方形，延长到，使，连接交于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，根据正方形的性质可得，根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 10. 在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查用菱形的性质求面积，根据菱形的面积等于其对角线积的一半，进而求解． 【详解】解：菱形的面积． 故答案为：． 11. 已知m、n是方程x2+3x﹣2＝0的两个实数根，则3mn+n+m的值为_________． 【答案】-9 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到m＋n＝−3，mn＝−2，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】根据题意得m＋n＝−3，mn＝−2， 所以3mn+n+m＝3×（-2）−3＝-9． 故答案为-9． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝． 12. 如图，正方形放在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，A、C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点B的坐称为．已知点E、点F分别从点A、B同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度在线段上来回运动．点F沿方向，以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点F到达点O时，E、F两点都停止运动．在E、F的运动过程中，存在某个时刻，使得的面积为6．则点E的坐标为______． 【答案】，， 【解析】 【分析】由于点E、F同时运动，根据它们位置的不同，可分成三种情况进行讨论：，，，根据6面积为列方程求解即可． 【详解】解：设时间为t秒， ①当时，，，， ，， ， ，即， 解得：或， 又∵， ∴． 此时，点E的坐标为； ②当时，，，， ，， ， ，即，解得或， 又∵， ． 此时，点E的坐标为； ③当时，， ，， ， ，即，解得， 此时，点E的坐标为； 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及三角形的面积，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，会用运动时间表示边长，面积，搞清楚正方形中的三角形的三边关系等，可有助于提高解题速度和准确率． 三．解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，AF⊥AE交CB的延长线于F． 求证：AE=AF． 【答案】 ∵AF⊥AE， ∴∠BAF+∠BAE=90°， 又∵∠DAE+∠BAE=90°， ∴∠BAF=∠DAE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°， 在△ABF和△ADE中， ， ∴△ABF≌△ADE（ASA）， ∴AF=AE． 【解析】 【分析】根据同角的余角相等证得∠BAF=∠DAE，再利用正方形的性质可得AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，根据ASA判定△ABF≌△ADE，根据全等三角形的性质即可证得AF=AE． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，证明△ABF≌△ADE是解决本题的关键． 15. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　　； （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片， ∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2， ∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的角平分线； （2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等． 【答案】（1） 射线即为所作； （2） 直线即为所作． 【解析】 【分析】（1）连接，，与交于点，作射线即可； （2）取格点，过点和点作直线即可． 【小问1详解】 解：如图1，连接、，与交于点，设小正方形的边长为1个单位， ∵线段和是矩形的两条对角线且交于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴平分， 【小问2详解】 如图2，连接、、、，直线经过点和点，设小正方形的边长为1个单位， ∴，， ，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵，，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，，且， 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了等腰三角形三线合一的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 17. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长至F，使，连接．求证：四边形是矩形 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再证明其有一个内角是直角即可证明四边形是矩形； 本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】略 四．解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 （1）直接写出m的取值范围 （2）若满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的两个不相等的实数根，得，即可列式作答； （2）结合一元二次方程根与系数的关系，得和，因为，所以，解得，，结合，即可作答； 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根 ∴， 即； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴ 整理得， 解得：， ∵由（1）知， ∴ 检验：当时，，即； 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正确掌握，是解题的关键． 19. 如图，已知平分，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， 又∵，得到， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）利用相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设， ∵， ∴，即． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法与性质． 20. 如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG． （1）求证：四边形ABCG是平行四边形； （2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 【答案】（1）证明：∵△AEB∽△DEC， ∴∠B＝∠BCD， ∴AB∥CD， 即AB∥CG， ∵CD＝2AB，CG＝CD， ∴AB＝CG， ∴四边形ABCG是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可证明； （2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3， ∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3， ∵∠GAD＝90°， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得： BE＝， 即BE＝， ∵△AEB∽△DEC， ∴， ∴CE＝2， ∴BC＝BE+CE＝3， ∴AG＝BC＝3． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质． 五．解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售　 　件；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元； （3）平均每天盈利有可能1600元吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）20元 （3） 平均每天盈利不可能达到1600元，理由如下： 设每件童装降价 m元，则每件的销售利润为元， 依题意得： ， 整理得： ． ∵， ∴原方程无实数根， ∴平均每天盈利不可能达到1600元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每天的销售量；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”． （1）利用每天的销售量降低的价格，即可用含x的代数式表示出每件童装降价x元时的销售量； （2）设每件童装降价y元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，利用每天销售该款童装的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y的值，再结合要尽快减少库存，即可确定y的值； （3）平均每天盈利不可能达到1600元，设每件童装降价m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，利用每天销售该款童装的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出平均每天盈利不可能达到1600元． 【小问1详解】 ∵销售价为120元时，每天可售出20件，那么平均可多售出2件， ∴当每件童装降价x元时，每天可售出件． 故答案为：． 【小问2详解】 设每件童装降价y元，则每件的销售利润为元， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵要尽快减少库存， ∴． 答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． 【小问3详解】 略 22. 如图，在中，，是的中线，作于点E． （1）求证： （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的中线，, ∴， ∴． （2） 证明：由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，解答即可． （2）根据题意，证明，即可得证． （3）利用相似三角形的性质，求得，再利用直角三角形的性质求得的长． 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∴， 即， ∴， ∵是的中线， ∴． 六．解答题（本大题共12分） 23. 如图1，在和中，，，， ，，将绕点A在平面内顺时针旋转，连接，． （1）求证：； （2）请判断线段和的关系，并说明理由； （3）当点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段的长； 【答案】（1）证明：设直线交于点M，直线交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，，即可求解； （2）由，得到，进而求解； （3）由（1）知，，①当B、E、D三点共线时，如图1，求出，得到，即可求解；②当B、D、E共线时，如图2，同理可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，则 由（1）知，， ∴， 则； ①当B、E、D三点共线时，如图， 过点A作于点H， 在中，，则， 在中，， 则， 则； ②当B、D、E共线时，如图， 过点A作交于点H， 在中，，则， 在中，，则， 在中，， 则， 则， ∵， 即； 综上，或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期阶段（二）质量检测试卷 九年级数学 考生须知： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟；2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3、请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项． 1. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，若，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 5. 若，且一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 如图，△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，△BCD是直角三角形，且∠D=30°，则两个三角形重叠部分（△OBC）的面积是（　　） A. 3﹣ B. 2﹣ C. 1 D. 1+ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比是______． 8. 已知关于x的方程a-3）x2-4x-5=0是一元二次方程，那么a的取值范围是_________． 9. 如图，四边形是正方形，延长到，使，连接交于点，则__________． 10. 在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是______． 11. 已知m、n是方程x2+3x﹣2＝0的两个实数根，则3mn+n+m的值为_________． 12. 如图，正方形放在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，A、C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点B的坐称为．已知点E、点F分别从点A、B同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度在线段上来回运动．点F沿方向，以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点F到达点O时，E、F两点都停止运动．在E、F的运动过程中，存在某个时刻，使得的面积为6．则点E的坐标为______． 三．解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 14. 如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，AF⊥AE交CB的延长线于F． 求证：AE=AF． 15. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　　； （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示） 16. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的角平分线； （2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等． 17. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长至F，使，连接．求证：四边形是矩形 四．解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 （1）直接写出m的取值范围 （2）若满足，求m的值． 19. 如图，已知平分，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG． （1）求证：四边形ABCG是平行四边形； （2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 五．解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售　 　件；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元； （3）平均每天盈利有可能1600元吗？请说明理由． 22. 如图，在中，，是的中线，作于点E． （1）求证： （2）求证：； （3）若，，求的长． 六．解答题（本大题共12分） 23. 如图1，在和中，，，， ，，将绕点A在平面内顺时针旋转，连接，． （1）求证：； （2）请判断线段和的关系，并说明理由； （3）当点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段的长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $